新定義“關聯點”的函數味道

2023年北京中考數學第28題

近年來，壓軸題中出現幾何圖形的最值問題，越來越頻繁，通常情況下，這類問題離不開數形結合的分析方法，其中較為普遍的命題方式是將幾何圖形數量化，變成函數的最值，若是涉及一次函數，則必然出現自變量范圍，若是涉及二次函數，情況會復雜很多，會出現頂點、對稱軸、自變量范圍等，但在2023年北京中考數學新定義壓軸題中，我看到了不一樣的解決方案，利用三角函數理解最值。

首先對于人教版教材中的銳角三角函數章節，雖然章節標題中有“函數”二字，然而實際教學過程中，函數的味道卻并不濃，甚至在某些課堂上，它純粹成為了幾個特殊三角函數值的運算，但是在教材中，第62頁的概念探究及63頁的小貼士中，明確指出了三角函數的“函數”味道，如下圖：

而2023年北京中考數學第28題，尤其是最后一問探究取值范圍時，則不可避免涉及到最值問題，盡管我們可以依靠直觀猜想解題，但要給學生講清楚其中的緣由，仍然要多問幾個為什么。

題目

在平面直角坐標系xOy中，圓O的半徑為1，對于圓O的弦AB和圓O外一點C，給出如下定義：若直線CA，CB中一條經過點O，另一條是圓O的切線，則稱點C是弦AB的“關聯點”.

(1)如圖，點A（-1，0），B1（-√2/2，√2/2），B2（√2/2，-√2/2）.

①在點C1（-1，1），C2（-√2，0），C3（0，√2）中，弦AB1的“關聯點”是______________；

②若點C是弦AB2的“關聯點”，直接寫出OC的長；

(2)已知點M（0，3），N（6√5/5，0），對于線段MN上一點S，存在圓O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關聯點”.記PQ的長為t，當點S在線段MN上運動時，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)讀懂新定義，直線CA，CB一條過圓心，一條是圓的切線，通過連接操作直觀得到結果：

①動手連線，不多講，見下圖：

0 1

0 2

0 3

通過以上作圖，我們發現有兩個點符合要求，分別是C1和C2；

②我們去年圖中多余的點、線，僅觀察圓O及其弦AB2，如下圖：

根據“關聯點”定義，我們需要分類討論，若CA過圓心，CB是圓的切線，作圖如下：

x軸即直線CA，根據圓的切線定義，連接OB2，并過點B2作它的垂線，與x軸相交于點C，顯然可以得到等腰Rt△OB2C，并且OB2=1，可求得OC=√2；

若CB過圓心，CA是圓的切線，作圖如下：

我們得到了前面的C1點坐標，求得OC=√2；

01

(2)根據題目條件作圖如下：

我們連接SO并延長，與圓O有兩個交點，分別是P和P'，同樣過圓外一點S作圓O的切線也有兩條，切點分別是Q和Q'，由圓的對稱性，我們先考慮點Q，點Q'同理；

0 1

當S是弦PQ的“關聯點”時

我們需要考慮弦PQ的長度與點S的位置間的關系，以PQ長度為出發點，順藤摸瓜：

第一步，確定邊-角關聯

觀察PQ所在Rt△PQP'，其斜邊PP'=2，為定值，于是PQ的長度與∠P的余弦值有關，則我們得到PQ=PP'cosP=2cosP，用文字描述為“PQ隨∠P增大而減小”；

