我們正在想盡辦法，

把這門古老的手工藝術應用在工程領域，

讓它發揮作用。

陳 焱 · 天津大學機械工程學院講席教授

大家好，我是陳焱，來自天津大學機械工程學院。我主要研究機構理論和它在工程中的應用，大家見到的所有會動的工程裝備，都是我們感興趣的。我今天給大家帶來的話題是《硬核折紙指南：從藝術走向科學》。

說到折紙，大家第一個印象就是孩童時的記憶，比如紙飛機、紙船，當然也包括千紙鶴，這是我們手工藝術里的代表。

▲ 山東臺兒莊用千紙鶴緬懷先烈

千紙鶴代表著美好的記憶，山東臺兒莊就曾用千紙鶴來緬懷先烈。

▲ 世界第一部折紙書《秘傳千羽鶴折形》

同時，千紙鶴在折紙歷史中占有非常重要的地位。雖然折紙有很多年的歷史，但是折紙的記錄，是從日本僧人寫的《秘傳千羽鶴折形》這本書開始的。

自然和人類的折紙大師

折紙其實并不僅僅屬于人類，自然界中也有很多折紙大師，我今天給大家帶來兩位。

一個是植物界的代表——櫸樹的葉子。其他樹的葉子是從一個小葉片成長成一個大葉片，而櫸樹葉子特殊的地方在于，它在葉苞里像花朵一樣從小長大。葉苞被撐裂之后，它就經過一個折展的過程，展開成葉片。

動物界的折紙大師最典型的代表就是甲蟲。甲蟲有一對軟翅和一對硬翅，軟翅平常是折疊起來藏在硬翅底下的，當遇到危險或要長途飛行時才打開。問題是它們沒有手，要怎么打開翅膀呢？它們是用身體里的壓力，把體液壓到翅脈里，能在毫秒級別的時間“嘭”一下把翅膀打開，就可以飛走了。

但是飛起來很爽，飛完之后麻煩就來了，甲蟲怎么才能把翅膀折疊起來呢？它就在背后用左邊和右邊的翅互相敲擊，慢慢把體液壓回身體里，翅膀才能折起來，這個過程就需要10多分鐘的時間。

▲ 雨中漫步（陳曉）

自然界的折紙也給人類研究很多啟發。尤其是在這個世紀，折紙上升成一個非常高端的、嘆為觀止的藝術品。這是我們中國的折紙藝術家陳曉創作的《雨中漫步》。他用一張紙，通過復雜的折疊形成了一個美女撐傘的圖案，獲得了去年（2022年）國際折紙大賽的冠軍。

▲ 方形扭轉圖案（布施知子）

上面是日本折紙藝術家布施知子創造的圖案，它叫方形扭轉（square-twist）圖案。大家可以看到這個紙面上有很多正方形突出來，發生了一定程度的扭轉。那么你肯定要問，這個東西是怎么折出來的？它其實并不像我們折一個紙飛機、一個紙船那么簡單，而是背后有很復雜的幾何設計，這就涉及到折紙背后的數學。

數學家在研究折紙時，并不是那么立體的、五顏六色的，而是回到了一張白紙上，用黑線來描述折紙的圖案，我們稱之為“山谷線的分布圖”。所謂的“山線”就是折向你的線；而“谷線”就是遠離你的線。

一旦有了山谷線分布圖，你就能把一張紙折成復雜的幾何形狀。大家來猜猜，上面這個圖案會折成什么呢？

其實折成了一只貓頭鷹。左上角那個比較復雜的、扇形的部分其實就是貓頭鷹的尾巴。感興趣的人也可以找一找貓頭鷹的眼睛是從哪個地方折出來的。

▲ 基于計算技術的曲紋折紙

隨著計算機圖形學的發展，折紙藝術家不再滿足于做直線的折疊——直線折疊往往帶來的是平面的效果。為了追求曲面的、更美的圖案，“曲紋折疊”被引入進來。這個曲紋要怎么折呢？其實曲紋有很多折法，有濕折法，就是先把紙搞濕了折。還有一種比較簡單粗暴的方法，找一張結實一點的紙，用圓珠筆在上面拼命地畫曲線，它就自然而然可以折疊了。

已完成：20%//////////

工程師眼中的折紙術

我是一個工程師，那折紙在工程師眼里又是什么呢？我們正在想盡辦法把這個古老的手工藝術應用到工程領域，讓它發揮作用。

尤其是航天科技上有大量的折疊需求。大家知道，太陽能帆板、衛星天線這些大型結構是沒有辦法放到小小的火箭整流罩里的，所以必須把它也折得小小的，才能在體積上滿足火箭整流罩的尺寸，發射到太空后再快速地展開。可以說，航天科技的發展促進了折紙工程學的誕生。

