|作者：馬亞琪1 黃美珍1 孟子楊2 王寧1

(1 香港科技大學)

(2 香港大學)

摘要 在凝聚態物理學領域，量子摩爾材料研究正當其時。本文將從一篇物理學版《馬說》講起，引導讀者欣賞該領域的新進展：得到更大晶格長度的 super-moiré （超摩爾）材料。我們將領略超摩爾材料所帶來的神奇物理效應，以及該研究如何完成從理論到計算再到實驗的完整閉環，遍歷過去 50 年研究晶格勢場中的電子在磁場中的運動行為的來龍去脈，從侯世達講到石墨烯，再到轉角石墨烯和現在的超莫爾材料，實現前人開拓卻所不及的整數磁通布洛赫態和整數 BZ 振蕩，一窺其為量子世界研究開辟新路徑。

Super-moiré說

世有 moiré，然后有 super-moiré。

Moiré 者常有，而 super-moiré 不常有。

Moiré 之 super 者，

其原胞尺度可達百納米，

向之作者不知其能 super 而制也。

是 super-moiré 也，

其成于常規 moiré 之量子干涉效應，

波粒二象性之力良有以也。

以百納米之原胞，

所含磁通之量亦增百倍，

Brown-Zak 振蕩正比于磁場之現象，

昭然于世也。

噫！Brown-Zak，

侯世達諸前輩得見今日之數據，

其必曰 “微斯人，吾誰與歸”矣。

0 1

題解

這段混搭了韓愈，范仲淹還有幾位物理學家的《Super-moiré 說》，看的大家一頭霧水，先說一聲抱歉。 但就是這樣文白夾雜古今中外的拉扯，其實包含著時下量子摩爾材料研究的新進展 [ 1 ]，下面的文章， 就好像諸位看官中學時學古文一樣，可以作為對于這樣的進展的賞析來讀。

量子摩爾材料（quantum moiré material）是指人造的二維超晶格材料，對于這樣材料的理論、計算和 實驗研究，是目前凝聚態物理學和量子材料科學的研究重點。 其具體的例子包括雙層轉角石墨烯 [2] 和過渡金屬二硫化物。 人們在前者中發現了超導現象，而目前正在世界范圍內如火如荼的分數陳絕緣 體 ——庶幾分數量子霍爾效應的無磁場版本——就是在后者中發現的。 這些材料的一個共同的特點就是 通過堆疊和旋轉，材料中形成的人造 moiré 晶格的尺度可以大于其單層組分中原子晶格的尺度，如單 層的石墨烯中碳原子所形成的蜂窩晶格，其鍵長在埃米量級（10-10 m），而雙層轉角石墨烯的摩爾超 晶格，其晶格長度可以到 10 納米（10-8 m）量級。 在量子多體物理學和拓撲物理學中大家所追求的新 奇現象，如二維 (狄拉克) 電子氣、莫特絕緣體、非費米液體、非常規超導體、量子反常霍爾效應(陳絕 緣體) 和其分數化的版本等等，都因為這樣的長度尺度和能量尺度的變化而在量子摩爾材料中涌現出 來的，而且人們可以通過精準的門電壓、轉角、應變、垂直電場、外磁場等方式進行調控，在同一個 樣品中實現這些新奇物態之間的相變，難怪摩爾材料變成了凝聚態物理學從理論到計算再到實驗，老 少咸宜的熱門話題。

如是的長度尺度和能量尺度的變化和隨之而來的新物理現象，能否在現有的摩爾材料之上繼續進行呢？我們這里想要討論的進展，是在摩爾超晶格的基礎上，想辦法繼續增大超晶格原胞的尺度，把原胞從10 納米（10-8 m）增大到了 100 納米（10-7 m）量級，這樣制造出來的二維超晶格材料，就是 Super-moiré [1]。想要把原胞尺度變得更大，依靠人工堆疊兩種具有相似晶格常數的材料形成異質結是不可行的。異質結的原胞尺寸由這兩層二維材料間的晶格常數差所決定，而差是有限的，對于最常見的石墨烯（graphene）和六方氮化硼（hexagonal boron nitride，簡稱 hBN）形成的異質結，它的最大原胞尺度也才 ~ 14 納米。另一方面，簡單地調整同質結中兩層相同的二維材料之間的轉角也不能實現更大的原胞尺度（雖然之前有不少嘗試）。這是因為在實際材料中，原子排布的不均勻性是一個很大的問題，而且摩爾材料的雙層或者多層之間通過范德瓦爾斯力（而不是三維材料中常見的化學鍵）聯系在一起，范德瓦爾斯力不似化學鍵那么強，原子可以比較容易地調整位置找到局域基態，但這就會使得原子排布從整體上看更加混亂，不能成為周期性的晶格。

