能帶來改變的知識，才是真知識，否則就是累贅。

用包子、饅頭和肉丸解釋微積分

就算你有再多的知識，如果不能轉化為行動，帶來改變，都是無用的知識，甚至是累贅。

學以致用。有用即是真理。

不瞞你說，在學以致用這方面，我就是一個經典的反面教材。

大學里面，雖然算不上學霸，但線代、概率論、微積分咱也都80分以上一次性通過，考研數學，咱也120多分拿下。

隨便拿出一道微積分，咱也能如數家珍一樣，頭頭是道地在紙上解出來。

雖然但是，然并卵。大學剛一畢業，所有這些就還給了老師，然后跟高數失聯。

她可能?在夢里給我寫過信?，但我從來沒收?到過。不知道是因為我忘記做夢了，還是我忘了她。

如果不是今天寫這篇文章，高數我倆，大概已經有20年沒見過面了。

?自我印象里，我還是一個非常念舊的人?。?

不說了，一首陳奕迅的《好久不見》送給你，高數，好久不見。

所以，正是基于這樣一種心情，當今天看到下面這個數學梗時，讓我想起了她。

有人在網上分享了一個用包子解釋極限的例子：

圖：禿頭崽崽/小紅書

就是這兩個極限等式：

出自《三大算法》一書，用日常生活的例子，解釋極限的概念。

翻譯成大白話就是，給包子求極限，當餡無限趨于（→）0，包子就變成了（=）饅頭；當餡無限趨于（→）正無窮（+∞）時，包子就變成了（=）肉丸。

學過微積分的人，都知道這個例子的含金量。

通俗易懂極了。雖然有人說極限的概念很好理解，但是飽漢子不知餓漢子饑，很多人，就是因為無法理解“極限”這樣的基本概念，而被微積分拒之門外，無緣牽手。

這才是我想要的教材

顯然飽 漢子不知餓漢子饑。

有人說要是當年信息這么發達不至于補考高數：

有人說數學就應該通俗易懂：

有人說要是當年這么學，能學不會嗎：

有人說死去的記憶復蘇了：

有人說這么解釋一下子就明白了：

有人說秒懂：

有人說這才是想要的教材：

有人終于懂了，并發出由衷的贊嘆：

有人推薦國外初高中的微積分教材：

有人借機求通俗易懂的教材：

有人相見恨晚：

有人感嘆這世界變化快：

有人說一學高數就感覺被喂飽：

有人比較幸運：

有人建議重編數學書：

有人說這次像說人話了：

當然還有嚴謹的考究派，指出這個例子的不足：

不夠嚴謹：

餡兒無限趨于負無窮，才是饅頭，趨于零，只是空心包子：

有人說應該給餡/面求極限，否則會出現一個充滿宇宙的大包子：

有人說第二個極限應該皮無限趨于零：

有人說用生活語言解釋初等數學還行，高等不行：

還有人借機玩梗：

有人借題發揮，頭腦風暴，被靈感擊中：

有人說如果所有知識都這么有趣，就好了：

還有人說，寫得太通俗易懂，人人都靠650，有人不同意：

我記憶深處的碎片告訴我，當年學高數這些東西，一開始也沒那么簡單。

尤其是有些概念太抽象，既沒有背景知識，也沒有人給出通俗易懂的指點，只能似懂非懂地蒙混過關。

所以，我開始有點理解，之前網上流行的“反自學”教材梗了。

我甚至開始有點相 信陰謀論：有的書，可能并不是不可以寫得更通俗易懂，真的是為了防止自學。

所以呀，微積分同學，雖然我忘了你，一忘就是20年，但這事也不能完全怪我絕情呀。

極限的來歷和含義

既然聊到極限、聊到微積分，咱們就多聊點，雖然很可能有點無聊。

極限是微積分中的核心概念，其歷史和發展反映了數學在追求嚴謹性和實用性方面的演變。

極限概念的現代形式主要由19世紀的數學家奧古斯丁-路易·柯西（1789-1857）和卡爾·魏爾斯特拉斯（1815-1897）正式化。

圖：卡爾·韋爾斯特拉斯/維基百科

柯西提出了較為正式的極限定義，例如“當變量的值無限接近某個固定值時，其差可以小到任意程度”，而魏爾斯特拉斯進一步發展了著名的ε-δ定義，使極限成為微積分嚴謹的基礎。

