解析：

1．解題思路

對(duì)于輸入的字符串s，分別找出長(zhǎng)度為2和3的最小子串。子串必須是連續(xù)的，需要遍歷所有可能的連續(xù)子串，然后比較它們的字典序。

對(duì)于長(zhǎng)度為2的情況，假設(shè)字符串長(zhǎng)度是n，那么可能的子串有n-1個(gè)。每個(gè)子串是s[i]和s[i+1]。我需要比較所有這些子串，找到字典序最小的一個(gè)。同樣，長(zhǎng)度為3的話，子串有n-2個(gè)，每個(gè)是s[i],s[i+1],s[i+2]。

在C++中，如何生成子串？使用substr函數(shù)，第一個(gè)參數(shù)是起始位置，第二個(gè)參數(shù)是長(zhǎng)度。例如，s.substr(i, 2)就是取從i開始的2個(gè)字符的子串。

當(dāng)n是1e5的時(shí)候，每次substr都要復(fù)制字符，對(duì)于長(zhǎng)度為2的子串，復(fù)制兩個(gè)字符，對(duì)于長(zhǎng)度為3的復(fù)制三個(gè)。循環(huán)次數(shù)是O(n)，所以總的時(shí)間復(fù)雜度是O(n) * O(k)，其中k是子串的長(zhǎng)度。對(duì)于k=2或3來(lái)說(shuō)，這應(yīng)該還是可以接受的，因?yàn)榭偟臅r(shí)間是O(n*2 + n*3) = O(n)，對(duì)于n=1e5來(lái)說(shuō)，是可以的。

但是，有沒有可能優(yōu)化？比如，不生成子串，而是直接比較字符？

對(duì)于長(zhǎng)度為2的最小值，記錄其起始位置i，在每次比較時(shí)，比較當(dāng)前i的兩個(gè)字符和當(dāng)前最小值的兩個(gè)字符。

或者，維護(hù)一個(gè)當(dāng)前最小的兩個(gè)字符，比如char a和char b，初始為'z'和'z'。每次比較s[i]和s[i+1]與當(dāng)前的a和b：

如果s[i] < a，那么無(wú)論第二個(gè)字符如何，當(dāng)前子串更小?；蛘?，當(dāng)s[i] == a，但s[i+1] < b，則更小。

這樣，可以避免構(gòu)造子串，直接比較字符。

例如：

處理長(zhǎng)度為2的子串：

初始化min2的兩個(gè)字符為'z'和'z'。

for (int i=0; i<=n-2; ++i) {

char c1 = s[i], c2 = s[i+1];

if (c1 < min_c1 || (c1 == min_c1 && c2 < min_c2)) {

min_c1 = c1;

min_c2 = c2;

然后，將min_c1和min_c2組合成字符串輸出。

字符串長(zhǎng)度為3 的也是同理。

考點(diǎn)

字符串處理：

如何高效地遍歷和處理字符串?dāng)?shù)據(jù)。

提取子串的操作。

字典序比較：

理解字典序的概念，并能夠進(jìn)行字符串之間的字典序比較。

邊界條件處理：

處理字符串長(zhǎng)度不足2或3的情況（但題目已保證字符串長(zhǎng)度至少為3，所以這里主要是考慮代碼健壯性）。

效率優(yōu)化：

由于字符串長(zhǎng)度可能達(dá)到10^5，需要確保算法的時(shí)間復(fù)雜度是線性的或接近線性的，以避免超時(shí)。

2. 解題思路

首先通過數(shù)據(jù)范圍可以看到n,m的值為1e9,如果通過遍歷每個(gè)點(diǎn)來(lái)求邊數(shù)，那么肯定會(huì)超時(shí)，只能得到n，m≤100 這部分的分值。如果想通過就必須用數(shù)學(xué)方法或者公式來(lái)處理。

1. 先看點(diǎn)數(shù)。原來(lái)的總點(diǎn)數(shù)是n*m，然后減去障礙的數(shù)量k。，所以點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是n*m - k。

2. 接下來(lái)是邊數(shù)的問題。每個(gè)邊是否存在的條件是兩個(gè)相鄰的點(diǎn)都存在。所以需要計(jì)算所有可能的相鄰邊，然后減去那些因?yàn)橹辽僖粋€(gè)點(diǎn)是障礙物而無(wú)法存在的邊。在網(wǎng)格圖中，橫向的邊數(shù)目是n*(m-1)，每行有m-1條橫向邊，總共n行?？v向邊數(shù)目是m*(n-1)條。總的邊數(shù)是n*(m-1) + m*(n-1)。

3. 現(xiàn)在的問題是計(jì)算這些被障礙物影響的邊數(shù)目。每個(gè)障礙物會(huì)影響四個(gè)方向的邊：上、下、左、右。如果一個(gè)障礙物的周圍點(diǎn)也是障礙物，或者越界，對(duì)應(yīng)的邊本來(lái)就不存在，因此要逐個(gè)障礙物檢查周圍的四個(gè)方向是否存在可能的邊，并統(tǒng)計(jì)這些邊是否被移除

