6月是高考季，也是畢業季。在這個仲夏之際，高考考生通過填報志愿選擇將要入讀的專業，高校畢業生（從本科生到碩博士研究生）通過投遞簡歷向招聘者介紹所修專業，以及所掌握的專業知識和技能。

什么是專業，或者說一門學科是什么？

在19世紀末20世紀初，現代意義上的諸多學科紛紛誕生，知識的古典時期也就此結束。研究對象、方法論和基本假設得到重新界定。自此，專業化成為諸學科最顯著的特征之一。讓學生接受一門學科的專業訓練，以一技之長謀生成為高校培養學生的基本內容。我們可以說，每一門學科都提供了專業的知識和技能。我們也可以說，每一門學科都提供了一種看世界的方法，它們塑造了我們的知識結構，也可能改變了我們的認知視角。其發生的具體過程，當然因學科因個人而異。

這些年，從校園、勞動力市場到各大網絡平臺，大家都在熱議什么專業冷門、什么專業有前景。在圖書市場上，并不乏志愿填報指南，以及各個學科的入門書籍。我們希望提供一種超越基礎介紹的、更富有情感的學科敘事，也希望借此呈現出關于學科教育的多元認知方式。

我們策劃“我和我的學科”專題，第一期由文學、數學、歷史學、社會學、管理學等學科的高校教師，以第一人稱講述“我和我的學科”。他們既談這個學科是什么，也談自己作為一個個體與學科的關系，當然也包括他們在教學中產生的對于本學科過去與未來的思考。

本篇為數學家丘成桐談他的數學之路，以及他心中數學的最高目標。

本文內容出自新京報·書評周刊6月20日專題《我和我的學科》的B04-B05版。

B01「主題」我和我的學科

B02-B03「主題」漢語言文學 相信同道與先賢

B04-B05「主題」數學 最高目標無過于追求真與美

B06-B07「主題」歷史學 立足過去，面向未來

B08-B09「主題」社會學 開啟“社會”之門的鑰匙

B10-B11「主題」管理學 探求眾人之事與公共議題的奧妙

B12「文學」《夜雨修書》“今夜細雨如織，我正好給你復信”

撰文丨丘成桐

從古希臘幾何到現代數論，數學不只是一種精密的工具，更體現了人類對真與美的不懈追求。在數學家丘成桐看來，真正偉大的科學進步是由宏觀視角驅動的，數學并非一門孤立的學科，而是一項與更宏大的哲學框架密不可分的探索。阿基米德、牛頓、費馬、高斯、黎曼、麥克斯韋、愛因斯坦，這些卓越不凡的數學家也是人類歷史上最深邃的思想者。

在本文中，丘成桐從自己的成長經歷談起，分享了自己對數學這門學科的看法以及做學問的人生感悟。

丘成桐。當代具有影響力的數學家之一，哈佛大學教授、清華大學教授，北京雁棲湖應用數學研究院院長。美國國家科學院院士、美國藝術與科學院院士、中國科學院外籍院士。榮獲菲爾茲獎、沃爾夫獎、克拉福德獎、美國國家科學獎、馬塞爾·格羅斯曼獎、中華人民共和國國際科學技術合作獎等大獎。他成功解決了許多著名的數學難題，其研究深刻變革并極大擴展了偏微分方程在微分幾何中的作用，影響遍及拓撲學、代數幾何、廣義相對論等數學和物理領域。

我的數學之路

我在中國香港的郊區——元朗和沙田——長大。那里沒有電，也沒有自來水。小時候，我就在河中洗澡。我的家中有8個兄弟姐妹，食物少得可憐。5歲時，我參加某著名小學的入學試，結果沒有考上，原因是用了錯誤的記號，如把57反寫成75，把69反寫成96等。

我只能上一所小小的鄉村學校。那里有很多來自農村的粗野小孩。受這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養病的半年里，我思索著如何跟同學和老師相處。升上小六時，我已經是一群小孩的首領，帶著他們在街頭亂闖。