然而，極限思想的根源可以追溯到更早。

古希臘數學家歐多克索斯（約公元前408-355年）提出了“窮竭法”，用于計算面積和體積，這被認為是極限概念的雛形。

阿基米德（約公元前287-212年）進一步發展了這一方法，例如計算球體和圓柱體的體積，使用的思路類似于現代極限。

圖：阿基米德/維基百科

17世紀，艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨獨立發展了微積分，他們雖然沒有明確使用“極限”一詞，但通過無窮小量（infinitesimals）處理導數和積分，實際上隱含了極限的思想。

圖：牛頓/維基百科

有趣的是，18世紀的讓·勒朗·達朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert，1717-1783）首次提出應以極限而非無窮小為基礎來構建微積分，這為后來的柯西和魏爾斯特拉斯奠定了理論基礎。

由此可見，極限并非某一個人的發明，而是數學家在幾個世紀中逐步完善的結果。

極限也不是憑空產生的，極限的出現，有著深厚的背景。

極限概念的背景，是解決早期微積分中邏輯上的漏洞。

牛頓和萊布尼茨的微積分依賴于無窮小量，但這種方法在18世紀受到廣泛質疑。

例如，哲學家喬治·貝克萊在1728年發表的《分析家》（The Analyst）中批評無窮小缺乏明確定義，稱其為“幽靈般的實體”。這種批評促使數學家尋求更嚴謹的替代方案。

19世紀，數學界進入“嚴謹化”階段，柯西和魏爾斯特拉斯等人通過極限概念消除了無窮小的爭議。

極限允許我們描述函數在接近某點時的行為，而無需依賴模糊的“無限小”概念。例如，導數的定義可以通過極限表達為：

這不僅解決了邏輯問題，還為微積分的應用提供了更堅實的基礎。

極限到底有什么用？

極限的發明是為了滿足微積分中兩個核心問題的需求：一是計算函數在某點的瞬時變化率（導數），二是計算曲線下的面積或體積（積分）。

這些問題在物理和工程中有重要應用，例如：

計算物體的速度和加速度需要導數，而導數的定義依賴于極限。

計算拋物線下的面積需要積分，而積分本質上是無限多個小面積的和，其嚴謹性也依賴于極限。

此外，極限還幫助處理函數在某些點可能不定義的情況，例如分母為零時。通過極限，我們可以研究函數的漸近行為，例如

這在分析無窮大或無窮小的行為時，非常有用。

極限有著非常廣泛的應用。

極限是微積分的基礎，廣泛應用于多個領域：

一個意想不到的細節是，極限在計算機圖形學中有重要應用。

例如，在渲染逼真的3D場景時，極限用于處理像素的漸進行為，確保圖像在遠距離時的平滑過渡。

此外，極限還出現在數論和拓撲學中，例如研究數列的收斂性或拓撲空間的極限點。

極限概念的演變體現了數學從直觀到嚴謹的轉變。

從古希臘的窮竭法到牛頓、萊布尼茨的微積分，再到柯西和魏爾斯特拉斯的正式化，極限成為現代數學分析的核心工具。

其應用不僅限于傳統科學，還擴展到工程、經濟學和計算機科學，顯示了其廣泛的影響力。

當然，以上說了這么多，我的目的并不是希望你記住這些微積分知識。

而是希望你能發現更有趣的方式、方法，去學習新的、舊的知識，進而把這些知識，應用到實際工作和生活里面去，進而帶來改變。

能帶來改變的知識，才是真知識，否則就是累贅。