那么如何克服這樣的問題呢？還是那句老話，“遇事不決，量子力學”。解決問題的辦法是把兩個已經 穩定的 moiré 超晶格再疊加起來，并旋轉到合適的角度。 當是時也，疊加在一起的穩定 moiré 超晶格 （其原胞大小都在 10 納米左右），其中電子的波函數（波粒二象性）會發生干涉效應： 如果兩個 moiré 之間相對的轉角滿足了干涉所需要的 公度 （commensurate） 條件，也就是兩套 moiré 的倒格矢 滿足特定關系時，兩個 moiré 的波長可以發生干涉，那么這樣干涉出來的波就可以具有更長的波長。 如此產生的 super-moiré 超晶格，其晶格長度可以克服上面說的材料的不均勻性，展現出穩定的更大原 胞的周期性晶格結構。 正因為 super-moiré 的形成靠的是兩個穩定的 moiré 超晶格中電子波函數的量子力 學干涉效應，而不是機械地通過旋轉讓原子密度簡單地在幾何上排列出更大的周期（遑論實際材料 中原子排布天生不均勻，原子密度不能真正形成周期），所以說 “波粒二象性之力良有以也”。 我們在 目 前所得到的實驗結果，其實只是理論中滿 足 公度條件的諸多 干涉 波長中的一種，可以預期此路一開， 還會有更多的 super-moiré 材料被制造出來，在更大長度尺度上的新奇量子多體物理學現象和拓撲物 理學現象會不斷涌現。

那么有了更大晶格長度的 super-moiré，我們用它來展示什么新的物理現象呢？ 這就需要提到引言的 《Super-moiré 說》中嵌入的幾位物理學家 “Brown-Zak，侯世達諸前輩” 和電子在晶格中的周期勢場和 磁場的共同作用下，所展示的侯世達蝴蝶 （Hofstadter butterfly） 和 Brown-Zak 量子振蕩效應了。

02

侯世達的蝴蝶與Brown-Zak的振蕩

侯世達的蝴蝶（Hofstadter butterfly）不是混沌現象中經常提到的蝴蝶效應，侯世達也不是中國人， 而 是美國物理學家 D. R. Hofstadter (不得不說他的中文譯名很接地氣)。 他在 1970 年代通過數值計算得 到了在二維周期性勢場和垂直磁場中的電子的量子運動的能譜圖，形如蝴蝶，故得名。 他的結果也成 為了現代科學計算數據可視化的早期范例之一 [3]。

圖 1 侯世達繪制的“蝴蝶圖”，描述二維正方形晶格中的電子的能級關于外加磁場的函數形式，形如蝴蝶。圖片來自文獻 [4]

二維正方形晶格中的電子的能級關于外加磁場的函數形式如圖 1 所示，該譜圖在數學結構上最顯著的 特征是，在特定的磁場數值下（橫軸），電子可以處在的能量本征態（縱軸）可以隨著磁場的變化發生 復雜的分裂，并產生迭代性的分形結構，形如蝴蝶，后來人們發現蝴蝶翅膀的特征是陳整數，所以 侯世達蝴蝶在后來的整數量子霍爾效應理論和拓撲量子數理論中都有重要的作用。 產生這樣圖案的實 質原因是，在 公度 （commensurate） 的條件下，即穿過晶格原胞之內的磁通量Φ 為磁通量子（ Φ 0 = ?/e ~ 4 ×10 -15 T/m2）的有理數倍Φ/Φ0 = p/q（p 和 q 是互質的整數）時，磁場下在晶格上運動的電子 感受到的有效磁場為零，可以擺脫磁場的束縛恢復自由的狀態，這樣在周期晶體中自由運動的電子 的波函數，稱為布洛赫態（Bloch state），得名于瑞士物理學家 Felix Bloch (1905—1983)，如圖 2.a 所示。 侯世達蝴蝶能譜中的電子，在滿足磁場的公度條件的時候其波函數就是布洛赫態，其能量就是圖1中 有顏色的地方，此時電子可以傳導，考慮到此時有磁場（雖然電子在公度時感受不到），電子的波函 數被稱為磁布洛赫態； 而在不滿磁場的公度條件時，電子的波函數則處于絕緣態，其能量就是圖 1 中空白的地方。

