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陶哲軒重寫20年本科經典教材!Lean編程數學證明,GitHub已放出

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文章轉載于新智元

最近,陶哲軒迷上了形式化數學證明。

在YouTube上,他開設了賬號,上傳了4段視頻:如何用Lean形式化數學證明。


如今,他開始形式化自己的數學分析入門教材。

陶哲軒發布了新的開源項目,把教材中的各種定義、定理和習題翻譯(或轉述)為Lean語言,給學生提供另一種學習數學途徑。

他還打算將新項目逐步過渡到標準Lean庫Mathlib。


1

經典教材被電腦「吃了」

2006年,陶哲軒出版了一本本科生數學分析教科書,日后成為經典之作——「Analysis I」。


初版之后,該書多次更新。目前中文版到了第3版,而英文版已更新至第4版

這本教材從分析的源頭——數系的結構和集合論開始,然后引向分析基礎,再進入冪級數、多元微分學和傅里葉分析,最后介紹勒貝格積分。

全書幾乎完全是以具體的實直線和歐幾里得空間為背景,保留了足夠的直觀性,完美結合了嚴格性和直觀性

當時,雖然像Coq和Agda之類的證明助手(proof assistant)已經比較成熟,但陶哲軒并沒有特別關注形式化驗證。


證明助手Agda第一版發布于1999年,而Coq第一版發布于1989年

近二十年后,隨著對形式化驗證的深入了解,陶哲軒意識到,《Analysis I》的內容非常適合用于證明助手工具。


Lean是一種更年輕的編程語言和證明助手

因此,他決定為《Analysis I》推出Lean版本的配套項目,將書中的定義、定理和練習「翻譯」成Lean代碼。


項目地址:https://github.com/teorth/analysis

這樣,讀者無需再在紙上推演,而是填寫Lean代碼中的占位符,完成證明。

目前,書中以下部分已被翻譯成Lean:


1

寫代碼,也能學數學

在形式化過程中,陶哲軒有意識地在某些地方脫離Lean的標準數學庫Mathlib,而在其他地方又依賴于它。

比如,Mathlib已經定義了標準的自然數集合?

但他在第2章中構建了不依賴于Mathlib的自然數理論,并建立了許多關于這個版本自然數的基本性質,這些性質與Mathlib中?的對應引理類似。

然后,在第2章結尾中,他設置了一些練習,要求讀者建立這兩個版本自然數之間的同構關系。

從那以后,轉而使用Mathlib中的自然數。

整本書中,陶哲軒都采用這種模式——

隨著章節推進,越來越多地依賴Mathlib中的定義和函數,而不再直接引用前面章節中的自定義版本。

也就是說,他犧牲一部分「自包含性」,換取與Mathlib更好的兼容性。

因此,這個Lean項目也可以作為Lean和Mathlib的入門教材,同時也是實分析的學習資料。


部分代碼片段

或許以后,數學本科生也將告別筆與紙,不僅計算要用計算機,證明也要用「電腦」。

參考資料:

https://mathstodon.xyz/@tao/114603605315214772

https://terrytao.wordpress.com/2025/05/31/a-lean-companion-to-analysis-i/

https://www.ituring.com.cn/book/1822

https://github.com/teorth/analysis

點個愛心,再走 吧

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