數(shù)學(xué)長期以來一直是物理學(xué)進(jìn)步的基礎(chǔ)。1915年，阿爾伯特·愛因斯坦將廣義相對論譽(yù)為數(shù)學(xué)“真正的勝利”，因為他發(fā)現(xiàn)，半個多世紀(jì)前的純數(shù)學(xué)著作，在其引力理論中完美地描述了時空結(jié)構(gòu)。后來，他不禁思考，一個完全不考慮應(yīng)用的數(shù)學(xué)，怎么會“如此令人欽佩地適用于現(xiàn)實對象”呢？

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數(shù)學(xué)對物理學(xué)的貢獻(xiàn)如今已被視為理所當(dāng)然，但這源于它的起點(diǎn)。畢竟，數(shù)學(xué)是為了測量、量化和理解物理世界而發(fā)明的。在美索不達(dá)米亞，蘇美爾人發(fā)明了一種計數(shù)系統(tǒng)，留下了刻有乘法表的泥板。它們的用途是什么？用來統(tǒng)計商品和財產(chǎn)。在隨后的幾千年里，這個最初作為政府和商業(yè)運(yùn)轉(zhuǎn)工具的技術(shù)，逐漸發(fā)展出自己的生命力。盡管數(shù)學(xué)擴(kuò)展到一些晦澀難懂、需要多年訓(xùn)練才能理解的抽象領(lǐng)域，但它仍然支撐著物理學(xué)的重大突破。

然而，近來形勢發(fā)生了逆轉(zhuǎn)。如今，物理學(xué)的洞見和直覺正意外地引領(lǐng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的突破。在20世紀(jì)的大部分時間里，數(shù)學(xué)家們在嘗試多條路徑之后，越來越多地轉(zhuǎn)向通過自然界的規(guī)律和模式來尋求靈感。數(shù)十年來停滯不前的領(lǐng)域正在被打破。甚至連哲學(xué)家們也開始探究物理學(xué)為何在數(shù)學(xué)中被證明“異常有效”（正如有人大膽宣稱的那樣）。這個問題的關(guān)鍵在于，支配宇宙運(yùn)行的規(guī)則與人類思維最抽象的思考之間存在著一種很大程度上未被重視、令人困惑卻又深刻的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)之美的體驗與美妙的音樂、藝術(shù)或詩歌一樣，

激發(fā)大腦的相同區(qū)域。

為什么物理學(xué)——其根基在于理解蘋果掉落和電子云等現(xiàn)實世界的事物——能夠為解決數(shù)學(xué)中一些最棘手的問題提供如此好的線索，而數(shù)學(xué)處理的是函數(shù)和方程等無形的東西？

“物理學(xué)家對嚴(yán)格證明的關(guān)注遠(yuǎn)不如數(shù)學(xué)家，”法國學(xué)院數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）說道。他表示，有時這“使得物理學(xué)家能夠比數(shù)學(xué)家更快地探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域”。如果說數(shù)學(xué)家傾向于深入研究這片領(lǐng)域中的小塊區(qū)域，那么物理學(xué)家則更有可能快速瀏覽這片廣闊的未知領(lǐng)域。從這個角度來看，物理學(xué)家可能會偶然發(fā)現(xiàn)新的、強(qiáng)大的數(shù)學(xué)概念和關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)家可以回過頭來嘗試證明（或反駁）它們。

事實上，物理學(xué)啟發(fā)數(shù)學(xué)的過程與科學(xué)本身一樣古老。古希臘數(shù)學(xué)家兼發(fā)明家阿基米德描述了力學(xué)定律如何激發(fā)了他的一些最重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，如通過杠桿原理推導(dǎo)了杠桿平衡的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通過對浮力現(xiàn)象的解釋引出了重心、平衡和浮力等概念。此外，還有艾薩克·牛頓，他（與他同時代的德國博學(xué)家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨一起）在試圖理解落體運(yùn)動時，發(fā)明了一種全新的數(shù)學(xué)——微積分。

