一

“可能性”在哪兒？

“可能性”到底是什么？

即使最聰明的人，在面對這個概念時也會心生疑惑。

我在《》提及一道題。

你可能也經歷過在機場等行李的煎熬。假設是如下狀況：?

??????1、行李丟掉（沒上飛機）的概率是50%；?

????????2、行李的等候時間為10分鐘（并且是均勻的）。

請問，你等了5分鐘之后，還沒看到行李，那么你的行李沒被弄丟的概率是多大？

方法一：不靠譜的直覺

首先，用直覺快速解答一下：假設行李沒掉，概率是50%，目前還有5分鐘，也就是還有50%機會等到行李，那么是不是應該是（50%??50%=25%）呢？然而，這個解答是錯的。

方法二：用貝葉斯計算

答案是1/3。

我們試著不用公式，來解答一下。

上面兩個計算中，第一個直覺上的錯誤非常有趣。??

沒錯，假如用平行宇宙的思考方式，很容易想到25%的可能性，如下圖：

最開始，可能性一半是丟了行李，一半是在傳送帶上。

過了5分鐘，一半在傳送帶上的可能性又消失了一半，所以，仍在傳送帶上的可能性（希望）就變成了一半的一半，難道不是1/4嗎？

錯在哪里呢？如下圖：

我們現在要計算的是“可能性”。

重點在于，過去的五分鐘的可能性已經因為時間的發生而消失了。已經發生（且被觀察到），就不是可能性了。

概率是對“可能性”的度量。在經歷了前五分鐘等待且沒發現行李之后，這五分鐘的可能性已經被觀察消除了。

所以，這是“可能性”的基數已經變成（25%+50%），所以計算結果應該是【25%?（25%+50%）】，答案是1/3。?

疑惑的地方又來了，在傳送帶上的可能性，因為時間而消失了一半（變成25%），那么“行李丟失了”的這50%可能性，為什么沒有變化呢？

行李可能丟掉的那一半“可能性”，不也是已經發生了嗎？

讓大腦產生疑惑的是下圖：

我重新將空間和時間的可能性混合在一起，繪制了上圖：?

1、最開始，“行李丟了”和“行李沒丟”各為50%，這是基于空間的“可能性”；???

2、等候了5分鐘且沒有看到行李，如上橙色部分，是按照時間分布，來分配時間的“可能性”。 ??????

我們的疑惑，來自：

為什么“行李沒丟”的50%可能性隨著時間壓縮到了25%，而“行李丟了”的50%可能性卻沒有發生變化？

因為“行李沒丟”的50%可能性隨著時間減半，是觀察了5分鐘傳送帶的結果。

而“行李丟了 ”的50%可能性，即使傳送帶 時間過了一半，但你沒有去看（觀察），那么行李沒丟的概率還是50%。

所以，“可能性”并不是存在于“未來”（基于時間），而是存在于“未知”（基于時間和空間）。

更進一步，概率衡量的，是對未來有價值的“可能性”。

一定會有人說，上面這些討論是無聊的語言游戲和智力游戲，和現實啥關系都沒有。???????

倒是可以順路把這個問題回答掉：?????????

我們可以模擬一個丟行李的游戲，完全設定上面題目的所有條件，隨機重復，在過了五分鐘沒有看到行李的時候，支持1/3答案的人，和反對者來一個下注游戲，用錢說話。??????????

所以，假如有讀者質疑上面的計算，不如直接和我打個賭。

（這是一個優良的習慣。在現實中，我們尤其要小心那些言之鑿鑿卻不愿為自己的觀點下一分錢注的人。）??

盡管上面時間與空間可能性交替在一起令人困惑，但是相信我，下注游戲的結果會告訴我們，所謂“可能性”，是與未來有價值有關的“未知”，哪怕該“未知”在過去的黑盒子里。????

這倒是可以給出一個硬核雞湯式的解讀：??

概率所描述的不確定性，是用于衡量未來對我們有價值的可能性（機遇）。?

二

“可能性”的本質

“可能性“到底在哪里？????

在上一節的例子里，我們混合了物理世界的可能性，和數學意義上的可能性。???

確切說，還有關于時間的可能性，以及人類主觀信念的可能性。?????

讓我們略過那些哲學或文學意義上的探討，直接來到關于“可能性”的一個巔峰時刻。?????????

