中學生也會證明的哥德巴赫猜想

——數學科普

不知道什么原因哥德巴赫猜想被一些人神化了，證明過程成了數學符號和堆積的天書一般的高深莫測，如果誰說自己能證明哥德巴赫猜想就會招來嘲笑和諷刺。如果投稿也會被一些期刊拒絕接受，你證明的內容如果沒有“解析數論”的理論，基本上都上不了“搜索”欄目的主要板塊。

難道哥德巴赫猜想證明就這么高深神秘嗎？現在我用小學生都能看懂的方法介紹一遍，算是數學和數論的科普文章。因為這部分內容不單是數論的基礎，也是整個數學的基礎，把這個基礎打好了，我們就會有一個“正確的數學思維”方式，對我們今后學習自然科學，上大學的理論基礎，工作后的應用都有一個“科學的頭腦”。

一、Ltg-空間理論

這個理論概念必須首先建立，這是最基本的理論基礎，沒有這個基礎數學就學不好，數論的研究也無從談起。

看下圖，

Ltg-空間定義如下：

所有正整數1,2,3,…均可由一組等差數列表示，這些等差數列按序1,2,3,…構成無限多空間。選定特定等差數列空間后，全部正整數（包括素數及合數）均獲得固定位置，并對應唯一項數N。因此，素數及合數的出現均遵循特定規律，而非隨機發生。

設Z（k）為全體正整數空間，則有公式：

Z（k）=kN+A （公式1）

其中：k表示維度，k=1,2,3…

N為各正整數對應的項數，N=0,1,2,3…

A為特定空間內等差數列的順序號，A=1,2,3…

這個定義，加上一些空間的表格，很容易理解和看懂。

二、Ltg-空間理論中2N+A空間的性質及應用

2N+A空間用數學公式可以這樣定義：

Z(2) = 2N+A (A=1、2) 由兩個等差數列奇數數列2N+1和偶數數列2N+2構成，這兩個等差數列可以表示全部正整數1、2、3……。

做一個表格如下，

2N+A空間的幾個基本性質：

1） L(2)空間包含了全部正整數1、2、3……；

2） 奇數數列2N+1包含了除2以外，正整數中的全部素數以及他們形成的合數，其中1為單位不設定為素數；

3） 偶數數列2N+2包含了正整數中的全部偶數，其中2是正整數中的最小偶數。

三、Z(2) =2N+A (A=1、2)的四條基本定理

1、合數項定理

定理描述：公式Nh=a（2b+1）+b （公式2）

生成所有合數在奇數數列中，對應有項數N的位置。

證明：

奇數數列2N+1中，所有素數的合數H(S)都是這樣生成的

H(3)=3（3、5、7……）

H(5)=5（5、7、11……）

H(7)=7（7、11、13……）

H(11)=11（11、13、17……）

H(13)=13（13、17、19……）

H(S)=S(S及后面的所有素數)

素數S與它自身以及后面的素數相乘，形成的合數都是“奇數”，所以這些數都在奇數數列2N+1中，同時都會有自己的位置N(可以重疊)。又因為與后面的素數相乘，素數都是趨向無窮大的，所以合數項公式可以覆蓋全部奇數數列2N+1。

證畢。

結論：

1）公式Nh=a(2b+1)+b生成所有寄合數在數列中的位置上。

2）同一合數位置可能對應多組（a,b）。

2、素數項定理

定理描述：素數項位置Ns無法表示為Nh=a(2b+1)+b(a≥1，b≥1) 。

證明：

反證法：假設存在素數項位置Ns滿足Nh=a(2b+1)+b。

則對應奇數：

M(Ns)=2Ns+1=(2a+1)(2b+1)

因a≥1，b≥1，有2a+1≥3，2b+1≥3，故M(Ns)為合數，與素數定義矛盾。

證畢。

結論：

1）素數項位置Ns，是數列中無法被公式覆蓋的正整數。

2）素數是合數項公式Nh=a(2b+1)+b，在奇數數列2N+1泄露。

3）素數項公式： Ns = N-Nh ，Nh＞Ns 。

3、公式性質不變定理

定理描述：當項數N趨向無窮大時，公式仍覆蓋所有寄合數位置，且素數項規律不變。

證明：

1）覆蓋性不變：

公式Nh=a(2b+1)+b的來源是(2a+1)(2b+1)，因a≥1，b≥1，都趨向無窮，所以所有合數項Nh都覆蓋區間[0，∞）。

2）素數項規律不變：

因為素數項Ns=N-Nh ，項數N是序號至無窮，而合數項公式性質不變，所以素數項的規律也不會變化。

結論：

·公式在無窮范圍內保持結構穩定性和覆蓋完備性。

·素數項始終是正整數集中未被公式覆蓋的位置。

4、素數對增長定理

定理描述：數列2N+1的任意初始段[0，N]中，素數對的和的組合數量G(N)隨N增大而持續增多，且趨向無窮。

證明：

這個證明很簡單，沒必要復雜化。就是在區間[0，N]用π（N）表示這個區間內的素數個數，然后使用組合C即可。顯然從項數N增加到N+1，素數對相加的對數必然是增多的，因為隨著N的增大，素數的總量也是增多的。

即，G（N）→∞時，當N→∞

由2N+A空間性質：

素數集無限→π（N）→∞（當N→∞）。

·[ π（N）（π（N）+1）]/2是π（N）的二次函數，且系數1/2＞0。

·因此當π（N）→∞時，G（N）→∞。

證畢。

以上定理還可以簡單化，能說明問題就行，沒必要追求所謂的“嚴謹”而冗長復雜。

四、中學生都可以看懂的哥德巴赫猜想證明

設定條件：1不是素數，q≥1，p≥1，偶數≥6，2+2=4 特殊處理。

使用2N+A空間及其表格，在奇數數列2N+1中任取兩個素數，q和p，它們的項數是m和n。q+p=O ,O是一個偶數，項數是K ,這樣就有 ：

q+p=(2m+1)+(2n+1)=2(m+n)+2=2K+2=2N+2 , 其中 2N+2 是全部偶數。

注意關鍵點是：m+n=K=N 。

即， q+p=2N+2 （公式3）

證畢！

五、一個關鍵推論定理

N+1(全部正整數)= （q+p）/2 ，這個叫正整數的中值定理。

我們可以這樣表示這個公式：

（q+p）/2 = N (公式 4)

其中

q≥1，p≥1， N=1、2、3……

這就是“素數與正整數的關聯定理”，不需要證明。

誰說中國人沒有嚴格證明哥德巴赫猜想，那真是歪了嘴虧了心了！

2025年7月16日星期三