希臘語：′Aρχιμ?δη?；前287年—前212年

然而到了20世紀(jì)中葉，物理學(xué)領(lǐng)域涌現(xiàn)的新數(shù)學(xué)幾乎枯竭。無論是物理學(xué)家還是數(shù)學(xué)家，都對物理學(xué)領(lǐng)域之外發(fā)生的事情不太感興趣。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一群頗具影響力的法國年輕數(shù)學(xué)家，被稱為布爾巴基小組，他們致力于使數(shù)學(xué)盡可能精確，從頭開始重建整個領(lǐng)域，并發(fā)表他們的合作成果，希望以此促進(jìn)未來的發(fā)現(xiàn)。與此同時，物理學(xué)家們興奮地發(fā)展著諸如標(biāo)準(zhǔn)模型之類的開創(chuàng)性思想——這仍然是物理學(xué)家們關(guān)于原子和亞原子世界的最佳理論。對他們中的許多人來說，數(shù)學(xué)只是一個方便的工具，他們對布爾巴基斯倡導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)觀毫無興趣。

然而，已故英裔黎巴嫩幾何學(xué)家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）率先提出了和解。憑借著罕見的直覺，再加上一點(diǎn)運(yùn)氣，同樣獲得菲爾茲獎的阿蒂亞經(jīng)常會關(guān)注到后來理論物理學(xué)家感興趣的領(lǐng)域。

邁克爾·弗朗西斯·阿蒂亞爵士

（1929年4月22日 - 2019年1月11日）

“在20世紀(jì)70年代中期，他確信理論物理學(xué)是迄今為止最有希望的新思想源泉，”曾與阿蒂亞合作的牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家、名譽(yù)教授奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin）在2020年談到這位前同事時寫道。“從那時起，他成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家之間互動的推動者，致力于攻克物理學(xué)家提出的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，運(yùn)用物理思想證明純數(shù)學(xué)結(jié)果，并向物理學(xué)家群體提供他認(rèn)為重要但物理學(xué)家不熟悉的現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識。”

阿蒂亞的長期合作伙伴之一是數(shù)學(xué)物理學(xué)家愛德華·威滕，兩人于1977年首次相識。威滕比阿蒂亞小20多歲，后來成為弦理論的先驅(qū)。弦理論認(rèn)為，微小的一維振動弦是宇宙的基本構(gòu)成要素，而非標(biāo)準(zhǔn)模型中的粒子。

弦理論最初被譽(yù)為一種可能的“萬物理論”，它將量子理論與愛因斯坦的引力理論統(tǒng)一起來。迄今為止，弦理論對一些最抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)域（例如代數(shù)幾何和微分拓?fù)洌┑挠绊懀梢哉f比對物理學(xué)的影響更大。在這些領(lǐng)域，威滕和其他弦理論家提出了一些精確的猜想，這些猜想后來被數(shù)學(xué)家們證實。

例如，1991年，物理學(xué)家菲利普·坎德拉斯（Philip Candelas）、澤尼亞·德·拉·奧薩（Xenia de la Ossa）及其同事將弦理論應(yīng)用于枚舉幾何中一個數(shù)十年之久的難題。枚舉幾何是數(shù)學(xué)的一個古老分支，致力于計算幾何問題的解的數(shù)量。最簡單的方法是提出這樣的問題：“有多少條線可以通過平面上的兩點(diǎn)？”（一條）。或者阿波羅尼烏斯的著名問題：“可以畫出多少個與三個給定圓相切的圓？”（八個）。

坎德拉斯和他的同事們能夠利用弦理論的工具來解決枚舉幾何中一個特別棘手的問題：計算卡拉比-丘流形中某些類型曲線的數(shù)量。卡拉比-丘流形是一種奇特的六維形狀，是弦理論的核心。他們的研究成果將“辛”幾何和“復(fù)”幾何聯(lián)系起來，而數(shù)學(xué)家們幾十年來一直孤立地研究這兩種幾何，認(rèn)為它們毫不相關(guān)。這種將兩個原本被認(rèn)為毫不相關(guān)的領(lǐng)域聯(lián)系起來的進(jìn)展，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中一個“深刻”的成果：人們可以突然用一個領(lǐng)域的工具來解決另一個領(lǐng)域的問題，從而推動和加速數(shù)學(xué)的發(fā)展。