圖 2. 晶格原胞尺寸和磁場的公度條件及 BZ 振蕩。a. 沒有磁場時，電子在晶格勢場中自由運動，其波函數為布洛赫波。b. 有磁場但不滿足公度條件時，電子運動受到束縛。c. 滿足公度條件Φ/Φ0 = p/q時，即穿過晶格原胞的磁通量為磁通量子的p/q倍，電子感受到的有效磁場為零，電子恢復磁布洛赫波的自由狀態。a,b,c, 來自文獻 [8]。d. 當晶格原胞（灰色六邊形）較小時，需要多個原胞才能承載一個磁通量子。藍色六邊形表示在一定磁場強度下承載一個磁通量子需要的面積，灰色箭頭表示一個磁通量子。即一個晶格原胞只能穿過分數個磁通量子，也就是Φ/Φ0 = 1/q (q = 1,2,3, … ) 。那么實驗上可以看到隨 1/B 做周期性變化的分數 BZ 振蕩，如圖 e 所示。當晶格原胞變大時，在同樣磁場下的一個原胞（super-moire 原胞，紅色六邊形）能承載整數個磁通量子，即 Φ/Φ 0 = p (p = 1,2,3, … )。那么實驗上可以看到隨 B 做周期性變化的整數BZ振蕩，如圖 f 所示。

處在磁布洛赫態中的電子 ，因為不受磁場的束縛，可以保持彈道輸運，好像金屬中的自由電子在能帶 中一樣（圖 2.c）； 如果此時調節磁場，把電子的狀態調節到圖 1 中空白的地方，此時電子就好像進入 能帶中間的能隙而被約束，不能參與導電（圖 2.b）。 如果可以測量侯世達蝴蝶（就是在二維周期性 晶格勢場和垂直磁場中的電子）的輸運性質，并觀察其電導隨著磁場的關系，那么可以看到隨著磁場 的變化：

穿過晶格原胞的磁通在“滿足—不滿足”公度條件的狀態之間變化；

電子的行為也就在對于磁場的 “自由— 約束”狀態之間變化；

其電導也就會出現隨著磁場 “導電—不導電” 的振蕩行為。

這樣的振蕩行為被稱為 Brown-Zak 振蕩（簡稱 BZ 振蕩），如圖 2. d, e, f 所示，得名于美國物理學家Edmond Brown [5] 和以色列物理學家 Joshua Zak [6]，這二位理論物理學家在 1960 年代就考慮過均勻磁場對于布洛赫電子運動的影響 ，可以說侯世達在 1970 年代的工作是建立在 Brown-Zak 的基礎之上的，只是 Brown-Zak 更多討論的是磁平移群的數學結構，而侯世達則把計算所得的蝴蝶能譜，還有能譜的分形結構挖掘了出來。

行文至此都是理論和計算物理學家的游戲，在真實的二維材料中，能否觀察到侯世達蝴蝶和 BZ 振蕩 呢？ 一如地球上的很多事情，理想和現實的差距就是那么大，那么不隨人意。 這是因為真實材料中原 子 晶格的尺度在埃米量級（10-10 m），比如石墨烯的晶格長度是 a = 2.46 × 10-10 m ，那么它的原胞面積 就是S ~ 5 × 10-20 m 2 。 這意味著如果需要滿足公度條件 Φ/Φ 0 = p/q , 此時通過晶格原胞的磁場 B = Φ/S = Φ0p/qS ~ 10000 T（當 p/q= 1/2）時，1 萬特斯拉這么大的磁場在地球上的實驗室中是不能 實現的。 這也就是說，如果想要在真實的物理材料中觀察到 BZ 振蕩，需要盡量地增大晶格原胞的面 積（就是原胞的尺寸），這樣才能在一個原胞中盡可能多地囊括磁通量子的 p/q 倍，才能看到系統的 電導隨著磁場，以 p/q 為周期的 BZ 振蕩行為。 圖 2. d, e, f 就是這樣現象的示意圖。

