導(dǎo)語

我們身處的世界充滿了由大量相互作用的單元構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)，單元的相互協(xié)調(diào)往往會涌現(xiàn)出令人驚嘆的集體行為模式。同步便是其中最普遍的一種。同步，作為非平衡集體行為中最基本、最普遍的形式之一，描述了系統(tǒng)如何通過內(nèi)部單元間的微觀耦合，自發(fā)地達到宏觀節(jié)律上的一致性。

Kuramoto 模型在此問題上扮演了核心角色，提供了一個簡潔而深刻的數(shù)學(xué)框架以回答這個重要問題：一群擁有不同自然頻率的個體，如何通過耦合作用克服彼此的“個性”，最終達成步調(diào)一致？

這個過程，本質(zhì)上是一種同步相變——系統(tǒng)從無序的混亂狀態(tài)，自發(fā)地轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^有序的協(xié)同狀態(tài)。理解這種秩序如何從無序中涌現(xiàn)，是理解復(fù)雜系統(tǒng)集體行為的關(guān)鍵。然而，如果單元具有更復(fù)雜的對稱性（維度D），且相互作用受空間維度 d 限制。那么，同步相變的普適規(guī)律如何被D和d共同影響？哪個因素更關(guān)鍵？

「復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)」讀書會第九期將由北京師范大學(xué)博士生邱仲普分享，將嘗試回答這一問題。我們研究廣義了 Kuramoto 模型，系統(tǒng)考察對稱性D和空間維度d對同步臨界特性的塑造作用。核心發(fā)現(xiàn)是：對偶數(shù)D，同步相變的普適性，不依賴于單元內(nèi)部復(fù)雜性D，卻強烈依賴于空間維度d。這項工作為理解非平衡系統(tǒng)的普適性，特別是空間維度與對稱性如何控制集體行為，提供了更清晰統(tǒng)一的物理框架。由于內(nèi)容十分豐富，讀書會將分為兩期，分別于5月23日（本周五）以及5月24日（本周六）19:30-21:30進行，歡迎感興趣的朋友參與討論交流！

分享簡介簡介

一群擁有不同自然頻率的個體達成步調(diào)一致的過程，本質(zhì)上是一種同步相變——系統(tǒng)從無序的混亂狀態(tài)，自發(fā)地轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^有序的協(xié)同狀態(tài)。理解這種秩序如何從無序中涌現(xiàn)，是理解復(fù)雜系統(tǒng)集體行為的關(guān)鍵。

刻畫同步相變的關(guān)鍵物理量包括：臨界指數(shù)，普適類和臨界維數(shù)。對于經(jīng)典的耦合Kuramoto振子系統(tǒng)，前人對其中的部分問題有所探索。

然而，如果單元具有更復(fù)雜的內(nèi)秉維度D，且相互作用受空間維度d限制。那么，同步相變的臨界指數(shù)和普適類如何被D和d共同影響？本次報告將嘗試回答這一問題。我們研究了廣義的Kuramoto模型，系統(tǒng)考察內(nèi)秉維度D和空間維度d對同步臨界特性的塑造作用。

我們在完全圖和d維晶格上探索了偶數(shù)D維廣義Kuramoto振子中的同步相變。

第九期：全局耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.23）

在全局耦合系統(tǒng)中，通過對于自洽方程的解析展開，結(jié)合有限尺寸標度修正，揭示了對于所有偶數(shù)D的普適臨界指數(shù)β=1/2和，表明了其中存在一個非常規(guī)的上臨界維數(shù)du=5。針對多個偶數(shù)D的大量數(shù)值模擬證實了這些理論預(yù)測。

第十期：局域耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.24）

承接上期，對于局部耦合系統(tǒng)，我們開發(fā)了一個基于自旋波理論和基于時間序列建立功能網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的框架，該框架可以捕捉到夾帶轉(zhuǎn)變（Entrainment transition）中的臨界性。修正的Edwards Anderson序參數(shù)進一步驗證了預(yù)測的指數(shù)。這項理論和數(shù)值研究相結(jié)合，揭示了一個依賴于內(nèi)秉自由度D但依賴于空間維數(shù)d的臨界性為特征的普適類族。這項工作為理解非平衡系統(tǒng)的普適性，特別是空間維度與對稱性如何控制集體行為，提供了清晰統(tǒng)一的物理框架。

分享內(nèi)容大綱

第九期：全局耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.23）同步與Kuramoto模型

經(jīng)典Kuramoto模型的臨界指數(shù)