卡拉比-丘流形是一種奇特的六維形狀，是弦理論的核心。

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僅僅幾年后，在1995年，威滕提出，五種不同版本的弦理論（每種都需要10個維度）都是一個11維概念的不同方面，他稱之為“M理論”。盡管M理論尚未得到證實，但繪制不同理論之間的對應(yīng)關(guān)系已帶來驚人的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。“感覺弦理論每個月都在以前所未有的方式為數(shù)學(xué)家提供新的結(jié)構(gòu)，”倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的數(shù)學(xué)物理學(xué)家何陽輝說道。

通過研究現(xiàn)實而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)正是我們的大腦所喜歡的數(shù)學(xué)。

弦理論蘊(yùn)含著如此豐富的意想不到的關(guān)系，或者說是兩個數(shù)學(xué)世界之間的“對偶性”，至今仍令數(shù)學(xué)家們興奮不已。物理學(xué)家何陽輝和他的同事、同樣來自倫敦數(shù)學(xué)研究所的弦理論家費(fèi)德里科·卡塔（Federico Carta）在研究卡拉比-丘流形最簡單的類型（稱為K3 曲面）時，偶然發(fā)現(xiàn)了該曲面的“同倫群”（用于在拓?fù)渲袑π螤钸M(jìn)行分類）與一個對稱群（稱為“Matthieu 24”）之間的關(guān)系。他們的發(fā)現(xiàn)揭示了純數(shù)學(xué)中兩個截然不同的領(lǐng)域——拓?fù)鋵W(xué)（研究形狀）和現(xiàn)代代數(shù)中一個叫做群論的領(lǐng)域（研究物體所具有的對稱類型）——之間意想不到的聯(lián)系。

何陽輝教授表示，物理學(xué)為何會催生如此有趣的數(shù)學(xué)，這是一個“深刻的問題”。他指出，數(shù)學(xué)家可以研究的模式和結(jié)構(gòu)數(shù)不勝數(shù)。“但那些源于現(xiàn)實的模式和結(jié)構(gòu)，在某種程度上，我們擁有直覺。”

希欽對此表示贊同。“數(shù)學(xué)研究并非在真空中進(jìn)行，”他說。“你不會為了理論本身而坐下來發(fā)明一個新理論。你需要相信存在某種值得研究的東西。新的想法必須圍繞某種現(xiàn)實概念，或者可能是某人的概念，進(jìn)行凝聚。”

這就引出了一個問題：物理學(xué)是否僅僅通過提供更強(qiáng)烈的探索動機(jī)和數(shù)學(xué)家精力的集中點(diǎn)來滋養(yǎng)數(shù)學(xué)？在對世界運(yùn)作方式的直覺和一個合理的終點(diǎn)的引導(dǎo)下，數(shù)學(xué)家有時能夠比以往更快地解決問題。

這也可以解釋一個奇怪的事實：“糟糕的”物理學(xué)有時可以帶來好的數(shù)學(xué)。

例如，渦旋理論是英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家威廉·湯姆森（開爾文勛爵）早期嘗試解釋原子種類相對較少的原因。他將原子描繪成旋轉(zhuǎn)的環(huán)，可以打成復(fù)雜的結(jié)，每個結(jié)對應(yīng)一種不同的化學(xué)元素。電子發(fā)現(xiàn)后，該理論被拋棄，但其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)促成了紐結(jié)理論的發(fā)展。自此以后，紐結(jié)理論不僅成為純數(shù)學(xué)家探索的沃土，還在流體動力學(xué)和理解DNA等纏結(jié)分子方面找到了意想不到的應(yīng)用。

蛋白質(zhì)紐結(jié)

對阿蒂亞來說，物理學(xué)和數(shù)學(xué)之間神秘的關(guān)系都?xì)w結(jié)于人腦。“人類是長期進(jìn)化的產(chǎn)物，強(qiáng)大的大腦是一種優(yōu)勢。這種大腦在物質(zhì)世界中進(jìn)化，因此進(jìn)化的成功是通過物質(zhì)的成功來衡量的，”他在 2018 年的一次采訪中解釋道。“因此，人類大腦進(jìn)化是為了解決物理問題，而這需要大腦發(fā)展出正確的數(shù)學(xué)。”要做到這一點(diǎn)，大腦還必須適應(yīng)識別和欣賞自然界中的數(shù)學(xué)模式。阿蒂亞甚至在 2014 年與人合著了一項腦成像研究，該研究得出結(jié)論，數(shù)學(xué)之美的體驗與美妙的音樂、藝術(shù)或詩歌刺激大腦的相同區(qū)域。這也許可以解釋為什么物理學(xué)可以成為數(shù)學(xué)家的指導(dǎo)方針：從研究現(xiàn)實中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)正是我們的大腦傾向于喜歡的數(shù)學(xué)。

