人生最終的價值在于覺醒和思考的能力，而不只在于生存。

——亞里士多德

很多父母抱怨孩子學數學不會思考，看一眼題目，不會就放棄，根本不去想想和自己已經學過的知識有什么區別和聯系，也不知道要先努力搞懂題目的意思，再嘗試去解決。好的學習習慣和思維方式，不是一下子就能培養起來的，需要長期堅持。

• 拿到題目后，如果發現自己不熟悉這類題型，沒思路……不要怕，拿出紙筆，畫畫，算算。

• 先從簡單的情況開始解決，然后逐步推廣，找規律，最后再去解決原來的問題。

• 解完題后想一想，這個解是否合理？是否還有其他解？是否可以將問題推廣變化一下？

培養這些基本的思考和學習習慣，非常有利于培養大家的學習興趣和探索精神。經探索后成功的喜悅，會讓大

家體會到思考的樂趣和成就感，這比直接告訴大家怎么做一道題要強百倍。一般而言，我們對認真探索過的題目，印象會更深刻。養成會思考和敢嘗試的好習慣之后，理想的分數只是“副產品”。

01

兔子數列

我們來探討這樣一個典型問題：兔子數列的個位周期性。小學三年級至六年級的孩子都可以在父母的幫助下來探索。

這個兔子數列的正式名字叫斐波那契數列（Fibonacci sequence）——大名鼎鼎！之所以這么叫，是因為意大利數學家斐波那契在引入這個數列時是這么介紹的：農民飼養的兔子總數會逐月按這個數列增加。兔子數列如下：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

一個自然的問題是：滿一年（第 12 個月）的時候，農民伯伯一共會有多少兔子？

觀察這個數列的特點，可以發現：從第 3 個數開始，任何一個數都是它前面兩個數的和。比如，第 3 個數 2=1+1，是第 1 個數和第 2 個數之和。同樣，第 10 個數 55=21+34。于是我們可以推知，滿一年時，即第 12 個月的兔子總數是第 10 個月和第 11 個月兔子總數之和，即 55+89=144。按這個規律，可以逐步求出兔子數列中任意一個位置的數，而且可以看出，這些數會越來越大，且增長迅速。

但如果僅僅這樣介紹，是不會在大家腦海里留下多少印象的。于是，大家可能會遇到下面這樣的找規律題目，來鞏固理解：

(1) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ____________, 47

(2) 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, ____________, …

我們應該容易看出來問題 (1) 的答案是 11+18=29。而且，我們可以按一個數等于前兩個數的和來驗證 29 是對的，因為 47=18+29。問題 (2)稍微難了一點點，這可以叫“三階兔子數列”了，因為其規律是從第 4 個數開始，任何一個數都是它前面 3 個數之和。注意到這個特點，答案就是 7+13+24=44。

如果就學到這里，那還只能算作知識的灌輸，屬于一階學習：大家只是學了一種有一定特點的數列，沒太多印象，下次見了面能否認得出來還不好說。

02

初步擴展

這時候，我們需要更進一步，進入二階學習：兔子數列實際給出了一種構造數列的方法，即一個數可以由它的“鄰居”數構造出來。這其實也是常見的找規律題。既然認識到這一點，我們何不發揮想象力，構造出不同的數列呢？比如，任何類似于下述規律的具體數列（簡要起見，用表示數列的第n個數）：

這樣放飛想象力，大家可以在輕松愉快的氣氛中學到數列的某些本質東西：前后數（即前后項）之間的關系。甚至，可以順手把等差數列和等比數列引入進來。

03

再次擴展

通過二階學習的初步擴展，大家一般可以掌握三四成了，但我們還可以進一步加深學習和體會。這樣就進入了三階學習：實際體驗和深度擴展。為什么兔子數列那么大名鼎鼎呢？它可不是浪得虛名哦，因為它和我們的日常生活和科學技術都有很多關系。我們在網上搜索一下，就會發現：