家父是一位教授。他教了我不少中國文學。可是，他并不知道我曾曠課好一段日子（或者這是因為我在家中循規蹈矩，他教授的詩詞我也能倒背如流吧）。逃學的原因是老師不怎么教學，我在學校悶得發慌，不久連上街也覺得無聊了。當時，香港有統一的升中試。我考得并不好，但幸好分數落在分界線上。

港英政府允許這些分數落在分界線上的學生申請私立中學，并提供學費。我進入了培正中學。培正是一所很好的中學。我中學生涯的第一年乏善可陳。我的成績不大好，老師常常對我很生氣。大概我剛從鄉村出來，“野性”未改吧。我熱衷于養蠶，養小魚，到山上去捉各種小動物。沙田的風景美麗清新，在大自然的懷抱里，倒是自得其趣，我到如今還不能忘懷。

在培正的第二年，我多言多動，老師要記我小過。她是我的班主任，責任心強，誠然是為我好。當她知道家父是位教授，卻拿著微薄的薪酬后，大為震動。此后，在她的悉心栽培下，我在課堂上規矩多了。就在這一年，我們開始學習平面幾何。

同學們對抽象思維都不習慣。由于在家中時常聽父親談論哲學，對利用公理進行推導的做法，我一點也不覺得陌生。學習幾何后，我對父親的講話又多明白了幾分。利用簡單的公理，卻能推導出美妙的定理，這實在令人神往。

對幾何的狂熱，提高了我對數學（包括代數）的鑒賞能力。當你喜歡某科目時，所有與之有關的東西都會變得淺易。我對歷史也甚有興趣。它培養我對事物要整體觀看，不斷思考事件是如何發生的，到底是什么緣故，以及將來會如何。

《我的教育觀》

作者：（美）丘成桐

版本：中信出版社2025年2月

就在這時，父親完成了他的《西洋哲學史》。他跟學生談話，總是說應整體地去看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往后的日子中，指引我去尋找研究項目。父親的書對我有很深的影響。書中第一頁的引言《文心雕龍·諸子篇》中說：

身與時舛，志共道申，標心于萬古之上，而送懷于千載之下。

這是何等的胸襟，與古人神交，而能送懷于后世，確實是一位學者應有的態度。

哲學史的目的有三：一曰求因，哲學思潮其源甚多，必先上溯以求之；二曰明變，往昔哲學思想交纏糾緒，故重理其脈絡，是為要務；三曰評論，所有思潮及其流派，皆一一評論，作警策精辟之言。這三點和自然科學的研究有密切的關系，再加上創新，便可以概括為研究的方法了。

我14歲時，父親去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長的日子里，對父親離開了我和家人的事實，我都難以置信。家中經濟頓入困境，我們面臨輟學。幸得母親苦心操持，以及先父舊交弟子的援手，我們才幸免淪落。

家中劇變，令我更加成熟堅強。困境中人情冷暖，父親生前的教導，竟變得真實起來。以前誦讀的詩詞古文，有了進一步的體會。我花了整整半年，研習古典文學和中國歷史，借此撫平繃緊的心弦。典麗的詩詞教人欣賞自然之美，排除了世俗功利的思想。

我閱讀了大量數學書，并考慮書中的難題。當這些難題都解決以后，我開始創造自己認為有挑戰性的題目。此后，由個人去創造問題變成我研究事業中最關鍵的環節。學校的課本已經不能滿足我的需求了。我跑到圖書館、書店去看書。我花了許多時間打書釘，閱讀那些買不起的書。我讀了華羅庚先生寫的很多參考書，無論是在分析還是在數論上的討論，它們都漂亮極了。我也看了很多幫助課堂解題的書，例如陳明哲寫的一些小冊子。一般來說，我會比課程早一個學期做完所有的習題，所以聽數學課是一種享受。

