女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

正如柏拉圖在他的宇宙演化論《蒂邁歐篇》中所闡明的，有三種主要的對稱性控制著空間的分布。因為花需要占有空間，所以它們不可避免地會表達這些基本模式。當代科學并不反對本質上必然對稱的原則。

這三種規則的分布模式來自規則的三、規則的四或規則的五。我們稱之為三角形、正方形和五邊形。

畢達哥拉斯因提出直角三角形斜邊(較長的一條邊)的平方等于其他兩條邊的平方這一命題而在我們這一代人中流芳百世。這個真理也因為直角三角形的邊有三個單位、四個單位和五個單位而不朽。這是一個非常實用的事實，至今仍在使用；由工匠或建筑師使用，他們需要在建筑或布局中建立一個正確的角度。

這三個數字不僅僅是一個實用的方面，因為它們有著更深層次的象征意義——尤其是在畢達哥拉斯和柏拉圖那里。畢竟，數字是主要的抽象科學，我們都可以安全地參與其中，并且知道每個人都同意它的性質和行為。然而，象征的層次會因文化、文明或靈感的不同而不同。

以下對植物世界的分析來自于最簡單的形狀——它們同樣是原型——并研究植物世界如何采用它們的邏輯(或超越)。

這無疑是畢達哥拉斯從古埃及帶來的智慧傳統，并在柏拉圖逗留埃及期間得到證實。這在柏拉圖的《提摩太對話錄》中得到了完美的體現。它也是亞里士多德文集的跳板——即使他更強調我們從明顯世界得到的印象。值得一提的是，亞里士多德是柏拉圖至少18年的學生，即使他沒有完全接受“理念”的學說。

《蒂邁歐篇》認為，構成萬物的物質的基本分子是建立在最基本的幾何基礎之上的。

這三種形狀或對稱性是三重或三角形，四重或正方形，以及五重或五邊形。

現代的“材料”科學已經證明，希臘人的“原子”理論，特別是《蒂邁歐篇》的理論，已經得到了證實。此外，生命所利用的分子也被戲劇性地揭示出來——不僅僅是DNA分子。我們的分析也表明，正如柏拉圖在《蒂邁歐篇》中預言的那樣，它是建立在比例原則之上的。反映了宇宙各個層面的比例。比例本身就像對稱一樣，是無形的。正如《蒂邁歐篇》所說，無形的靈魂本質上是比例的，因此它本身是無形的。我們所能從事的最基本的或最高的普遍規律是數字，沒有一門科學沒有數字是可以驗證的，而且是定性的和定量的。

三是構成一個形狀的第一個數字，例如，三個點和三條線包圍了第一個形狀——三角形。

四是空間方向上世界秩序的數量，是物質狀態，但更重要的是，在畢達哥拉斯哲學中，四是四分體。這意味著，一加二加三加四等于十，是體貼深度的象征——畢達哥拉斯學派推崇的。

五通常被稱為生命的數量，因為它完美地體現了黃金比例。作為幾何上的四角中心，它占據了控制位置，與正方形的所有四個角相等相關。它代表了“精神”或物質核心的生氣原理。因此，它被稱為第五元素。

花的分析可以用多種方法進行。我們選擇了柏拉圖式或傳統的方式。這意味著使用最簡單的基數數字，數字和對稱性。在任何時候都要記住我們宇宙深刻的整體性和統一性——正如柏拉圖建議我們做的那樣。

這個標準自然會指引我們從“1”開始。這只能在幾何上表示為一個圓，但這并不能排除一條簡單的直線，一個簡單的點，或一個單一的平面。幸運的是，這個圓“包含”一個由單個周長包圍的點。

從這個單一的圓我們可以按照之前的步驟來探索兩個相似的圓，三個相似的圓四個相似的圓產生了什么值或比例，等等。我們所分析的花的花瓣數反映了這一原理。這是一個包含一系列平衡的連續數字及其相互關聯的形式的整體。