視頻里是美國設計的一個概念性的遮光罩，這個衛星是用來做系外行星探測的，但恒星太亮了，使它看不到行星，所以就要造一個遮光罩，這樣衛星就可以做深空探測了。

要把折紙用到工程上去，第一個問題是工程上很多結構都并不像紙張一樣柔軟，而是剛硬的結構。所以，我們就要把這個紙片認為是剛性的，而所有的折痕就像門的鉸鏈一樣，是可以發生扭轉的。

這樣一來，我們其實是在研究一種特殊的折紙——剛性折紙。我們認為紙片是不會產生變形的，就把純數學的問題轉化成一個球面機構的問題。這就回到了我的老本行——機構學。首先要分析這些已有折痕到底是剛性的還是非剛性的？如果它是剛性，就很容易用到工程里；如果它是非剛性的，那就有點麻煩了。

這是剛才提到的方形扭轉的折痕，當我們研究它的機構運動學行為時，實際上是要關注它的山谷線的分布。大家關注中間這個正方形，在傳統藝術里（左一），中間這個正方形的4個邊都是山線，但其實也可以布谷線，比如說第二個就是兩山兩谷相對，第三個是兩山兩谷相鄰，第四個是一山三谷。

這會帶來什么效果呢？就是上面這四幅圖，它們的折疊的方式完全不一樣了。通過復雜的幾何運算會發現，在折疊過程中，前兩個是非剛性的，如果硬折它，圈出的梯型面板會發生彎曲。但如果面對一塊鋼板、一塊木板，是沒有辦法把它彎曲的，這就意味著折疊過程不會發生。

剛性折紙要求所有的面板都不發生變形，可以很容易地折疊起來。我們的一部分工作就是分析已有的折痕，同時還要發明新的折痕來適應不同的工程需求。

這是我們在研究過程中設計的一個可折平的管狀結構，可以把一個很長很長的管子折平。航天上一些框架式的結構就可以以這個為基礎進行折疊。

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我們平常看這個管子的時候，都是豎著看它。其實一旦把它橫起來，就會發現還是一個折紙帳篷。它的特點是單自由度，很容易展開，可以創造出一個很大的空間。同時它是紙做的，所以環保、輕質。這個設計獲得了日本技術與商業計劃大賽地震重建部的部門獎。

我今天給大家帶來一個小號的模型，可以看到它可以簡單地展開，還可以很容易地收攏起來。這是正在開發的一個產品，是寵物的帳篷。如果你帶寵物去酒店，就可以把它安放在里面。

然后我們又回歸到老本行，去設計新的圖案。除了直的管子，我們還設計了各種彎曲的管子。

甚至還有兩個通路的管子。兩個通路有什么用？可以用來做隔聲的材料，在不同方向上它的聲學效果是不一樣的。

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用折紙設計航天部件有多難

在折紙時，我們認為紙的厚度可以忽略不計，是零厚度的。

就像這個圖片里，當折這張紙的時候，可以很緊密地折疊。但在工程結構中，比如太陽能帆板、衛星天線，這些結構的厚度是不能忽略的，折疊過程會產生物理干涉，沒辦法緊密折疊。

這就是為什么很多航天上的太陽能帆板都是一個方向、W形狀的折疊，因為兩個方向同時折就會產生物理干涉。

▲ 厚板折紙：從球面機構到空間機構

怎么解決這個問題呢？我們回到最原始的機構學的角度：球面機構要求所有折痕交在一個點上，但交在一個點的后果，就是物理干涉必然存在。所以，我們不把所有折痕都放在它的中性面上，而是放在這個厚板的上表面和下表面，這樣一來，這些折痕不交在一個點上了，它的機構運動學模型就由球面機構變成了空間機構。

由于我們之前在空間機構方面有很多研究，所以很順利地把各種各樣頂點的厚板問題解決了，建立了厚板折紙的運動學模型。

解決了頂點之后，就可以把一個好大好大的平面結構，通過厚板的方式收攏起來。

這不僅解決了航天結構上的雙向折疊問題，也回答了一個科學界的難題，所以這成為國際機構學領域發表的首篇《科學》（Science）論文。

現在，我們可以把一個大平板折起來了，航天工程師就很高興地來了。他說：你看現在可以折疊了，但這樣一個結構，仔細看就會發現實際上表面有一層一層的臺階，這個做太陽能帆板還不錯，但要做天線的話，這些不均勻、不平整的表面會造成天線不能正常工作。

甲方提出的要求我們必須滿足，所以我們就灰溜溜地跑回實驗室，又做了大量機構運動學的反算，把上表面所有的折痕都轉移到它的背面去了。這并不是一個簡單的轉移，要做很多機構學演算。最后真的設計出一個完全平整、而且折疊方式跟原來一模一樣的天線設計，可以用來做相控陣天線。