2010年，阿蒂亞與希欽以及當(dāng)時任職于普林斯頓大學(xué)的荷蘭理論物理學(xué)家羅伯特·戴克格拉夫共同發(fā)表了一篇論文，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了物理學(xué)在數(shù)學(xué)中的成功運(yùn)用。然而，自那以后，人們嘗試?yán)斫膺@一現(xiàn)象的研究卻寥寥無幾。

博洛尼亞大學(xué)的丹尼爾·莫利尼尼是一位最近重新審視這一問題的哲學(xué)家。他于 2023 年發(fā)表在《英國科學(xué)哲學(xué)雜志》上的論文回應(yīng)了諾貝爾獎得主物理學(xué)家尤金·維格納 1960 年發(fā)表的一篇經(jīng)常被引用的論文，題為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的不合理有效性”。莫利尼尼的俏皮回應(yīng)探討了“物理學(xué)在數(shù)學(xué)中的不合理有效性”。他令人驚訝的回答是，一些物理定律可能像數(shù)學(xué)定理一樣不容置疑。“有一些關(guān)于世界的原則我們必須視為基本原則，”他說。

哲學(xué)家們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是“必然的”，因為它們在所有可能世界中都必須為真。關(guān)于自然的真理，即經(jīng)驗事實，則有所不同——它們是偶然的。光以一定的速度傳播，但可以說，在一個不同的宇宙中，光的速度可能是不同的。也就是說，無論如何，數(shù)學(xué)真理過去是，將來也永遠(yuǎn)是真的。

是否存在某些物理定律也同樣具有“必然性”？莫利尼尼在他的論文中指出，守恒定律可能就是這樣一條定律。在物理學(xué)中，系統(tǒng)的某些屬性，例如能量或動量，是無法改變的。例如，一個騎自行車的人在山坡上空滑行時，會將其重力勢能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動能量，但她和自行車的總能量保持不變。

宇宙本身不僅僅是用數(shù)學(xué)描述的，而且是由數(shù)學(xué)構(gòu)成的。

莫利尼尼認(rèn)為，如果這種守恒是“必然的”，那或許可以解釋阿基米德如何能夠通過力學(xué)的考量成功推斷出幾何證明的真理，而這一壯舉在其他方面則令人費(fèi)解。在這種情況下，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是同一枚硬幣的兩面：兩者都正確，因為它們基于相同的基本原理。

另一種觀點(diǎn)是，宇宙是用數(shù)學(xué)語言書寫的，這一觀點(diǎn)由伽利略在17世紀(jì)初提出，并經(jīng)常受到數(shù)學(xué)家的擁護(hù)。這種觀點(diǎn)起源古老，至少可以追溯到畢達(dá)哥拉斯及其追隨者，但最近出現(xiàn)的一個更極端的版本是馬克斯·泰格馬克的數(shù)學(xué)宇宙假說，該假說認(rèn)為物理現(xiàn)實的本質(zhì)是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即所有存在的結(jié)構(gòu)只要在數(shù)學(xué)上自洽，就在物理上真實存在。

在泰格馬克的敘述中，我們的宇宙只是無數(shù)平行宇宙中的一個，數(shù)學(xué)中所有無限的可能性——每一個定理，每一個證明——都在這個多元宇宙的某個地方得以實現(xiàn)。因此，物理學(xué)激發(fā)數(shù)學(xué)新發(fā)現(xiàn)也就不足為奇了——物理學(xué)所描述的現(xiàn)實，從本質(zhì)上來說，都是數(shù)學(xué)的。“經(jīng)驗科學(xué)與數(shù)學(xué)之間存在著密切的聯(lián)系，”悉尼大學(xué)研究數(shù)學(xué)與物理學(xué)關(guān)系的哲學(xué)家馬克·科利文說道。“我們可以得出一個結(jié)論：世界本身就是數(shù)學(xué)的。”