我們看的是稀有的單瓣花。海芋就是這樣，還有一種類似的花，我當地的花販子稱之為 "和平百合"。我們接著看只有兩片花瓣的花的例子--但卻是成對的。然后，我們就進入了三瓣花的美麗世界，比如鳶尾花和某些愛水的花 "桔梗"。還有最早的 "春天"，雪絨花，等等。

從三片花瓣和三角形到四瓣花的正方形。墻花就是一個很好的例子。有許多微小的“壁花”來自豐富的“野生”花卉資源。

我們從四瓣花發展到五瓣花，其中有很多。五似乎是大自然的視覺策略之一。從數字上看，這符合黃金數列——這在自然界中非常豐富。

從五瓣到六瓣的水仙花、番紅花、百合等等。我們最終前進到八重的神圣蓮花——與此相聯系，我們展示了罌粟籽莢如何在其半徑和直徑上有更復雜的對稱性。

自然，某些關鍵的幾何比例圖會在對稱性中重復出現。

令人驚奇的是，花卉世界是如何利用這些原型來實現如此巨大的多樣性的。

我們不得不改變許多花的“比例”大小，以便能夠清楚地分析它們。所以請記住其中的一些，尤其是“野生”的非常小——卻非常美麗。

通過DNA分子的橫截面進行分析。它揭示了十倍對稱中的黃金比例。這種模式在宏觀世界和微觀世界中都有回響。參見斯科特·奧爾森的《黃金分割》一書。

圖片來自維拉德·霍內考特的筆記本。對基督教世界藝術的“內在幾何學”的洞察，無疑受到了柏拉圖對幾何學的堅持的影響。注意右下角的兩朵花。

Violet-le-Duc展示了中世紀基督教藝術的幾何基礎，在他的《幾何與自然》一頁的下角留下了兩片小小的花幾何證據。

這是當代天體哲學家羅賓-希思的作品。這一發現的深刻的簡單性完全讓人感到不安。另外，幾何學中的 "花 "的因素也不能錯過。

在這里，我們提出了五的重要原型，或五邊形對稱，在規則的形式。這在許多英國野生花卉中都有體現。

對花瓣的初步分析顯示了它是如何與基本的魚形橢圓形式相關聯的，但是我們也找到了花瓣兩瓣的半徑。這些從來都不是彼此的準確反映。

在圖1中，我們首先畫了一個半徑為OA或OB或OC的圓。虛線表示花瓣的最大寬度。

對于半徑OA，我們現在在這個半徑上標出AE，AD。接下來我們用相同的半徑從D畫出DC，從E畫出EB。

現在我們可以從a畫出半徑為AC，AB的精確等邊三角形。

虛線完成了三角形ABC。

為了確定中心點O的準確位置，我們用中心線連接BD和CE。

現在，我們可以看到花瓣幾何體如何響應基于等邊三角形ABC的形狀。但是回到中心點O，我們現在可以包括從B到C的1/3圓弧。

所以我們有ABFCA作為花瓣形狀。

在這里，我們從花上取下另一組花瓣，向它們展示一個非常簡單的幾何原型。歐幾里得的第一個命題不僅僅是一個幾何練習。在最充分的象征意義上，它是三位一體的。我們被提醒相同、不同和存在。

任何植物的葉子或花的蓓蕾總是象征著新形態的迸發和向上的光明。任何芽的基部都趨向于球形。它像哥特式拱門一樣打開。

海芋花Arum被我當地的賣花小販稱為“和平百合”。在上面的圖像中，我們可以看到佛陀的“光體”的明顯相似性(種子莢象征著他的人體)。“光體”在本質上是一個魚形橢圓，完全像基督在沙特爾大教堂的西門。在下圖中，同樣的花占據了與花蕾非常相似的幾何形狀——在這個例子中是顛倒的。它的螺旋狀展開尤其明顯。

(上圖)在這朵花的雙花瓣之間的比例似乎令人信服地發現在五瓣幾何。黃金比例在這里很明顯，仔細研究這個分析就會發現。(左下)花的原始圖像。(右下)花瓣中心之間的比例本質是由上面的幾何形狀決定的。