從15歲起，我開始給低年級學生當家教，以幫補家計。我找到一些巧妙的方法，使成績落后的孩子搖身變成優等生，為此我有點飄飄然。我積累了教導年輕人的經驗，同時也體會到教學相長的道理。

我們的數學老師十分好。他教授的內容比課程要求的更加艱深，但我覺得絲毫不費氣力，其實我的同學們雖然叫苦，但總的來說，數學都不錯，這叫作“取法乎上，僅得其中”。近代數學的教學方法，恐怕適得其反，“取法乎中，僅得其下”。

當時我們的物理老師不太行，學生們對此不無失望。中學時養成不了物理上的基本直觀，至今于心還有戚戚焉。中文老師卻是無懈可擊。他是我的父執輩。他教導我們思想要不落俗套。

中文老師說，思維要自出機杼，讀好書之余，爛書也無妨一讀，以資比較。因此我什么書都啃，他的這種觀點，就是放諸我日后的科學生涯中，也有其可取之處。中文老師問的問題很有意思，他出過一個作文題叫“豬的哲學觀”。于是大伙兒興高采烈，自由發揮。在班里，我并非名列前茅，數學科的等級也不見得最高。但我比同班諸子想得更深，書也讀得更多。

1966年，我進入香港中文大學。雖然對歷史抱著濃厚的興趣，但我還是選擇了數學作為我的事業。

就在這時，中學時念的高等數學漸漸消化。剛開始時，我還不大懂，但后來一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。

大學的數學使我大開眼界。連最基本的實數系統都可以嚴格地建立起來，這著實令人興奮萬分。當我了解數學是如此建構后，就寫信給教授，表達我的喜悅之情。這是本人賞析數學之始。

一位剛從加州大學伯克利分校（UCB）畢業的博士來了香港，他名叫斯蒂芬·薩拉夫（Ste?phen Salaff）。他對我大為贊賞，我們合寫了一本有關常微分方程的書。

另外一位老師布羅迪（Bro?dy）來自普林斯頓，他有一套獨特的教學法。他找來一本高深的數學著作，然后要求學生在書中找尋錯誤，并提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書本的良方，同時也訓練了我對書本上的定理采取存疑的態度。我有時將某些定理推廣，并在課堂上說出自己的想法，他聽了很高興。

這些教導的重要性在于：培養獨立思考的習慣；在人前表達數學的時候，找出自己的弱點，與同學和老師一同切磋。這不論對我當下做學問還是對我日后的教學都十分重要。

數學的內容、方法和意義

接下來談的是數學的內容、方法和意義。歷代不少科學家對數學都有極高的評價，我們引一些物理學家的話作為例子。費曼在《物理定律的本性》一書中說：“我們所有的定律，每一條都由深奧的數學中的純數學來敘述，為什么？我一點也不知道。”維格納說“：數學在自然科學中有不合常理的威力。”戴森說：“物理科學史歷劫不變的一項因素，就是由數學想象力得來的關鍵貢獻。基礎物理既然由高深的數學來表示，應用物理、流體等自然界的一切現象，只要能得到成熟的了解，都可以用數學來描述。”寫過《瓦爾登湖》的哲人梭羅也說，有關真理最明晰、最美麗的陳述，最終必以數學形式展現。

其實數學家不僅從自然界中吸收養分，而且從社會科學和工程中得到啟示。人類心靈中由現象界啟示而呈現美的概論，只要能夠用嚴謹邏輯來處理的，都是數學家研究的對象。數學和其他科學的不同之處是容許抽象，只要是美麗的，就足以主宰一切。數學和文學的不同之處是一切命題都可以由公認的少數公理推出。數學正式成為系統性的科學始于古希臘的歐幾里得，他的《幾何原本》是不朽的名作。明末利瑪竇和徐光啟把它譯成中文，并指出：“十三卷中五百余題，一脈貫通，卷與卷，題與題相結倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，漸次積累，終竟乃發奧微之義。”復雜深奧的定理都可以由少數簡明的公理推導，至此真與美得到確定的意義，水乳交融，再難分開。值得指出的是，歐幾里得式的數學思維直接影響了牛頓在物理上三大定律的想法，牛頓的巨著《自然哲學的數學原理》與《幾何原本》一脈相承。從愛因斯坦到現在的物理學家都希望完成統一場論，能用同一種原理來解釋宇宙間的一切力場。