直到最近，侯世達蝴蝶和 BZ 振蕩才在二維量子材料中被實現。2013 年，通過將 hBN 和石墨烯的晶軸對齊，英國曼徹斯特大學的 Fal’ko 和 Geim （2010 年諾貝爾物理學獎得主，因為發現石墨烯而聞名）得到了 Graphene/hBN (縮寫為 G/hBN) 摩爾超晶格，其波長在 10 納米左右。這個數值比石墨烯的晶格常數大了將近 40 倍，意味著原胞面積增大了 1500 多倍。在實驗室磁場（B ~ 20 T）下，他們成功達到了公度條件 Φ/Φ0 = 1/q（q = 1,2,3, …），即每個原胞內有1/q（分數）個磁通量子，進而首次在實驗上觀察到了分數 BZ 振蕩 [7]，如圖 2. e 所示。進一步，2018 年，Fal’ko 和 Geim 組在同樣的Graphene/hBN 摩爾超晶格中實現了高階的分數 BZ 振蕩，其中p = 1,2,3,4 ，但是仍然 p/q < 1 [8].

然而，分數磁通并沒有組成完整的侯世達能譜，也就是沒有看到B=pΦ0/qS ，其中 q = 1 ， p = 1 , 2 , 3 , … 時的整數磁通 BZ 振蕩，如圖 2. f 所示。 在原胞尺度為~10 納米的 G/hBN moiré 結構中，要達 到最小 的整數磁通，即 Φ/Φ 0= 1 ，需要的磁場是 B ~50 T； 如果要達到 Φ/Φ 0= 2 ，則需要 B ~100 T。 這仍然是實驗上難以達到的磁場強度。 也就是說，如 G/hBN 這樣的普通 moiré 材料中的原胞面積 S 仍然不夠大。 只要把 S 增大，比如原胞的線性尺度從 10 納米增大到 100 納米，原胞的面積就可以再 增大 了 100 倍，所需要看到同樣 BZ 振蕩的磁場就可以減小 100 倍。 這就是 super-moiré 材料發揮作用 的地方，如前所述，我們的 super-moiré 提供了一種創造周期為幾十個納米的結構，這為研究侯世達能 譜 和整數 BZ 振蕩提供了一個良好的平臺。

0 3

世有moiré，然后有super-moiré

構建 super-moiré，就是要構建尺度為~100 納米的周期性勢場。正如前文中所提到的，在量子摩爾材料的構建方法中，異質結中原胞尺寸有限，小于需要的長度；大尺度周期性結構在極小轉角的同質結中是可能的，但是在現實中結構弛豫會導致嚴重的不均勻性。直到現在，整數磁通的 BZ 振蕩只在非常有限的系統中被實現。同時，在這些系統中，電荷捕獲中心（charge trap centers）、雜質、角度不均勻性和層間耦合引起的電子能帶變化都會阻礙整數磁通布洛赫態的實現。

我們的解決辦法，是通過兩個穩定的 moiré 超晶格的堆疊和旋轉，當兩套 moiré 的倒格矢滿足公度 關系，此時電子波函數發生量子力學干涉效應，進而可以實現 super-moiré 的更大周期 [1]。如圖 3.a 所示 ，通過把單層石墨烯和 1.0°的轉角六方氮化硼（twisted hBN，簡稱 t-hBN）對齊，我們創造了兩 個小尺度的摩爾結構，一個是 14.4 納米的 t-hBN moiré，另一個是 13.0 納米的 G/hBN moiré。 這兩個 摩爾結構會相互干涉來形成一個 63.2 納米的 super-moiré 結構，在主狄拉克點（main Dirac point， 單層石墨烯的本征電阻峰，對應 n tot=0 ）附近出現的電阻峰證明了這一點（圖 3. c）。 如此構造簡 潔干脆，卻效果顯著。 通常使用的 hBN 晶體是自然堆疊的 AA’結構，通過小角度堆疊兩個奇數層的 hBN 晶體，可以創造一個平行堆疊的界面。 這樣的堆疊方式會在界面處產生第一個 t-hBN moiré 圖案 （圖 3. a 的右邊），其中對稱性破缺會產生一個周期性勢場 [9]。 這個勢場是靜電性的，并且可以在沒 有直接接觸的情況下影響相鄰的材料。 同時，當單層石墨烯進一步和 t-hBN 對齊，石墨烯和 hBN 之間 的晶格常數差可以產生第二個 G/hBN moiré 圖案（圖 3. a 的左邊）。 在 t-hBN 和 G/hBN 界面處產生 的勢場擁有不同的周期和幅度（示意圖如圖 3. b）。 通過控制 G/hBN 和 t-hBN 中的轉角大小，這兩個 摩爾結構可以產生量子干涉并形成 t-hBN/G/hBN super-moiré 結構（圖 3.a 的中間），這個新的摩爾結 構通常具有比兩個單摩爾結構更大的周期尺度。 這樣，在石墨烯中運動的電子會感受到一個大尺度的 s uper-moiré 勢場（圖 3. b）。