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然而，在這兩種情況下，已知物理學(xué)的數(shù)學(xué)只是所有數(shù)學(xué)的一小部分（幾乎所有數(shù)學(xué)都可能遠(yuǎn)沒有那么有趣），所以這種觀點(diǎn)并不能真正解釋為什么從物理學(xué)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)應(yīng)該異常豐富。

莫利尼尼目前正在挑戰(zhàn)一種流行的關(guān)于數(shù)學(xué)適用性的哲學(xué)解釋——“映射”。他認(rèn)為，這種說法無法解釋為什么好的數(shù)學(xué)能夠從物理學(xué)中衍生出來。映射表明，數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)的方法是將質(zhì)量或分離等物理概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)實體，例如牛頓萬有引力定律方程，然后用它來計算某個東西，再將其映射回物理屬性——例如兩個物體之間的吸引力。但莫利尼尼認(rèn)為，當(dāng)人們試圖逆轉(zhuǎn)這種映射過程來解釋數(shù)學(xué)如何從物理學(xué)中衍生時，這種映射過程就會失效。

他說，哲學(xué)家們對這個問題的興趣日益濃厚，到目前為止，他們一直關(guān)注的是相反的問題，即為什么數(shù)學(xué)可以應(yīng)用于經(jīng)驗科學(xué)。

“現(xiàn)代物理學(xué)為數(shù)學(xué)家提供了大量新的工具和意想不到的線索，”倫敦研究所的何陽輝教授說道。“未來，物理學(xué)和數(shù)學(xué)需要更加緊密地合作，才能解決純數(shù)學(xué)中一些最大的難題。”

何教授表示，朗蘭茲綱領(lǐng)就是這樣一個領(lǐng)域。該綱領(lǐng)由羅伯特·朗蘭茲于20世紀(jì)60年代提出，常被稱為“數(shù)學(xué)大統(tǒng)一理論”。據(jù)稱，該綱領(lǐng)的一個分支——幾何朗蘭茲——最近已被一個數(shù)學(xué)家團(tuán)隊解決，他們提交了一份長達(dá)五篇論文、800頁的證明。該證明的核心部分基于最初源自共形場論的洞見。共形場論是物理學(xué)的一個分支，也是弦理論及其他領(lǐng)域的基石。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家需要借鑒更多物理學(xué)知識來探索該證明的含義，并在該綱領(lǐng)的其他分支上取得進(jìn)展。

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同樣，數(shù)學(xué)家們也已經(jīng)利用物理學(xué)來嘗試解決黎曼猜想以及伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想——這兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域最具挑戰(zhàn)性的未解之謎。何教授推測，這兩個領(lǐng)域的合作將是最終解開這些龐然大物的關(guān)鍵。

何先生說：“物理學(xué)和數(shù)學(xué)開始再次融為一體，就像牛頓和高斯時代一樣。”何先生接受過理論物理學(xué)家的培訓(xùn)，但越來越傾向于將物理思想應(yīng)用于純數(shù)學(xué)問題。

這是一個耐人尋味的想法。宇宙的故事或許是用數(shù)學(xué)語言書寫的。盡管這個故事看似美妙，但種種跡象表明，要想超越物理學(xué)家現(xiàn)有的理解，就需要越來越奇特、越來越復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，而其中一些工具尚未發(fā)明。打破這兩個領(lǐng)域之間的壁壘，或許能為兩者開啟新的理解世界。

參考文獻(xiàn)：

https://nautil.us/why-physics-is-unreasonably-good-at-creating-new-math-797056/?_sp=f2f42110-cd79-40e4-b5bc-df2b04c71321.1731115087926

作者簡介：

Ananyo Bhattacharya 是倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的首席科學(xué)作家。在15年的新聞職業(yè)生涯中，他曾擔(dān)任《自然》雜志的高級編輯和《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》的科學(xué)記者。曾著有一部關(guān)于數(shù)學(xué)家約翰·馮·諾依曼的思想傳記：《來自未來的人》。