本月主題:
1. 數(shù)學(xué):“兩種文化”之間的橋梁
2. 水波中的莫比烏斯帶
3. 埃米·諾特、對(duì)稱性和電荷守恒
點(diǎn)擊zzllrr小樂(lè)公眾號(hào)主頁(yè)右上角設(shè)為星標(biāo)★數(shù)學(xué)科普不迷路!
作者:Tony Phillips(紐約州立大學(xué)石溪分校教授)2025-3-20
譯者:zzllrr小樂(lè)(數(shù)學(xué)科普公眾號(hào))2025-3-22
1. 數(shù)學(xué):“兩種文化”之間的橋梁
戈登·吉萊斯皮 (Gordon Gillespie) 認(rèn)為數(shù)學(xué)可以幫助“彌合人文學(xué)科與自然科學(xué)之間的巨大鴻溝”。
在澳大利亞思想雜志《Aeon》最近發(fā)表的一篇文章中 https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics ,吉萊斯皮首先勾勒出了知識(shí)分子思想的圖景。在他看來(lái),知識(shí)分子思想有兩個(gè)主要群體,即人文學(xué)科和科學(xué)學(xué)科,C. P. 斯諾在1959年出版的書(shū)中將其稱為“兩種文化”。
吉萊斯皮寫(xiě)道:“私下里,大多數(shù)自然科學(xué)家仍然認(rèn)為人文學(xué)科是一門(mén)缺乏基本認(rèn)識(shí)論標(biāo)準(zhǔn)的偽科學(xué)”,“與此同時(shí),許多人文學(xué)科學(xué)者認(rèn)為科學(xué)家是迂腐的自然勘測(cè)員,他們可能會(huì)產(chǎn)生實(shí)際和有用的結(jié)果,但卻對(duì)(文化)世界運(yùn)作的真正深刻見(jiàn)解視而不見(jiàn)。”
吉萊斯皮設(shè)立了兩個(gè)極端原型。對(duì)于“天真的現(xiàn)實(shí)主義者”(naive realists)來(lái)說(shuō),現(xiàn)象只能通過(guò)追溯到機(jī)械論第一原理的因果鏈來(lái)解釋。他們相信“自然是按照規(guī)律排列的,無(wú)論是否有人類(lèi)在場(chǎng)觀察。”
“天真的理想主義者”(naive idealists)相信,思想及其在數(shù)千年中產(chǎn)生的社會(huì)和文化機(jī)制是在一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域中發(fā)展,有自己的規(guī)律。他們“堅(jiān)持認(rèn)為所有秩序都是概念秩序,完全基于個(gè)人或集體思想。”
數(shù)學(xué)確實(shí)處于這兩個(gè)極端立場(chǎng)之間的中間地帶:17永遠(yuǎn)是素?cái)?shù),但其余大部分,盡管受到邏輯的約束,是一種文化構(gòu)造。例如,我相信,一旦我們研究了仙女座星云中圍繞某顆恒星運(yùn)行的行星上發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué),我們就會(huì)完全理解它,但那里發(fā)展出的概念可能與我們完全不同。
吉萊斯皮的讀者群是熟悉康德和維特根斯坦的,但他找到了一些很好的具體例子來(lái)支持他的論點(diǎn),即現(xiàn)代科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的使用迫使它背離狹隘的因果關(guān)系學(xué)說(shuō)。其中之一是相對(duì)論中的雙胞胎悖論(twin paradox),其中一個(gè)年輕的雙胞胎花了幾年時(shí)間以接近光速的速度環(huán)游宇宙,回來(lái)后發(fā)現(xiàn)他的哥哥已經(jīng)是個(gè)老人了。
正如吉萊斯皮所解釋的那樣,沒(méi)有“物理原因”決定他們的年齡差異:“真正的原因在于結(jié)構(gòu)框架”,即發(fā)生這種現(xiàn)象的時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)。這種幾何結(jié)構(gòu)可能在結(jié)構(gòu)上是數(shù)學(xué)的,但它已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的一部分。
他給出的另一個(gè)例子涉及中心極限定理(central limit theorem)。因果關(guān)系可以準(zhǔn)確解釋一枚硬幣如何旋轉(zhuǎn)并落地,但如果拋出一千枚硬幣,結(jié)果的鐘形分布就沒(méi)有純粹的因果解釋。然而,正態(tài)分布,完全是人類(lèi)構(gòu)造的,是科學(xué)工具箱中不可或缺的一部分。
文章最后反思道,所有科學(xué)都“不可分割地根植于”我們外部的世界和人類(lèi)的思想中,而這種二元性在數(shù)學(xué)中尤為明顯,超越了因果關(guān)系。
2. 水波中的莫比烏斯帶