圖 3 Super-moiré 周期性勢場的產生 a. 兩個單摩爾結構和 super-moiré 結構的示意圖；b. t-hBN 和 G/hBN 勢 場疊加的示意圖，以此產生大周期的 t-hBN/G/hBN 勢場； c . 縱向電阻隨載流子濃度的變化關系（ T = 1.5K） 。 數據來自文獻 [1].

基于這種 super-moiré 結構，我們制備了器件并進行輸運測量。圖 3. c 是零磁場下測量得到的縱向電阻 Rxx 隨載流子濃度 ntot 變化的曲線。 除了來自于主狄拉克點的電阻峰，藍色箭頭標記的兩個電阻峰來 自 于 t-hBN 和 G/hBN 勢場的共同作用，其中 t-hBN 和 G/hBN 摩爾結構的周期尺度分別為 14.4 納米 和 13.0 納米。 重要的是，在主狄拉克點附近出現了額外的小電阻峰（如洋紅色箭頭標記），這些峰顯 示存在一個更大尺度的電勢場。 實驗上可測到載流子濃度為 ~ 9 . 07 × 10 10 cm -2 ，這對應一個~61.8 納 米 的 t-hBN/G/hBN super-moiré 結構。 正是這樣的 super-moiré 給了我們更大的原胞面積 S，如果 Fal’ko 和 Geim 等人可以利用 G/hBN moiré 在 20 T 的磁場下看到 Φ/Φ0=1/q （ q = 1 , 2 , 3 , … ）的分數 BZ 振蕩， 那么現在我們的 super-moiré 原胞尺寸大了~5 倍，原胞面積大了~25 倍，那么在同樣的磁場條件下， 我們應該可以看到 Φ/Φ0=p （p = 1 , 2 , 3 , … ），即每個原胞內有 p （整數）個磁通量子的 BZ 震蕩。 在 地球上的實驗室條件中，我們的共作將會證明通過大尺度的 super-moiré 結構可以產生整數磁通的磁布 洛赫態。

實驗的情況確實如我們所想，圖 4. a 是器件在 T=142 K 下的輸運數據，電阻 Rxx 隨 磁場和載流子濃 度 n tot 的變化圖。 在這個溫度下，我們能看到獨立于載流子濃度的電阻振蕩，如圖中的橫條紋所示， 這就是 BZ 振蕩。 因為 BZ 振蕩依賴于 super-moiré 勢場的周期性，這是一個結構特征，所以它極其穩 定在高溫下依然存在 [10]。 進一步，我們發現電阻 Rxx 的極大值周期性出現在整數磁通位置（ Φ/Φ 0 = 1— 9 ），也就是說振蕩隨磁場做周期性變化。 這是整數 BZ 振蕩，和分數 BZ 振蕩是不一樣的。 在分 數 BZ 振蕩中，電阻隨磁場的倒數（1/B）做周期性變化，對應于每個原胞中有分數個磁通量子。 圖 4. b 是來自于圖 4. a 的一條線，即在固定載流子濃度時，測量電阻隨磁場的變化，如圖 4. a 中的藍色箭 頭所示。 很顯然，電阻極大值恰好出現在 Φ/Φ0 =p ，這對應于每個原胞中有整數個磁通量子，即整數 磁通的磁布洛赫態。 從圖 4.a 和 4.b 我們得到 BZ 振蕩的周期是 B ~ 1 . 20 T，通過關系 ΔBS =Φ0 和 S = ，可得到 super-moiré 結構的尺度是 ～ 63.2 納米，和圖 3. c 中縱向載流子濃度估計得到的 ~61.8 納米是符合的。

此外，為了理解 super-moiré 勢場如何產生整數磁通的磁布洛赫態，我們建立了一個連續性模型來計算電導。圖 4. c 是計算結果，可以看到的極大值表現為均勻分布的橫條紋，出現在 Φ/Φ0=1—10。這與實驗結果是符合的，并定性甚至是半定量地解釋了實驗上測量到的整數 BZ 振蕩的確起源于整數磁通的磁布洛赫態。