《幾何原本》中文印刷版。

數學的真與美，數學家體會深刻。西爾維斯特說：“它們揭露或闡明的概念世界、它們導致的對至美與秩序的沉思、它們各部分的和諧關聯，都是人類眼中數學最堅實的根基。”數學史家莫里斯·克萊因說：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩。”當數學家吸收了自然科學的精華，就用美和邏輯來引導，將想象力發揮得淋漓盡致，創造出連作者也驚嘆不已的命題。大數學家往往有宏偉的構思，由美做引導，例如韋伊猜想促成了重整算數幾何的龐大計劃，將拓撲和代數幾何融入整數方程論。由格羅滕迪克和德利涅完成的韋伊猜想，可以說是抽象方法的偉大勝利。回顧數學的歷史，能夠將幾個不同的重要觀念自然融合而得出的結果，都成為數學發展的里程碑。愛因斯坦將時間和空間的觀念融合，成為近百年來物理學的基石；三年前，安德魯·懷爾斯（A.Wiles）對自守形式和費馬大定理的研究，更是動人心魄。數學家不依賴自然科學的啟示而得出來的成就，令人驚異，這是因為數字和空間本身就是大自然的一部分，它們的結構也是宇宙結構的一部分。然而，我們必須謹記，大自然的奧秘深不可測，不僅僅是數字和空間而已，它的完美無處不在，數學家不能也不應該抗拒這種美。

捷克于2000年發行的紀念懷爾斯證明費馬大定理的郵票。

20世紀物理學中的兩個最主要的發現——相對論和量子力學——對數學造成了極大的沖擊。廣義相對論使微分幾何學“言之有物”，黎曼幾何不再是抽象的紙上談兵。量子場論從一開始就讓數學家迷惑不已，它在數學上的作用仿若魔術。例如，狄拉克方程在幾何上的應用令人難以捉摸，然而，它又這么強而有力地影響著幾何的發展。超對稱是最近20年物理學家發展出來的觀念，無論是在實驗還是理論上都頗為神秘，但借助超弦理論，數學家竟解決了一百多年來懸而未決的難題。超弦理論在數學上的真實性是無可置疑的，除非造化弄人，它在物理上也終會占一席位。

19世紀末數學公理化運動使數學的嚴格性堅如磐石，數學家便以為工具已備，以后的工作將無往而不利。20世紀初，希爾伯特以為任何數學都能用一套完整的公理推導出所有的命題。但好景不長，哥德爾在1931年發表了著名論文《數學原理中的形式上不可斷定的命題及有關系統》，證明包含通常邏輯和數論的一個系統的無矛盾性是不能確立的。這表示希爾伯特的想法并非全面的，也表示科學不可能是萬能的。然而，由自然界產生的問題，我們還是相信希爾伯特的想法是基本正確的。

數學家因其稟賦各異，大致可分為下列三類：

一、創造理論的數學家。這些數學家工作的模式，又可粗分為七類。1.從蕓蕓現象中窺見共性，從而提煉出一套理論，能系統地解釋很多類似的問題。2.把現存理論推廣或移植到其他結構上。3.用比較方法尋求不同學科的共同之處而發展新的成果。4.為解釋新的數學現象而發展理論。5.為解決重要問題而發展理論。6.新的定理被證明后，需要建立更深入的理論。7.在研究對象上賦予新的結構。