過(guò)去幾年,研究人員開(kāi)始從理論上研究水波中如何形成渦旋和莫比烏斯帶等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。《自然》雜志上的一篇新論文 https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y 描述了一種實(shí)現(xiàn)這些現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)裝置。作者是一個(gè)由王波(音譯名,復(fù)旦大學(xué)和河南大學(xué))和車(chē)志遠(yuǎn)(音譯名,復(fù)旦大學(xué))領(lǐng)導(dǎo)的八人國(guó)際團(tuán)隊(duì)。
在提議的實(shí)驗(yàn)中,拓?fù)洮F(xiàn)象的關(guān)鍵是波的角動(dòng)量矢量場(chǎng)。角動(dòng)量是方向向前的動(dòng)量的旋轉(zhuǎn)類(lèi)似物;它使陀螺保持旋轉(zhuǎn)。水波是否攜帶角動(dòng)量并不明顯,但確實(shí)如此。當(dāng)波浪經(jīng)過(guò)時(shí),漂浮在水面上的理想粒子會(huì)經(jīng)歷圓形“軌道”運(yùn)動(dòng) https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth :它被抬起、向前推、落下和拉回。
YouTube上有一個(gè)很棒的動(dòng)畫(huà) https://youtu.be/NShUBfJQEHk 演示了這一運(yùn)動(dòng)。粒子運(yùn)動(dòng)在垂直平面上描繪出一個(gè)圓圈,該圓圈朝向波的傳播方向,直徑大約等于波的高度。如果粒子有質(zhì)量,則其圓周運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生角動(dòng)量。角動(dòng)量由垂直于圓圈的矢量表示,其指向是螺旋如果朝該方向轉(zhuǎn)動(dòng)就會(huì)移動(dòng)的方向。該方向與質(zhì)量無(wú)關(guān),在下圖中由矢量場(chǎng)S表示。
正弦水波沿x方向從左向右傳播,在z方向上振幅不變,在y方向上保持恒定。波谷中有一個(gè)粒子,它沿順時(shí)針?lè)较虻膱A傳播。
平面波(此處從左向右移動(dòng))的示意圖,兩個(gè)漂浮粒子的圓周運(yùn)動(dòng)以及相應(yīng)的角動(dòng)量矢量。粒子(黃點(diǎn))在垂直平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn);紅色角動(dòng)量矢量場(chǎng)S與y軸平行。
圖源:Tony Phillips
為了利用這種角動(dòng)量,作者建造了一個(gè)邊長(zhǎng)為16厘米的六邊形水池。邊 1、3和5(下圖紅、藍(lán)、綠)由正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng),產(chǎn)生波長(zhǎng)約為4厘米的水波。邊2、4和6是靜止的。這會(huì)產(chǎn)生三道波浪,它們以120°的角度相互傳播。驅(qū)動(dòng)信號(hào)也經(jīng)過(guò)調(diào)整,使得波浪彼此之間也存在120°的相位差。
裝置示意圖:
a. 六邊形水池的三條邊受到正弦激發(fā)產(chǎn)生波浪。
b. 三組波具有相同的頻率和振幅,但方向和相位相差120°。
圖源:Tony Phillips
當(dāng)波不再是單波,而是三波干涉時(shí),表面粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)變得更加復(fù)雜。下圖顯示了相應(yīng)的S場(chǎng)。矢量根據(jù)其方向進(jìn)行顏色編碼,顏色強(qiáng)度表示其振幅。
圖形顯示以下區(qū)域(順時(shí)針移動(dòng)):粉色、黃色、藍(lán)色、粉色、黃色、藍(lán)色。圖形中心附近顏色交匯處布滿了三角形,中間點(diǎn)綴著黑色三角形(低振幅區(qū)域)。
角動(dòng)量矢量場(chǎng)S由三個(gè)頻率和振幅相同但方向和相位相差120°的平面波疊加而成。S矢量的振幅和相位由顏色編碼的強(qiáng)度和色調(diào)表示。
圖源:王波
對(duì)于三波,激發(fā)模式因點(diǎn)而異。粒子并非總是按圓形運(yùn)動(dòng),而是可以按橢圓形運(yùn)動(dòng)或靜止不動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)為非圓形橢圓的點(diǎn)處,可以沿橢圓的長(zhǎng)軸畫(huà)一條線。作者指出,在角動(dòng)量場(chǎng)S的奇點(diǎn)周?chē)@些線可以描繪出一條莫比烏斯帶。
上圖中心的放大圖(見(jiàn)下圖頂部)。在放大的正方形內(nèi),我們可以分析自旋方向場(chǎng)。坐標(biāo)給出了水池表面的位置。