圖 4. Super-moiré 勢場產生的整數磁通的磁布洛赫態 a. 縱向電阻的二階導數 = 2 /2 隨磁場和載流子濃度的變化關系；b. 固定載流子濃度時， 隨磁場的變化關系；c. 計算電導 隨磁場和載流子濃度的變化關系。數據來自文獻 [1]。

03

微super-moiré，吾誰與歸

由是觀之，我們實現了整數磁通的布洛赫態 （Φ/Φ0 = 1—9），并觀察到隨磁場做周期性變化的量子振蕩，即整數 BZ 振蕩，這項工作不僅為研究高磁通（p/q > 1）下的侯世達蝴蝶能譜提供了機會，而且為創造均勻的大尺度超摩爾（super-moiré）周期性勢場提供了新的方法。從 1960 年代的 Brown-Zak，到 1970 年代的侯世達，到 graphene 和 moiré 時代的 Fal’ko 和 Geim，再到今天的 super-moiré，二維周期性勢場和垂直磁場中電子的量子運動的故事，從理論到計算再到實驗，終于在地球上實驗室里面畫了一個完整的圈。所以說如果 Brown-Zak, 侯世達諸位前輩看到當下的進展， “其必曰：微斯人，吾誰與歸？”

當然，在我們之前，其他人也探索了類似的現象。比如堆疊兩個 hBN/G 界面形成 hBN/G/hBN 結構[11]，或者堆疊兩個 G/G 界面形成三層轉角石墨烯結構 [12]。這兩個結構的共同點是使用相同類型的moiré 堆疊，通過相鄰層之間的近鄰耦合（proximity coupling）形成 super-moiré。但這種設計有兩個缺點：首先，相鄰層之間距離固定導致勢場強度無法調節；此外，由于近鄰耦合要求不同層材料在空間上不能離太遠，因此想要疊加更多層結構來制造更復雜的 super-moiré 幾乎不可能。不同的是，我們所采用的t-hBN/G/hBN super-moiré結構由不同類型的moiré組成，避開了上面兩個缺點。這是因為G/t-hBN 中 t-hBN 的勢場來自于界面處電極化產生的靜電勢，這種勢場允許不同層材料在空間上的分離，并且可以通過變化 hBN 厚度來調節勢場強度。此外，hBN 作為一個絕緣體，不直接參與電子輸運，相對于三層轉角石墨烯這種電子性質被層間相互作用強烈改變的系統， t-hBN/G/hBN super-moiré 結構是一個相對干凈的系統。這樣的通過量子力學干涉效應制造的 super-moiré 器件，將有望實現清晰可控的高密度單光子源陣列，三維拓撲絕緣體 [13] 等，將會在量子通信和量子計算等領域具有重要應用前景。

由 《super-moiré 說》所引出的思考，讓人意猶未盡想再說幾句。回到本文開頭處的韓愈和《馬說》，中學教材中的解讀是韓老夫子認為世界上不是沒有千里馬，而是缺少知馬的伯樂，他控訴的是封建社會中統治階級不知人、埋沒人才，抒發了封建社會中知識分子懷才不遇的悲憤。在這樣的情況下，再去希望如韓老夫子一樣被統治者重視而成為其中的一員，其實是徒勞的。反倒是文章開頭提到的物理學家侯世達同學，為我輩真正關心學問的人指出了另一條出路。侯氏在完成了 Butterfly 研究之后，研究興趣更是擴展到了認知科學和人類創造性活動的共同規律，他跨界到了計算機科學、科學哲學、比較文學和心理學，完成了比侯世達蝴蝶更加有影響的工作，他寫有這樣一本有趣的書《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》（G?del, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid），講述了邏輯學家庫爾特·哥德爾，藝術家莫里茨·科內利斯·埃舍爾，和作曲家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫的創造性的成就怎樣交織在一起。如他所說：“我認識到，哥德爾、埃舍爾和巴赫只是用不同的方式來表達一樣相同的本質。我嘗試重現這種本質而寫出這本書”。相比于韓老夫子，侯世達同學的例子反倒更像是一個正常的社會中，具有理性思維方式和創造精神，敢于質疑權威和發揚真理的科學家的所應該采取的態度。

參考文獻

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