(1) 統(tǒng)計(jì)所有水平邊中被阻擋的數(shù)目：即對(duì)于每個(gè)水平邊（i,j）-（i,j+1），如果至少有一個(gè)端點(diǎn)被阻擋，則這條邊不存在。同樣處理垂直邊。

(2) 同樣的，對(duì)于垂直邊（i,j）-（i+1,j），如果至少有一個(gè)端點(diǎn)被阻擋，則這條邊不存在

另外，由于障礙數(shù)量相對(duì)較少，我們可以通過哈希表（或數(shù)組，如果障礙坐標(biāo)范圍有限）來(lái)快速判斷一個(gè)位置是否為障礙。

考點(diǎn)

數(shù)學(xué)計(jì)算：

如何通過數(shù)學(xué)公式計(jì)算出網(wǎng)格圖上的總點(diǎn)數(shù)和總邊數(shù)。

如何根據(jù)障礙的位置調(diào)整點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)。

數(shù)據(jù)范圍處理：

如何處理大數(shù)據(jù)范圍（如n和m達(dá)到10^9）下的計(jì)算問題。

如何高效地存儲(chǔ)和處理障礙位置信息。

邊界條件處理：

當(dāng)網(wǎng)格圖上沒有障礙時(shí)（k=0）的特殊情況處理。

當(dāng)障礙數(shù)量很多時(shí)，如何避免重復(fù)減少同一條邊。

算法效率：

如何確保算法的時(shí)間復(fù)雜度足夠低，以處理大數(shù)據(jù)量的輸入。

3.解題思路

這個(gè)問題是一個(gè)典型的0/1背包問題的變種，我們需要在滿足容量限制的情況下，最大化去兩個(gè)地點(diǎn)的人數(shù)之和。我們需要對(duì)每個(gè)班級(jí)做出決策，使其去第一個(gè)地點(diǎn)或第二個(gè)地點(diǎn)，以最大化滿足學(xué)生意愿的總?cè)藬?shù)。

具體步驟如下：

定義狀態(tài)：

使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)組 dp[i][j][k] 表示前 i 個(gè)班級(jí)中，第一個(gè)地點(diǎn)安排了 j 人，第二個(gè)地點(diǎn)安排了 k 人時(shí)，能滿足的最大意愿人數(shù)。

但由于三維數(shù)組空間復(fù)雜度較高，可以優(yōu)化為二維數(shù)組 dp[j][k]，其中 j 和 k 分別表示兩個(gè)地點(diǎn)的當(dāng)前人數(shù)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

對(duì)于每個(gè)班級(jí)，有兩種選擇：去第一個(gè)地點(diǎn)或第二個(gè)地點(diǎn)。

如果第 i 個(gè)班級(jí)去第一個(gè)地點(diǎn)，則 dp[j + a[i]][k] = max(dp[j + a[i]][k], dp[j][k] + a[i])

如果第 i 個(gè)班級(jí)去第二個(gè)地點(diǎn)，則 dp[j][k + b[i]] = max(dp[j][k + b[i]], dp[j][k] + b[i])

初始化：

dp[0][0] = 0，表示沒有班級(jí)安排時(shí)，滿足人數(shù)為0。

結(jié)果查找：

遍歷 dp[A][B] 及其附近的值，找到最大的滿足人數(shù)。

記錄路徑，即每個(gè)班級(jí)的選擇。

處理無(wú)解情況：

如果最終找到的最大值小于等于初始值（即沒有任何班級(jí)被安排），則輸出 -1 和 error。

考點(diǎn)：

動(dòng)態(tài)規(guī)劃：掌握如何根據(jù)子問題構(gòu)建動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)組以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

背包問題變種：理解0/1背包問題的變種，如何在有限資源下最大化某種指標(biāo)。

邊界條件處理：如何判斷是否存在合法解。

狀態(tài)記錄與回溯：在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中找到最優(yōu)解后，如何回溯得到具體的方案。

4.解題思路

這個(gè)問題可以看作是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃或前綴和與哈希表結(jié)合的問題，關(guān)鍵在于如何高效地判斷一個(gè)連續(xù)子數(shù)組的和是否是某個(gè)給定數(shù) p 的倍數(shù)。

方法一：動(dòng)態(tài)規(guī)劃（可能超時(shí)，適用于小規(guī)模數(shù)據(jù)）

我們可以使用一個(gè)二維動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)組 dp[i][j]，其中 i 表示考慮到第 i 個(gè)糖果，j 表示當(dāng)前糖果分配后，剩余糖果甜蜜度之和模 p 的結(jié)果。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可能比較復(fù)雜，而且這種方法的空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度都可能很高，不適合大規(guī)模數(shù)據(jù)。

方法二：前綴和與哈希表（更高效）

計(jì)算前綴和：

首先，我們計(jì)算糖果甜蜜度的前綴和數(shù)組 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示前 i 個(gè)糖果的甜蜜度之和。