上圖底部:沿著圍繞S場(chǎng)奇點(diǎn)的虛線圓,波位移矢量描繪出的橢圓主軸形成一條莫比烏斯帶。因?yàn)樵谶@幅圖中這些軸顯示為定向的,所以在奇點(diǎn)周?chē)鷪A的某個(gè)點(diǎn),指示的方向必須翻轉(zhuǎn)。這些點(diǎn)以黃色高亮顯示。
圖源:王波,經(jīng)過(guò)部分編輯
作者繼續(xù)展示,在具有24個(gè)干涉水波(而不是3個(gè))的裝置中,可以控制干涉圖案,從而將漂浮粒子從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方。由此他們的論文標(biāo)題為:“拓?fù)渌ńY(jié)構(gòu)操縱粒子”。
Miragenews.com 上發(fā)布的新聞稿中 https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette 提供了一些附加信息。
3. 艾米·諾特、對(duì)稱性和電荷守恒
2月4日,《新科學(xué)家》雜志發(fā)表了一篇關(guān)于數(shù)學(xué)家埃米·諾特(Emmy Noether,1882 - 1935)的文章《至今仍在改變物理學(xué)的百年對(duì)稱定理》 https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/ 。
埃米·諾特因?qū)⑺写鷶?shù)的力量釋放到后來(lái)成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的領(lǐng)域而受到拓?fù)鋵W(xué)家的尊敬。我推薦弗里德里希·希策布魯赫(Friedrich Hirzebruch,1927 - 2012)對(duì)她的影響的描述 https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf 。
該文作者(John Gribbin和Mary Gribbin)關(guān)注另一項(xiàng)成就,即“諾特定理”,該定理至今仍是理論物理學(xué)的基礎(chǔ)。他們這樣描述:“諾特定理證明了,如果物理定律無(wú)論何時(shí)都保持不變,換句話說(shuō),即如果它們是時(shí)間不變的(time-invariant),那么在任何理論中,能量都必須守恒。”
他們進(jìn)一步闡述了諾特定理不僅適用于時(shí)不變性:只要物理系統(tǒng)具有連續(xù)對(duì)稱性,諾特定理就表明必定存在相應(yīng)的守恒量。例如,在量子力學(xué)中,只有相位差才重要。如果量子力學(xué)系統(tǒng)中的所有相位都以相同的角度向前或向后移動(dòng),則物理完全相同。這種對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的守恒量是電荷。
諾特定理適用于動(dòng)力學(xué)可以用拉格朗日函數(shù)(Lagrangian,拉格朗日量,或在經(jīng)典力學(xué)中,也可以等價(jià)地,使用哈密頓函數(shù)Hamiltonian https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf )來(lái)描述系統(tǒng)。拉格朗日函數(shù)由約瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736 - 1813)提出,純粹是為了數(shù)學(xué)上的方便。它使推導(dǎo)復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變得容易得多。
一個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日量是相關(guān)位置(我們可以將其寫(xiě)成向量X)、速度v和時(shí)間t的函數(shù)。通常的表示法是(x,v,t)。這個(gè)想法是,系統(tǒng)將在時(shí)間t?和t?之間演變,以使的積分最小化。這個(gè)積分被稱為作用量(action),但沒(méi)有直接的物理意義。
一般來(lái)說(shuō),對(duì)于像這樣的函數(shù),要成為這類(lèi)積分最小化問(wèn)題的解,它必須滿足一個(gè)稱為歐拉-拉格朗日方程的微分方程(這是變分法的一部分 https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/pandoc_chapter2.html )。對(duì)于力學(xué)系統(tǒng),歐拉-拉格朗日方程給出運(yùn)動(dòng)方程(見(jiàn)下文)。
諾特定理的工作原理可以從一個(gè)質(zhì)量為m的物體的例子看出,物體放在一個(gè)無(wú)摩擦水平桌子上,被彈簧拴在墻上。當(dāng)彈簧從靜止位置拉伸或壓縮時(shí),它會(huì)施加一個(gè)與變形x成比例的指向相反方向的恢復(fù)力F = -kx。對(duì)于像這樣的一維力學(xué)系統(tǒng),拉格朗日量為
(x,v,t) = mv2/2 - kx2/2