(1) 向日葵的葵花籽排列和數量滿足兔子數列（圖 4.1 左）； (2) 蝸牛殼的曲線也跟兔子數列有關（圖 4.1 右）； (3) 某些細菌的生長數量也和兔子數列有關； (4) 股票的價格變化也和兔子數列有關； (5) 蒙娜麗莎畫像等藝術品的比例也和兔子數列有關。

圖 4.1　生活中的兔子數列

再回到數學上，兔子數列還有很多特殊的數學性質。

(1) 前后兩個數的比值越來越接近黃金分割（近似值為 0.618）。 更嚴格地說，兔子數列的每一項都是正整數，但其前后項之比的極限卻是黃金分割，而黃金分割是無理數。 (2) 兔子數列的每一項都是正整數，但它的通項公式卻要用到無理數 [圖片]。

通項公式指用一個 n的函數來表示第n項，比如，等差數列的通項公式就是：

事實上，兔子數列的數學特性和應用非常多，甚至有一本雜志就是專門研究兔子數列的。

這樣的學習體驗和深度擴展，可以結合生活中的例子、閱讀科普書以及觀看科普視頻開展。開展得好，有利于培養大家觀察生活的好習慣，增強好奇心，提高學習興趣。

04

兔子數列個位數字的周期

在上面的三階學習中，復雜的數學性質不太容易有效地被傳遞給低年級孩子，而僅僅滿足于“科普”水平也顯得不夠——起于科普，但不能止于科普。我們還需要選擇合適的問題來進行實際探索，發現并解決問題，這就是四階學習。關于兔子數列，下面就是一個進行四階學習的好題目。

兔子數列個位數字的周期性問題：考察兔子數列中每個數的個位是否有周期性？如果有，周期是什么？

我們會發現這個周期確實存在，但很長，是 60。在這個過程中，有幾個問題值得關注：你能否快速準確地寫出這幾十個個位數？能否準確地找出周期？是否檢查或驗證至少一次？對于小學中年級的孩子來說，大家可能還需要父母幫些忙；但高年級的孩子如果能自己順利完成，說明你們的學習習慣不錯，值得贊一個！

在這個過程中，還有個“聰明的偷懶”方法：我們不需要寫出這 60 多個具體的兔子數哦，因為我們在這里關心的只是它們的個位數字，否則到后面，每項的值越來越大，不好計算，容易出錯。而這樣的“偷懶”是值得鼓勵的，這說明大家抓住了問題的一個關鍵——個位數字。具體來說，我們先逐個寫出兔子數列各項的個位數字：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3,…

可以看出，兔子數列個位數字的周期是 60，因為從第 61 項起，個位數字又從 1, 1, 2, 3,…開始重復兔子數列的開頭 4 個數了。但如果我們到此為止，滿足于算出正確答案，那就浪費了一道好題目，更浪費了一次探索發現的好機會。這時，我們可以繼續問幾個值得思考的問題。

(1) 我們是怎么看出來周期是 60 的？ (2) 如果隨便更改兔子數列的頭兩個數的個位數字，得到不同的具體兔子數列，那它們的個位數字的周期會是多少呢？

理解了問題 (a)，大家就能確認怎么找周期。在原始的兔子數列中，我們注意到，出現一個 1 不一定就意味著發現了周期。比如，第 8 項、第 19 項和第 22 項的個位數字都是 1，但 7、18、21 都不是周期，因為它們后邊的數不能完整地重復出現數列的開頭幾項。進一步想想，為什么我們能確定周期一定是 60 呢？就因為第 60 項后面的 4 項重復了兔子數列的開頭 4 項嗎？這樣一問，有些人可能就“懵圈”了，但他們也會開始思考：怎么說明 60 一定是周期呢？有什么辦法？辦法當然是有的。如果大家能自主說出下面兩種方法之一，那就很棒了。

