一、題目

一副三角板如圖方式擺放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F.若AD=4cm，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)______cm

二、分析與解答

這道題很簡(jiǎn)單，只要方向正確，秒解.

本題條件很簡(jiǎn)單，兩個(gè)特殊三角形，一個(gè)中點(diǎn)，一條線段長(zhǎng)，一條垂線段.

由特殊三角形可以得出兩個(gè)三角形所有邊的長(zhǎng)度

AB=8，DB=4√3，BC=CD=2√6

由中點(diǎn)能想到中線、中位線，可以把EF構(gòu)造成梯形的中位線，也可以構(gòu)造兩個(gè)特殊三角形的中線或中位線，以下就從這兩個(gè)角度給出三種解法.

解法一：構(gòu)造梯形中位線

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

則△ADG為等腰直角三角形，∴AG=2√2

∴EF=(AG+BC)/2=(√2+√6)cm

解法二：構(gòu)造三角形的中線和中位線

如圖，取BD中點(diǎn)G，連接EG、CG

EG是△ABD的中位線，CG是△BCD斜邊上的中線

∴EG=1/2AD=2，CG=1/2BD=2√3，∠BGE=∠BGC=90°

∴∠BGE+∠BGC=180° ∴C、G、E三點(diǎn)共線，CE=2+2√3

易證△CEF為等腰直角三角形

∴EF=CE/√2=(√2+√6)cm

這種解法容易犯的錯(cuò)誤是，直接認(rèn)為C、G、E三點(diǎn)共線，或連接CE就直接認(rèn)為G是中點(diǎn)，如果是解答題，這里是必須要證明后才能用的.

解法三：連中線證全等或垂直平分

如圖，連接DE、CE

可以通過(guò)證全等或由線段垂直平分線的判定，得出△CEF是等腰直角三角形

進(jìn)而得出 EF=CE/√2=(√2+√6)cm

三、小結(jié)

1、中點(diǎn)是填空壓軸中經(jīng)常會(huì)遇到的已知條件，通常會(huì)用來(lái)構(gòu)造特殊三角形的中線或中位線，也有時(shí)會(huì)構(gòu)造8字全等（倍長(zhǎng)中線）或A字相似.

2、含30°角和45°角的直角三角形是最特殊的直角三角形，三邊關(guān)系要熟練掌握，可通過(guò)記三邊關(guān)系來(lái)記特殊角的三角函數(shù)值，也可以通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值來(lái)記三邊關(guān)系.

3、定理的名稱：三線合一與垂直平分線的判定，前者課本上給的其實(shí)就是“三線合一”，但中考題、模擬題答案通常都是“等腰三角形的三線合一”，后者習(xí)慣上叫垂直平分線的判定，但應(yīng)該叫“線段垂直平分線的判定”，課本定理藍(lán)字部分標(biāo)注了“線段垂直平分線的性質(zhì)”，判定雖然沒(méi)用藍(lán)字標(biāo)出，但也應(yīng)該加上線段兩字，對(duì)應(yīng)角平分線.