使用哈希表記錄余數(shù)出現(xiàn)的位置：我們遍歷前綴和數(shù)組，并計(jì)算每個(gè)前綴和模 p 的余數(shù)。我們使用一個(gè)哈希表 remainder_map 來(lái)記錄每個(gè)余數(shù)第一次出現(xiàn)的位置。

判斷連續(xù)子數(shù)組的和是否為 p 的倍數(shù)：對(duì)于每個(gè)位置 i，我們檢查 prefix_sum[i] % p 的相反數(shù)（即 (p - prefix_sum[i] % p) % p，這里取模是為了處理負(fù)數(shù)情況）是否在哈希表中出現(xiàn)過。如果出現(xiàn)過，說(shuō)明存在一個(gè)之前的位置 j（j < i），使得 prefix_sum[i] - prefix_sum[j] 是 p 的倍數(shù)，即 a[j+1] + a[j+2] + ... + a[i] 是 p 的倍數(shù)。

更新最大小朋友數(shù)量：我們維護(hù)一個(gè)變量來(lái)記錄最多能有多少位小朋友高興，每次找到一個(gè)符合條件的連續(xù)子數(shù)組時(shí)，就嘗試更新這個(gè)變量。

考點(diǎn)

前綴和與哈希表的應(yīng)用：如何結(jié)合前綴和與哈希表來(lái)高效地解決問題。

模運(yùn)算的性質(zhì)：如何處理模運(yùn)算，特別是處理負(fù)數(shù)取模的情況。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的選擇：在大數(shù)據(jù)量情況下，如何選擇合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)和查詢信息。

多組數(shù)據(jù)的處理：如何編寫能夠處理多組數(shù)據(jù)的代碼。

5．解題思路

這個(gè)問題要求我們?cè)谝粋€(gè)環(huán)形數(shù)組上進(jìn)行切割，使得切割后的每段子數(shù)組的和的最大公約數(shù)最大化，并且需要對(duì)每個(gè)可能的切割段數(shù) k（從1到 n）都求出這個(gè)最大化的最大公約數(shù)。

由于數(shù)組是環(huán)形的，我們可以將其復(fù)制一遍接在后面，這樣在處理邊界情況時(shí)就可以簡(jiǎn)單地看作是在一個(gè)線性數(shù)組上進(jìn)行切割，而不需要考慮環(huán)形的問題。

暴力求解思路：

對(duì)于每個(gè)可能的分段數(shù)k，枚舉所有可能的分段方式。

計(jì)算每段的和，然后求這些和的最大公約數(shù)。

更新最大公約數(shù)的最大值。

這種方法的時(shí)間復(fù)雜度是指數(shù)級(jí)的，因?yàn)閷?duì)于每個(gè)k，都有大量的分段方式需要枚舉，不適合處理大規(guī)模數(shù)據(jù)。

優(yōu)化思路：

觀察到最大公約數(shù)具有性質(zhì)：如果兩個(gè)數(shù)a和b的最大公約數(shù)是g，那么對(duì)于a和b的任意倍數(shù)ma和mb，它們的最大公約數(shù)仍然是g的倍數(shù)（或g本身）。

因此，我們不需要枚舉所有可能的分段方式，而是可以枚舉所有可能的和（或和的倍數(shù)），然后求這些和的最大公約數(shù)。

可以使用前綴和數(shù)組來(lái)快速計(jì)算任意區(qū)間的和。

然后，利用輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）來(lái)求這些和的最大公約數(shù)。

實(shí)現(xiàn)步驟：

計(jì)算數(shù)組的前綴和。

對(duì)于每個(gè)可能的分段數(shù)k，枚舉所有可能的起點(diǎn)，然后計(jì)算每段（長(zhǎng)度為n/k，向上取整或根據(jù)余數(shù)調(diào)整）的和。

使用歐幾里得算法求這些和的最大公約數(shù)。

考點(diǎn)

前綴和數(shù)組：

用來(lái)快速計(jì)算任意區(qū)間的和。

這是一個(gè)常用的數(shù)組處理技巧，特別是在需要頻繁計(jì)算區(qū)間和時(shí)。

歐幾里得算法：

用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

這是數(shù)論中的基礎(chǔ)知識(shí)，也是算法競(jìng)賽中常用的技巧。

時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化：

如何在保證正確性的前提下，盡可能減少算法的時(shí)間復(fù)雜度。

這需要對(duì)問題進(jìn)行深入的分析，并找到問題的本質(zhì)特征，從而設(shè)計(jì)出更高效的算法。

數(shù)組處理：

如何高效地處理數(shù)組數(shù)據(jù)，包括數(shù)組的遍歷、修改和查詢等。

這是編程中的基本技能，也是解決很多問題的關(guān)鍵。

數(shù)論知識(shí)：

最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)等數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)。

這些知識(shí)在算法競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，需要熟練掌握。