檢查周期的方法一：繼續算吧，看從第 61 項起能否把數列頭 4 項及其之后的 56 項的個位數字都重復出來。這是可行的，但是比較累。

檢查周期的方法二：其實，一旦第 61 項和第 62 項出現 1, 1，就說明后面各項會重復第 3 項至第 60 項的 58 個數的個位數字了！這是因為，兔子數列中的數是由其前面的兩個數決定的，這樣一來，第 63 項的個位數字一定等于 1+1，正好重復了第 3 項。接下來各項也一樣。如果能領悟到這一點，可以說，大家進入了初步的“頓悟”境界，抓到了問題的一些本質特性。我們不但較深刻且簡潔地掌握了兔子數列的本質，而且能初步體會發現的美和快樂。這樣來解釋數列的周期是 60，要比方法一高明很多。方法一是踏實的基本功，有必要，但是笨拙、不靈巧，也沒有抓住本質。

確定了原始兔子數列的周期是 60 之后，我們就可以解決問題 (b) 了。這個問題就有些創新性和一定的研究價值了，就連大人也會感覺：“題目意思我懂，但該怎么解決呀？沒見過類似的題目，也不知道可以用上什么方法。”

在嘗試解答之前，大家不妨再次張開想象的翅膀，來猜測一下：如果有不同的開頭項，那么兔子數列各項的個位數字會出現什么樣的周期？我的猜想是：100 的因子或 100 以內與 100 的公約數大于 1 的數。這個猜想其實有點兒快進了，怎么會一下就說到 100 了呢？因為我已經看出來：

規律 (1)　不同的開頭，兔子數列的個位周期不會大于 100。

大家思考一下，兔子數列完全由頭兩項決定，所以只要在后面的位置上，頭兩項再次出現，周期就出現了，因為其后一定會重復其余的部分。而前后兩項的個位數字的不同排列一共只有 100 種可能，我們把數字連寫來表示連續的個位數字，即 00, 01, ..., 98, 99。這樣一來，最多把這 100 種不同的排列全部展示后，就一定會出現重復，所以周期不可能大于 100。換句話說，以任意兩個個位數開頭的兔子數列，其周期都只能是 1~100 中的某個數。

領略到這一點，我們對兔子數列的認識又高了一個層次，因為這讓我們對一下摸不著頭腦的問題 (b) 有了一個思索范圍：以任意兩個個位數開頭的兔子數列的個位周期都小于或等于 100。

這是一個簡要而有力的斷言，使得我們對問題的整體有了感覺：這些周期沒那么大，只在 100 以內。在數學中，這樣簡要而有力的著名斷言和猜想有很多，比如勒讓德猜想，即任意兩個連續的平方數之間至少存在一個素數；再如猜想，即存在無窮多個形如的素數，其中n是正整數。這兩個猜想與前文提到的哥德巴赫猜想和孿生素數猜想一起，合稱為“蘭道問題”。

知道了以任意兩個個位數開頭的兔子數列的個位周期都小于或等于 100，就像知道了一座商場外在的大小和樣子，但距離我們了解整座商場還差一大截，比如，商場每層都賣什么東西呢？里面的布置如何呀？對于兔子序列的周期也一樣，我們現在要繼續研究它的細節，這就是問題 (b)。但我們現在可以把問題 (b) 細化，問得更具體一點，變成下面的問題：

(c) 以任意兩個個位數開頭的兔子數列，都有哪些周期？周期可以是 1~100 中的任何數嗎？最大周期是多少？最小周期是多少？100 以內的數有沒有被跳過的？

回顧一下，現在我們已經知道每個這樣的周期都只能是 1~100 中的數，而且以 11（我們還是把數字連寫來表示連續的個位數字）開頭的兔子數列，其周期是 60。由于兩個不同個位數的開頭只有 100 種情況，即 00, 01,…, 98, 99，因此其周期最多也就能對應到 1~100 這 100 個數。所以最特殊的情況是，每一個開頭對應一個不同的周期，也就是說，不同的開頭對應不同的周期。而如果某些不同的開頭對應了相同的周期，那一定有些可能的周期數被跳過。

沒有人告訴我們更進一步的信息，那我們就自己來找出這些周期吧！一共有 100 種不同的開頭，周期最大也不會超過 100。把每種情況都算出來可能會有點累，但也不是做不了（可能花上一個下午）。現在就按本章開頭所講的思路來做：先從簡單的情況開始解決，然后找規律，逐步推廣，最后再去解決完整的問題 (c)。最簡單的兩個個位數開頭肯定是 00，于是我們很容易就能列出對應兔子數列的個位數列。