▲ 拋物柱面折疊

這個都做好了，但甲方的要求總是在不斷變化的。很遺憾，所有的甲方都是這樣。現在又要我們折疊一個拋物面或者拋物柱面天線，這樣的天線在航天里的應用是非常廣泛的。所以我們又灰溜溜回到實驗室，“吭哧吭哧”做了很多機構學上的工作。

▲ 拋物面折疊

終于，我們把拋物柱面和拋物面天線都完成了折疊。當然，目前的工作還處在基礎研究領域，所以大部分只是從“不可能”變成“可能”，哪一天這個結構才能從“可能”變成“可行”，最終發射上天呢？我們可以共同地期盼一下。

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從天上回到地上的應用

發射上天之后，甲方又回來說：除了這個天線要飄在天上之外，我們還要建月球基地，你是不是考慮也給折了？我說為什么呢？月球基地讓宇航員去建好了。

他很無助地跟我說：宇航員都穿成這樣了，怎么建一個自己的房子呢？很不方便、效率很低，還是在地球上折好送上天，宇航員打開就好了。我說好吧，那我們努力吧。

所以我們設計了一個模塊化的折紙單元，可以用來做房子。它有不同功能的模塊，最后一個模塊是沒有折展功能的，因為它是衛生間。利用這種折疊方式，可以把一個很大體積的物體進行最緊密的壓縮，然后把它送上天。

我在建筑學院的朋友看到這個設計后非常感慨，說要不然把它拿去做露營房屋吧？我說可以啊。你拿去做露營房屋，同時我們也可以做月球基地。你想，住在一個跟月球基地同款的房屋里露營，是不是心情瞬間就變得高大上，窗外的星星也變亮了？

除了做航天上的應用，其他領域也有很多折紙可以發揮的地方。我舉一個身邊的例子，大家開車的時候車前面有保險杠，保險杠后面有兩個吸能盒。一般車的吸能盒就是一個方罐子，貴一點車的吸能盒是波紋型的。左邊這是寶馬車的吸能盒，大家知道波紋型造出來很復雜，要通過鑄造等其他方式造出來，成本比較貴，據說這個吸能盒要2000塊錢。

我們在實驗室里做了右邊這個有折紙圖案的一個類似方型的吸能盒。折紙圖案的存在，能使它在受到沖擊過程中能吸收比原本多50%的能量。或者反而言之，在吸收同樣多能量的情況下就可以減輕結構的重量，這在汽車上是非常非常重要的。而且這個吸能盒的工業生產成本還不到500塊錢。所以大家可以考慮一下把寶馬車的吸能盒換成我們這個，將來維修時比較省錢。

除了折平面結構，我們更感興趣的是把立體的結構壓扁，這是一個很大的折展比，甚至說體積折展比可以達到無窮大。但數學家會告訴你，多面體是不可以剛性折疊的，因為里面有空氣。

那好，我就把這個多面體的表面切一刀，讓空氣跑出來——當然實際原因不是這樣。我們引入了剪紙，用剪紙的方式把一個多面體緊密地折疊起來。

我們還做了一些細致的工作。大家看動畫里這個鉸鏈的部分，好像跟平常的門鉸鏈有所不同。我們做了新的開發，讓它變成具有雙穩態的鉸鏈，從而使整個結構具有3個穩態。就是用這個繩子一扽一扽的，它有3個穩定的結構，機構可以穩定地停在這3個位置。這是一個很基礎的研究。

工程師永遠問的第一個問題是：有什么用呢？對呀，它有什么用呢？我們找到微電子學院跟做天線的老師合作。天線的工作頻段和它上面電子器件的面積是相關的，所以如果把一個電子器件附在它的上表面，隨著機構在不同穩態的停留，它面對饋源的面積會發生3個情況的變化，那就可以把1個天線變成3個天線來用。

▲ 頻率可重構的5G天線

我們在實驗室里做了一個頻率可重構的5G天線，它可以在5G的3個波段工作，也就是成功地把1個天線變成3個天線了。

▲ 基于三穩態結構的折展亭

但這個工作又遭到了建筑學院老師的嫌棄，他說你們模型做的太丑了。然后他就給我們造了一個非常漂亮的折展亭。他還提出一個問題，以前老是折方的，其他形狀的行不行呢？我們就發現，任何形狀都是可以的，所以有三角形的、六邊形的折展亭。

▲ 折展亭CAD效果

建筑學院的大佬還親自操刀，給我們做了折展亭的CAD效果。可以看到，在藝術家的手里，折展亭不再是簡單的三角形片，而是像花朵一樣的片，當它展開的時候，真的像一朵花一樣。

▲ 網站：http://motionstructures.tju.edu.cn

那么我今天的分享就到這里。如果大家想知道背后艱辛的科學過程，請訪問我的網站。

謝謝大家！

>End

本文轉載自“格致論道講壇”，原標題《當我們的折紙登上《科學》之后，航天工程師就上門了：能不能把衛星給折起來？ | 陳焱》。

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