二、從現象中找尋規律的數學家。這些數學家或從事數據實驗，或在自然和社會現象中發掘值得研究的問題，憑著經驗把其中精要抽出來，做有意義的猜想。

三、解決難題的數學家。所有數學理論必須能導致某些重要問題的解決，否則這些理論便是空虛、無價值的。理論的重要性必須與其能解決問題的重要性成正比。

數學家要承先啟后，解決難題是“承先”，進一步發展理論、找尋新的問題則是“啟后”。沒有新的問題，數學便會死去。故此，“啟后”是我們數學家共同的使命。我們的最終目標是以數學為基礎，將整個自然科學、社會科學和工程學融合起來。

自從安德魯·懷爾斯1994年證明了費馬大定理后，很多人都問這有什么用。大家都覺得費馬大定理的證明是劃時代的。它不僅解決了一個長達350年的問題，還使我們對有理數域上的橢圓曲線有了極深的了解；它是融合兩個數論的主流——自守形式和橢圓曲線——而迸發出來的火花。值得一提的是，最近十多年來，橢圓曲線在編碼理論中發展迅速，而編碼理論將會在計算機科學中大派用場，其潛力不可估量。

做學問需要哲學的指導

我從10歲起就聽父親講哲學，里面有很多抽象的概念，他又常常說要找規律。久而久之，我對抽象的觀念便比較容易接受了。數學里面也有很多抽象的觀念，我的同學對此感到困難，但對我來說，那是很自然的事。從哲學的角度思考、尋找大自然中的規律，以及從宏觀的角度看問題，這套思考方法我很早便養成了。我也在很早的時候，便從讀歷史中領悟到一種方法，那就是必須總結歷史教訓，回望過去，放眼將來。所以在數學研究中，我非常重視大數學家的看法。可惜很多數學家不愿意這樣去做，他們忽視古代偉人的思想，其實就算三四百年前的偉大數學家，如費馬、牛頓、歐拉等人，他們的思想仍然影響到今天。我們不去深究融匯他們的思想，這是很不幸的。我在求真書院花了很多氣力講數學史，就是這個緣故。我希望學生學習數學史，讓他們曉得偉大數學家的想法是怎么來的，從而思考他們以后的路要怎么走，我在培養這種文化。很多學生因為數學史無助于解題，也無功于考試，就不想學，但其實數學史最終會變得重要，只是短期內看不到而已。要知道大學者的成功，都和他們善于學習前人有關。牛頓說他是站在巨人的肩膀上，這是實實在在的。假如我們不了解巨人們想過什么、做過什么的話，我們能不能站在巨人的肩膀上，恐怕很成問題。

我從小就聽父親講哲學史，所以對哲學留下深刻的印象。哲學始終是一門指導科學的學科，從古希臘開始，數學就是哲學的一部分。2600年以前，希臘數學的始祖首先都是哲學家，他們用哲學的觀點來推動數學的發展。在哲學出現以前，數學沒有辦法推進，因為缺乏推導的方法。古希臘人提出了“三段論證”，使我們懂得如何用邏輯的方法推導定理，這些都是從哲學的看法開始的。不只如此，哲學是一門很宏觀的學問，它不單研究一個個小問題，也研究哲學跟其他學科的關系，從這些關系中走出一條新的思路和方法。這一點對于數學家和理論物理學家都很重要。基本上，理論科學都與哲學有著密切的關系，能夠溝通融匯兩者，才能成為一個偉大的科學家，從古至今都是如此。當年的阿基米德、牛頓、費馬、高斯、黎曼、麥克斯韋、愛因斯坦，他們的成就都與哲學有很密切的關系。對于以科學的眼光看世界，他們有不同的哲學觀點。例如，牛頓說時空是靜態的，人們就這種觀點辯論了很久。光是粒子還是波，這個問題也從哲學的觀點有很多討論。他們從哲學的觀點討論時，也加上了很多重要的實驗觀點。數學研究也包含許多哲學的看法。在代數幾何或者其他領域之中，存在很多不同的看法，微分幾何也是如此，種種不同的看法牽引著整個學科的發展。舉例來說，我做的一個重要方向叫幾何分析，它是我跟一些朋友和學生發展出來的。幾何分析包含了很重要的哲學觀念，例如在研究幾何的時候，不能單用線性的看法，要多用非線性的觀點。這些基本上都是與哲學有關的，有些討論最初不見得跟數學有直接關系，但是到最后又跟數學產生了密切的聯系。數學的大發展也因此產生，每一次數學的跳躍總是伴隨著哲學觀點的變化。譬如在20世紀初期，幾何的研究主要是跟拓撲學有關；到了20世紀中期，幾何跟非線性微分方程的關系變得密切，人們見證了里程碑式的發展，很多重要的問題因而得到解決。這一點非常重要，每一位大數學家都有他獨特的對學問的看法。