這里,式子中的量mv2/2是質(zhì)量物體的動(dòng)能(kinetic energy),kx2/2是勢(shì)能(potential energy):將彈簧從靜止位置拉伸(或壓縮)到x所需的功。
一個(gè)簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng):一個(gè)質(zhì)量塊m在無(wú)摩擦的桌面上滑動(dòng),與一個(gè)彈性常數(shù)為k的彈簧耦合。當(dāng)彈簧從其靜止位置拉伸(或壓縮)一定距離x時(shí),它會(huì)以與x成比例的力拉回(或推回)。
圖源:Tony Phillips
這個(gè)拉格朗日量具有非常特殊的時(shí)不變性。如果時(shí)鐘前進(jìn)無(wú)窮小量?,則x 無(wú)限更新為x + ? dx/dt = x + ?v,而v更新為v + ? dv/dt,我們將其寫(xiě)為v + ? v`(這里v`表示v上面有一點(diǎn)的字符,即按時(shí)間t對(duì)v求導(dǎo),因?yàn)闆](méi)有合適的Unicode字符代替LaTeX代碼,采用這種寫(xiě)法,因此與原文有細(xì)微差別,譯者注)。新的拉格朗日量' = m(v+?v`)2/2 - k(x+?v)2/2 。忽略?的高次冪(丟棄掉),則有
mv2/2 + m?vv` - kx2/2 - k?xv
= mv2/2 - kx2/2 + ?(mvv` - kxv)
= (x,v,t) + ?(mvv` - kxv)
變化量為?(mvv` - kxv) ,即?乘以由K(t)=mv2/2 - kx2/2定義的函數(shù)K(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。這意味著,如果我們將'從t?積分到t?來(lái)計(jì)算新的作用量,我們將得到
根據(jù)微積分基本定理,這變成
由于它們相差一個(gè)常數(shù),一個(gè)積分的最小值與另一個(gè)積分的最小值相同:物理學(xué)沒(méi)有改變。一般來(lái)說(shuō),在諾特定理的背景下,關(guān)于坐標(biāo)s的不變性意味著s的一個(gè)無(wú)窮小的變化,會(huì)根據(jù)某個(gè)函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)改變拉普拉斯量(因此產(chǎn)生相同的作用量最小值)。這種情況特別簡(jiǎn)單,因?yàn)閰?shù)s就是時(shí)間本身。
諾特定理應(yīng)用于這種情況,指出由于拉格朗日量是時(shí)間不變的,因此量v ?/?v - K必須守恒。在這種情況下?/?v = mv,因此mv2 - K = mv2 - (mv2/2 - kx2/2) = mv2/2 + kx2/2,即動(dòng)能和勢(shì)能之和:如果拉格朗日量是不隨時(shí)間變化的,則系統(tǒng)的總能量必須守恒。
最后說(shuō)明一下:此類(lèi)問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程為
因?yàn)樵谖覀兊睦又?L/?x = -kx,?L/?v = mv,歐拉-拉格朗日方程是 -kx - m dv/dt = 0 即 -kx = m d2x/dt2,即我們熟悉的質(zhì)量物體與彈簧耦合的牛頓方程 F = ma 。
感謝我的同事 Martin Ro?ek 對(duì)本條目的幫助。
參考資料
https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/
https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/
https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics
https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y
https://www.linkresearcher.com/theses/707504ff-c602-406f-a223-d9edb1a1e248
https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth
https://youtu.be/NShUBfJQEHk
https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette
https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/
https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf
https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf
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