D維Kuramoto模型(DDKM)及其動力學(xué)特性

D維Kuramoto模型臨界指數(shù)的理論分析(全局耦合情形)

數(shù)值驗證

第十期：局域耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.24）

廣延系統(tǒng)中同步行為的維度依賴性（局部耦合情形）

基于時間序列建網(wǎng)的夾帶集群識別算法

廣義EA序參量

同步誤差與線性自旋波近似理論

主要涉及到的知識概念

第九期：全局耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.23）

Kuramoto模型， Kuramoto model

同步相變， Synchronization transition

臨界指數(shù)， Critical exponents

普適類， Universality class

臨界維數(shù)， Critical dimension

D維Kuramoto模型， D-dimensional Kuramoto model

第十期：局域耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.24）

自旋波近似， Spin wave approximation

時間序列建網(wǎng)技術(shù)， Time-series-based network construction technique

EA序參量， Edwards-Anderson (EA) order parameter

相關(guān)概念解釋

1. 同步與模型類

• Kuramoto模型（Kuramoto Model）定義：描述耦合振子同步現(xiàn)象的經(jīng)典數(shù)學(xué)模型，通過相位動力學(xué)方程刻畫個體相互作用下的集體節(jié)律鎖定行為。領(lǐng)域：非線性動力學(xué)、統(tǒng)計物理、復(fù)雜系統(tǒng)。擴展：D維倉本模型（D-dimensional Kuramoto Model, DDKM）將傳統(tǒng)單相位振子推廣至高維內(nèi)秉自由度（維度D），用于研究多維同步機制。

• 同步相變（Synchronization Transition）定義：多體系統(tǒng)從無序異步態(tài)向宏觀同步態(tài)轉(zhuǎn)變的非平衡相變現(xiàn)象，伴隨著非零序參量的涌現(xiàn)。特征：可通過臨界指數(shù)（如β, ν）描述的普適類（Universality Class）分類。

• 臨界指數(shù)（Critical Exponents）定義：刻畫系統(tǒng)在相變點附近標度行為的無量綱參數(shù)（如序參數(shù)隨控制變量的冪律標度指數(shù)β）。作用：區(qū)分不同系統(tǒng)的普適類，反映微觀機制對宏觀臨界行為的決定性。

• 普適類（Universality Class）定義：具有相同臨界指數(shù)集合的相變的抽象，其臨界行為僅依賴系統(tǒng)維度、對稱性等全局特征，而非微觀細節(jié)。

• 臨界維數(shù)（Critical Dimension）定義：決定系統(tǒng)臨界行為是否受漲落顯著影響的空間維度閾值。上臨界維數(shù)（Upper Critical Dimension,du）：高于此維度時，系統(tǒng)臨界行為可用平均場理論準確描述（如本研究發(fā)現(xiàn)的du=5）。

• 自旋波近似（Spin Wave Approximation）定義：處理連續(xù)對稱性破缺系統(tǒng)低能激發(fā)的理論方法，通過對動力學(xué)進行線性化以解析集體模式（如相位波）。應(yīng)用：局域耦合系統(tǒng)中同步相變的臨界行為分析。

• 時間序列建網(wǎng)技術(shù)（Functional Network Reconstruction from Time Series）定義：基于動態(tài)時間序列數(shù)據(jù)構(gòu)建節(jié)點間關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)分析解釋系統(tǒng)行為模式。例子：氣候網(wǎng)絡(luò)。

• 夾帶集群（Entrainment Clusters）定義：振子群體在外部驅(qū)動或內(nèi)部耦合下形成局部頻率同步的動力學(xué)模塊，其規(guī)模與耦合強度及拓撲結(jié)構(gòu)相關(guān)。

• EA序參量（Edwards-Anderson Order Parameter）起源：自旋玻璃理論中描述無序磁性系統(tǒng)凍結(jié)態(tài)局部磁化強度的參量。推廣：本研究修正后用于量化非平衡同步系統(tǒng)中局部entrainment 程度，反映空間關(guān)聯(lián)與動態(tài)異質(zhì)性。

• 全局耦合（Global Coupling）定義：系統(tǒng)中所有個體均以相同強度全連接直接相互作用（也就是完全圖拓撲）。

• 局部耦合（Local Coupling）定義：個體僅與有限空間鄰域內(nèi)的其他個體相互作用（如晶格拓撲）。

• 廣延系統(tǒng)（Extended Systems）定義：具有空間廣延性的多體系統(tǒng)（如一維鏈、二維晶格等）。

講者介紹

邱仲普，北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院系統(tǒng)理論專業(yè)博士生，導(dǎo)師為樊京芳教授。本科就讀于四川大學(xué)物理學(xué)（試驗班）專業(yè)，曾入選2018年度基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗計劃（珠峰計劃）。主要從事相變與臨界現(xiàn)象、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的同步與涌現(xiàn)動力學(xué)、地球系統(tǒng)復(fù)雜性與臨界性分析、AI4Climate等方面的研究。