鳶尾花Iris的花瓣和花藥最具三重和六重對稱性。在這里我們展示一個特別的三角形展開和相關的幾何。

如上所述，鳶尾在歐洲繪畫傳統中是獻給圣母瑪利亞的，據說是因為它的三位一體性質。這是一種比例極為簡單的非凡圖案。它也與√3的神秘有關。

對這種紫露草Tradescantia的分析與平面上三個肥皂泡的結構方式有著驚人的相似之處。三重分析非常精確。

這種郁金香Tulip以一種展示其三重和六重性質的方式開放。中間的六邊形相當對稱。花瓣的外部三度很好地響應了如上所示的分析。

這種骨精花Osteospermum ‘Whirligig’ 屬貝里斯科，它的花瓣是褶皺的——它們彼此之間的卷曲比例正好是√3。這很難被認為是偶然的。結果是我們有一組√3的比例表示為圓中的圓。這可以被稱為“經典”√3比例系列。與母花的巧合意義重大，不容忽視。這些花瓣顯然很漂亮，它們的比例也很微妙。

a, b, c, d。上面的四棵秋海棠Begonias是成對出現的典型例子。

e, f。帶著濃郁的懷舊香味，壁花Wallflower是我童年時代對花的熱愛的生動伴侶。在這里，我們可以很清楚地看到它與四個重疊的圓的關系。

這種耬斗菜花Aquilegia有一種不同尋常的四重對稱，我們已經用幾何方法分析過了。

這種柚子花Cistus的稀有版本，四重對稱。通常為五瓣狀。然而，在另一種選擇的對稱中，它對平方中平方的縮小或擴大√2系列的反應非常好。

羅伯特花Herb Robert已經被認為是我最喜歡的花之一。它非常謙遜和異常強大的對稱意味著它在任何花園背景下都很突出，盡管它很小。

我童年的另一個小愛好是“勿忘我”。這種非常勻稱的小花的幾何形狀驚人地符合五邊形對稱。很明顯，這朵花的中心是一個十邊形或十角白星。大圖(下頁)上平行的白色延長線可以從中央的五角星得到。

這種奇妙的小花有獨特的魅力，但它仍然堅持五倍。內部較深的紅色給了我們十倍的圖案。

幾何圖形基于五邊形幾何花。花瓣頂端的圓圈來自中心。小圓圈是相鄰花瓣的花瓣曲線的中心。

這是比利斯家族的另一名成員。在中心，我們發現13朵小花向右螺旋，8朵小花向左螺旋的精確黃金數關系。8，13，21是黃金序列。

有時分析在一個方向上更清晰，就像這張雛菊圖案。螺旋展示了六邊形緊密貼合以及線性數量螺旋。

比例是五邊形。為了找到黃色的中心區域，我們在接近21個花瓣的地方放置了4顆五角星。

五邊形的對稱性包含了許多秘密和半隱藏的圖案(如圖所示的天竺葵)。這是迄今為止最受歡迎的“野花”的對稱，也許是因為規則的五邊形如此恰當地體現了黃金比例。在這里我們看到十倍對稱是如何“控制”花瓣曲線的。

這種粉色家族中謙遜而強大的五瓣花展示了它的顏色，以此來加強它的五。

幾何學家的仔細觀察將揭示花瓣和著色曲線的來源。

這種花在我的花園里春夏多產，幾乎是幾何‘五’花的經典代表。

圖案中心的五個圓以最大的星形五邊形每條對角線的中點為圓心。它們再次出現在花瓣端。

這種常見的小野花的幾何分析只能在初始但重要的階段提供。仔細觀察決定花瓣曲線的花瓣中心的位置是值得的，但也增加了神秘感。我們把花瓣的不整齊的“末端”交給別人去解決。

那些在花園里種過錦葵或芙蓉的人會知道它的戲劇性效果，遠遠超過了人類的身高。在這里，我們提供了這些大的五重花中心顏色變化的分析。

仔細觀察這個簡單而微妙的幾何圖形，就會發現它與這朵美麗的粉紅色小花是多么契合。

在這里，我們展示了五倍幾何，提供了一個比例的解決方案，這一階段展開的玫瑰花蕾。

這個比利斯家族的彩色成員展示了與DNA螺旋截面比例的驚人關系。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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