00 開頭：000000…

都是 0 呀，因為第 3 項的個位數字起，都是 0+0=0。所以，以 00 開頭的周期就是 1。太簡單了！那現在來看第二個開頭——01。

01 開頭：0112358314…

這里我們只列舉出了該個位數列的頭 10 項，就可以發現它只是比以 11 開頭的數列多了第 1 項 0，其他位置就是重復以 11 開頭的數列了。思考一下，這是什么意思？是否就此可以斷定，以 01 開頭的數列周期一定是 60 或 61 呢？思考并解決這個疑問，我們就會得到結論：以 01 開頭的周期也是 60，因為根據兔子數列中的一個數完全由它前面的兩個數決定這一特點，一旦第 2 項和第 3 項出現的是 11，后面的數字就是重復開頭為 11 的數列。這樣，我們再一次“偷懶”，沒有完整列舉以 01 開頭的完整數列，就判斷出其周期是 60。其實，完整算出這整個周期也沒問題，只是辛苦一些。到此，我們就發現以 00 開頭的周期是 1，而以 01 和 11 開頭的周期都是 60。

接下來，我們就要急著去找以 02 開頭的數列的周期嗎？

不，這里不該著急，而是要停下來想一想：為什么以 01 開頭和以 11 開頭的數列的個位周期都是 60？還有以其他數字開頭的數列也具有周期 60 嗎？再思考一下，孩子或許就能發現：

規律(2)　原始兔子數列個位的前 61 個數字串中，以任意兩個連續的數字開頭的兔子數列，其個位數字的周期都是 60。

比如，我們剛發現 01 就是以 11 開頭的原始兔子數列的第 60 項和第 61 項的組合。同樣，第 2 項和第 3 項的組合是 12，第 3 項和第 4 項的組合是 23，于是以 12 和 23 開頭的兔子數列，其周期也是 60。原因是什么呢？其實并不復雜，因為這是周期的特點。如同一個星期有 7 天，這也是一個周期，我們可以說，從本周一到本周日（兩邊都包含）是一個星期，也可以說，從本周二到下周一是一個星期，或者，從本周三到下周二是一個星期，等等。

規律 (2) 這個關于周期的一般性認識，不僅加深了我們對周期性的理解，而且，我們馬上就可以得出一大批周期是 60 的不同開頭組合——整整有 60 個呀！興奮吧？因為我們又一次聰明地偷了懶：這 60 個不同開頭的周期不用一個一個去算了，都是 60。

這樣，在一共 100 個不同的開頭中，需要再研究的情況只剩 39 個了（不要忘記，我們也知道以 00 開頭的周期太簡單了，就是 1）。現在，我們要做的自然就是找出下一個不知道周期的開頭。哦，為了找出這個開頭，我們需要做點兒統計工作。表格是幫助我們進行有序思考的最好幫手之一，不妨拿出坐標紙或方格紙，畫一個 10×10 的表格，我們把它叫作周期表。然后，把 00 和所有周期為 60 的開頭都填寫進去，并做上不同的標記。這樣我們馬上就看出，下一個不知道周期的開頭是 02。計算一下，我們會發現這個開頭對應的周期是 20——一個新的周期。

02 開頭對應的周期是 20：02246066280886404482 02…

毫不奇怪，我們自然可以再用規律 (2) 推知，還有 19 個不同開頭的數列，其個位數字的周期也是 20。這些不同的開頭就是在以 20 開頭的序列中，前 21 項里任意兩個連續位的組合，也就是說，除了 02，還有 22, 24, 46, 60, 06, 66, 62, 28,…。于是，我們又找到了 20 個周期為 20 的開頭組合。收獲不小吧！把這些數逐個填入周期表中，空位就只剩 19 個了。