高斯。

我在普林斯頓高等研究院的時候，蕓蕓高手中有一個叫安德烈·韋伊（André Weil）。這位老先生對數學有很深入、很宏大的看法，我的導師陳省身就受他的影響，開始研究纖維叢，提出了“陳氏示性類”的概念。

1980年，我在普林斯頓高等研究院的同事羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）是數論方面的大家。他提出的朗蘭茲綱領（Langlands Program）很有名，從表示論來看數學，來看數論。朗蘭茲綱領提出了差不多有50年，它是一個看法，而不是一個數學定理。這個看法影響到今天，產生了一系列重要的發展，如費馬大定理的解決，就跟朗蘭茲的看法有著密切的關系。所以這是一個宏大的構想，也是一個宏大的哲學思想。這些思想是數學上的，但也受到物理和其他學科的影響。

表示論利用線性變換和矩陣來研究抽象代數結構。

當年，笛卡兒是哲學家，也對數學有很重要的貢獻。在他之后還有萊布尼茨，他和牛頓獨立地創造了微積分，但他最重要的貢獻還是在哲學上。柏拉圖也是數學家，同時是偉大的哲學家。所以，哲學跟理論科學是分不開的。沒有哲學的指導，我們走的方向可能會很狹窄，只能夠跟在人家后面。研究科學要有宏觀的看法，而宏觀的看法主要是由哲學來開拓的。

我之前整理出版了父親的哲學著作《丘鎮英先生哲學史講稿》。書里面講得很清楚，我們要弄懂哲學思想的起源、變化，以及如何批判它，這三點對于做學問非常重要。在這本書的開篇，父親引用了《文心雕龍·諸子篇》中的一句話，我至今都記得很清楚：

標心于萬古之上，而送懷于千載之下。

“標心于萬古之上”是說，我們的胸懷要像古代圣賢一樣。這里的圣賢既可以是孔子和孟子，又可以是我剛才提到的高斯和黎曼這些大數學家。“送懷于千載之下”，是說我們的抱負要遠大，志在留名后世。

父親還寫了幾副我印象非常深刻的對聯，其中一副是：

尋孔顏樂處，拓萬古心胸。

“尋孔顏樂處”即繼承孔子和顏淵做學問的樂趣。孔子和顏淵都經歷過窮苦日子，孔子還帶了一大批優秀的學生。他們能體會做學問的大樂趣。“拓萬古心胸”是講心胸要寬廣，看得高遠。

這幾句話對我一輩子產生了很重要的影響。在面對困難的時候，它激發了我的斗志，讓我無所畏懼。我不追求闊氣的大房子以及豪華的裝潢。如果需要，我有很多非常有錢的朋友愿意幫忙，但我并不特別在乎這些事情。我活了七十多年，感到很舒適，能夠自由自在做自己的學問，帶領一批才華橫溢的學生，這實在是美妙的人生經驗。尤其是我在少年班見到了一些初中生，他們初露頭角，前途無限。我很喜歡和年輕人在一起，希望他們能夠迅速成長，成為光芒萬丈的學者。

本文由中信出版社授權，摘自《我的教育觀》各章節并重新整理（有刪節），經作者本人審定后刊發。

作者/丘成桐

編輯/李永博 西西 宮子

校對/薛京寧