第二步，替換角

∠P是圓周角，它所對的弧是弧P'Q，于是∠P=1/2∠QOS，我們再次描述PQ與∠QOS的關聯為“PQ隨∠QOS增大而減小”；

第三步，確定角-邊關聯

在Rt△QOS中，OQ=1，為定值，則斜邊OS的長度與∠QOS的的余弦值有關，則我們又得到OS=OQ/cos∠QOS，用文字描述為“OS隨∠QOS增大而增大”；

第四步，確定邊-邊關聯

現在通過中間橋梁∠QOS，我們可得到PQ與OS間的關聯，PQ隨OS增大而減小。

現在可以輕松求解PQ的最值的，由OM>ON可知，當點S與點M重合，OS最長，即PQ最短，如下圖：

過點Q作QK⊥y軸，很容易得到△MOQ∽△QOK，分別求出OK=1/3，QK=2√2/3，從而求出此時的PQ=2√6/3，即t最小值為2√6/3；

當OS⊥MN時，由垂線段最短可知，OS最短，即PQ最長，如下圖：

先求出MN=9√5/5，此時由面積法求出OS=2，繼續由△MOQ∽△QOK，分別求出OK=1/2，QK=√3/2，從而求出此時的PQ=√3，即t最大值為√3；

至此，第一類分析完畢，當SP經過圓心，SQ是圓O切線時，2√6/3≤t≤√3；

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當S是弦P'Q的“關聯點”時

由前面的兩種位置圖形，可知P'Q隨OS的增大而增大，然后分別求出P'Q的最大值為2√3/3，最小值為1，于是第二類分析完畢，當SP'經過圓心，SQ是圓O切線時，1≤t≤2√3/3；

本題還有其它思考方向，過點P'作P'L⊥SQ，如下圖：

求解方法類似，不再贅述，供讀者參考。

教學思考

本題第1小題，其實也可看作是網格作圖題，盡管較為簡單，但與武漢、天津的網格作圖題思想類似，當然在難度上有所控制，按新定義題型的通常設置，第1小題是對新定義“關聯點”的直接運用，考察學生是否理解了概念的表面含義。

從第2小題開始，對學生概念的深入理解程度要求較高，題目采用了直接寫出答案的形式，并非鼓勵學生去盲猜，而是有依據猜想，當老師在課堂上給學生講解此題時，不能一句“顯然易證”去描述，多數學生會一頭霧水。所以對于講解第2小題，必須弄清楚PQ增減的原因，這也是建立函數模型的理由。

當我們尋求PQ增減原因的時候，事實上也是在建立PQ的函數模型，于是，選擇合適的自變量非常關鍵，所以我們在解析中經歷了四個步驟，逐步建立了PQ與∠P、∠P與∠QOS、∠QOS與OS間的關聯，最終確定了自變量為線段OS的長，建立PQ與OS間的函數關系，當然，這種函數關系不一定要按照本文中的關聯，中間橋梁可以有多樣選擇，但最終，我們需要的是PQ關于OS的函數關系。

解完題之后，再回看題目設置，這與我們在課堂上研究函數關系的方式完全一樣，不同的是，教材上往往會直接給出自變量、因變量，讓我們探索它們的關系式，通過表格、圖象、關系式的方式描述，但在本題中，卻需要我們自已尋找自變量，這需要深刻理解函數，新定義“關聯點”，的確需要我們去尋找“關聯”，從邊角關系入手，借助勾股定理、相似三角形、三角函數等，建立變量間的函數關系，從而真正體會其中的函數味道。

在研題系列視頻中，第1講、第34講、第68講分別講解了2020年、2021年和2022年北京中考數學第28題，并針對新定義題型的解法對教學進行了深入思考，這些寶貴的思考均收錄于《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》一書，當然，全國各省市的中考壓軸題中，新定義題型不僅僅是北京市獨有，但這種題型無疑對學生數學概念的理解提出了極高要求，這類題型在講解過程中，老師體會非常明顯，學習能力強的學生可以說是一聽就懂，但稍弱一點，便很吃力，甚至聽不懂，更有趣的是，這種理解能力上的差距，必須通過課堂教學中對數學概念的挖掘縮小，而不是通過大量重復訓練，即提倡多思，非唯多練，這是一種正確的教學導向，在書里大量的教學思考中屢屢提到，所以強烈推薦一線教師閱讀思考。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）