參考文獻

第九期：全局耦合系統(tǒng)中的同步相變（5.23）

1. Acebrón, J. A., Bonilla, L. L., Pérez Vicente, C. J., Ritort, F. & Spigler, R. The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena. Rev. Mod. Phys.77, 137–185 (2005).

2. Hong, H., Chaté, H., Park, H. & Tang, L.-H. Entrainment Transition in Populations of Random Frequency Oscillators. Phys. Rev. Lett.99, 184101 (2007).

3. Tang, L.-H. To synchronize or not to synchronize, that is the question: finite-size scaling and fluctuation effects in the Kuramoto model. J. Stat. Mech.2011, P01034 (2011).

4. Hong, H., Chaté, H., Tang, L.-H. & Park, H. Finite-size scaling, dynamic fluctuations, and hyperscaling relation in the Kuramoto model. Phys. Rev. E92, 022122 (2015).

5. Daido, H. Susceptibility of large populations of coupled oscillators. Phys. Rev. E91, 012925 (2015).

6. Chandra, S., Girvan, M. & Ott, E. Continuous versus Discontinuous Transitions in the D-Dimensional Generalized Kuramoto Model: Odd D is Different. Phys. Rev. X9, 011002 (2019).

1. Fan, J. et al. Statistical physics approaches to the complex Earth system. Physics Reports896, 1–84 (2021).

2. Chandra, S., Girvan, M. & Ott, E. Continuous versus Discontinuous Transitions in the D-Dimensional Generalized Kuramoto Model: Odd D is Different. Phys. Rev. X9, 011002 (2019).

3. Hong, H., Chaté, H., Park, H. & Tang, L.-H. Entrainment Transition in Populations of Random Frequency Oscillators. Phys. Rev. Lett.99, 184101 (2007).

4. Tang, L.-H. To synchronize or not to synchronize, that is the question: finite-size scaling and fluctuation effects in the Kuramoto model. J. Stat. Mech.2011, P01034 (2011).

5. Hong, H., Chaté, H., Tang, L.-H. & Park, H. Finite-size scaling, dynamic fluctuations, and hyperscaling relation in the Kuramoto model. Phys. Rev. E92, 022122 (2015).

報名方式

直播信息

時間：

第九期：2025年5月23日 周五 19:30-21:30

第十期：2025年5月24日 周六 19:30-21:30

報名參與讀書會：

復(fù)雜動力學(xué)讀書會第九期，斑圖鏈接：https://pattern.swarma.org/study_group_issue/907?from=wechat

復(fù)雜動力學(xué)讀書會第十期，斑圖鏈接：https://pattern.swarma.org/study_group_issue/910?from=wechat

掃碼參與，加入群聊，獲取系列讀書會回看權(quán)限，加入網(wǎng)絡(luò)科學(xué)社區(qū)，與社區(qū)的一線科研工作者溝通交流，共同探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)這一前沿領(lǐng)域的發(fā)展。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)讀書會

集智俱樂部聯(lián)合合肥工業(yè)大學(xué)物理系教授李明、杭州師范大學(xué)阿里巴巴商學(xué)院教授劉潤然、同濟大學(xué)副教授張毅超、北京師范大學(xué)特聘副研究員史貴元與在讀博士生邱仲普、張章共同發(fā)起。本次讀書會將探討：同步相變的臨界性、如何普適地刻畫多穩(wěn)態(tài)與臨界點、如何識別并預(yù)測臨界轉(zhuǎn)變、如何通過局部干預(yù)來調(diào)控系統(tǒng)保持或回到期望穩(wěn)態(tài)、爆炸逾滲臨界行為的關(guān)鍵特征、不同類型的級聯(lián)過程對逾滲相變的影響有何異同、高階相互作用的影響能否等效為若干簡單機制的疊加、如何有效地促進人類個體間的合作等問題。

讀書會計劃從3月7日開始，每周五晚19:30-21:30進行，持續(xù)8-10周。誠摯邀請領(lǐng)域內(nèi)研究者、尋求跨領(lǐng)域融合的研究者加入，共同探討。

詳情請見：