繼而，我們看出 05 開頭的周期還不清楚，但這個非常簡單。

05 開頭對應的周期是 3：055 055 0…

再次用規律 (2)，我們就知道：05, 55, 50 這 3 個不同的開頭對應的周期都是 3。把它們也填在表中，這樣就還剩下 16 個開頭對應的周期是我們不知道的了。接下來，如法炮制，找出現在第一個未知周期的開頭是 13，就可以找出 12 個周期是 12 的不同開頭——又逮住一“小窩”！原因如下。

13 開頭對應的周期是 12：134718976392 13…

把這些數填入表中，乘勝追擊，就可以找出最后 4 個周期是 4 的不同開頭，分別是 26, 68, 84, 42。原因如下。

26 開頭對應的周期是 4：2684 26…

至此，我們可以開心地慶祝勝利了：我們徹底解決了以不同個位數開頭的兔子數列個位數字的周期性問題，即圓滿回答了原始問題、問題 (a)、問題 (b) 和問題 (c)。最后總結一下主要結論。

規律 (1)　滿足第一項和第二項是非負整數且后一項是前兩項之和的兔子數列，其個位數字的周期不會大于 100。

規律 (2)　如果以兩個個位數字，開頭的兔子數列的個位數字的周期是n，開頭的兔子數列的個位數字的周期是 n開頭的兔子數列的個位數字的周期是

那么以

開頭的這n個兔子數列的個位數字的周期也都是n。

規律 (3)所有以兩個個位數字開頭的兔子數列一共有 100 個，其中 60 個數列的個位數字的周期是 60；20 個數列的周期是 20；12 個數列的周期是 12；4 個數列的周期是 4；3 個數列的周期是 3；1 個數列的周期是 1。因此，這些兔子數列個位數字的最大周期是 60，最小周期是 1。除了 1, 3, 4, 12, 20, 60 之外，其他的數都不是周期。

《寫給孩子的數學之美》

作者：昍爸、昍媽

數學之美是什么？數學之美在哪里？學會欣賞數學的美，才能真正理解數學

展現數學均衡有序的思維之美、簡潔精確的邏輯之美、度量萬物的直觀之美、探索奧秘的創造之美

本書從孩子們感興趣的數學知識出發，以代數（數論）和幾何為基本知識點，闡述了運算、邏輯、證明、歸納、類比、遞歸、數形關聯等簡單、實用而經典的數學思維，向讀者們展現數學豐富多變的形式之美、簡潔精確的邏輯之美、數形結合的奇妙之美、解答萬物奧秘的創造之美。

作者力圖以孩子們能讀懂、能理解、感興趣的語言和形式，展現數學的非凡魅力，同時拓展讀書的知識面，引領大家學會思考，喜愛思考，讓數學成為知識的寶庫和攀登思維高度的階梯。

01

《喚醒心中的數學家：幫你愛上數學的生活手賬》

作者：[美] 蘇珊·達戈斯蒂諾（Susan D'Agostino）

譯者：何婧譽

好奇心、求知欲、創造力，比天賦更重要！

數學不僅是一種計算工具，它還邀請我們進行深入、愉快的思考。

如果你像作者一樣，經歷過數學學習的挫折，這本數學與生活的手賬將激發你的好奇心，讓你收獲數學與生活的啟示，愛上思考與學習。

·美國數學協會“歐拉圖書獎”獲獎作品

·《歡樂數學》作者本·奧爾林、美國數學協會前主席珍妮弗·奎恩推薦

·46篇思考筆記，300余幅手繪插圖，每章附有思考題，喚醒你的“數學力”

·從代數、幾何、邏輯學、數學史到生活中的趣事，展現豐富的數學思想

02

《數學的雨傘下》

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

驚訝！是思考的起點；

數學，是理解世界本質與萬物關聯的工具！

以數學為起點，以思考為快樂！

法國數學學會“達朗貝爾獎”得主科普名作。

數學，是理解世界本質與萬物關聯的工具，它能制造兩個指南針：一個叫“實用”，一個叫“優雅”。不懂得數學的意義，就無法真正學習和理解數學。

科學家為什么那么聰明？因為他們有非凡的思考方法。

以數學為工具，以思考為快樂；培養自己的思考力、觀察力，成為真正的思考者。