有一天愛因斯坦問波爾：你是否真的相信，當沒有人看月亮的時候，月亮就不在那里？

波爾回答：你能提供給我一個反向證明嗎？你是否能夠向我證明，當沒有人看著它的時候月亮一直在那里？

在這個被加工過的故事里，我們大約能感覺到雙縫干涉、薛定諤的貓、乃至量子糾纏給愛因斯坦帶來的深深困擾。????

在電影《奧本海默》那一眾量子物理的大神當中，當年“早已過時”的愛因斯坦才是真正的大王。

事實上，愛因斯坦是第一個指出量子力學的本質是概率性的人，而他的每一次對量子力學的不自洽之處的攻擊都給對手帶來了啟發和榮耀。??????

《理論最小值：量子力學》提及，在1917年發表的文章《關于輻射的量子論》中，愛因斯坦曾論證伽馬射線的輻射要滿足統計性的規律。

和波爾等人最大的不同是，愛因斯坦試圖去發現概率背后的因果。

他不甘心量子力學在微觀層面只是驗證了“物理學與數學之間預先建立的和諧”，他還想知道為什么。

于是，一派科學家認為：通常關于量子態的概念是不完備的，還存在“隱變量”，只要我們能夠知道它（某些缺失），就可以完整地預測量子系統。

另一派則相信：量子力學最多只能完備到對概率的計算，物理學家的工作就是學習，并應用這些計算。

當這個世界最深層的要素都是不確定性的，我們又該如何理解可能性的本質呢？

至少，馬克斯·韋伯已經認識到，科學雖然不再是通往確定性的道路，也不再是世界意義的來源。不久后發生在洛斯阿拉莫斯的原子彈試驗更是驗證了這一點。

月亮在沒人看它的時候還存在嗎？加州大學歐文分校的認知心理學家唐納德·霍夫曼的答案是：當你不看它時，它不存在。

他的觀點是：我們所有的感官，包括眼睛，根本感知不到客觀實在。

現在想象一下你的感官，你看到的每一個物體，你聞到的每一種氣味，你感受到的冷熱，也只是圖標而已，并非世界的客觀實在。感官帶給我們的是一個用戶界面。

比較起他的觀點，我倒是覺得他的解釋比較有趣：

這個用戶界面是自然選擇的結果，旨在引導我們的行為，幫助我們生存下來，即獲得適應性，而非讓我們認識世界的真相。

霍夫曼提出了一個“適應勝過真實（FBT）定理”：

感知出真實對生存沒有幫助，甚至有害，嚴重到令生物滅絕。

如果 空間、時間和物體都不是客觀實在的，那什么是客觀實在的基石？

霍夫曼的答案是：

信息，針對適應性的數據壓縮和糾錯。

三

“可能性”的謊言

讓我們回到經典物理的世界吧。???????????

概率對經典物理世界的可能性的研究，尚在我們的直覺觸達范圍之類。????????

概率論的最早提出者卡爾達諾，是一個聰明的賭徒。他極其淵博，但又生活混亂；他頗有天賦，可只算得上一位業余愛好者。

然而，概率恰恰是一種需要被感知的知識。

我見過一些大學教授的概率論述，不管他們寫得多么專業，都能隱隱約約感覺到：

他們可能從沒真正去過賭場，也沒有真正為不確定性下過讓自己肉痛的注。??????????

這倒不是說，只見過豬跑沒長過豬肉的人不能研究如何養豬，而是概率這一概念的確是誕生于賭場。?????

卡爾達諾過分沉迷于棋盤和賭桌，他自認為必須受到最嚴厲的譴責。

他寫下了世界上第一本概率著作《論賭博游戲》，這個自我懲罰的副產品，成為人類近幾個世紀來最好的思想火花之一。

他第一次給出了關于“可能性”的量化、直觀的粗略模型：

某種意義上，卡爾達諾的概率消除了迷信或信仰的確定性，正如后來概率又消除了經典物理學的確定性。

在帕斯卡等人的幫助下，概率開始真正成為一門學科。

帕斯卡洞察了期望值的概念。借助這一賭博的核心概念，在大數定律的“驅動”下，賭場發明了輪盤賭。

直至今日，類似的賭博機器還在偽裝為“中獎的機會”，將賭徒們的金錢一點點抽干。??

沒錯，無論是從數學的角度，還是從賭徒的命運看，賭場壓根兒就沒有“可能性”。

這時，概率不再與“可能性”有關，而是成為制造可能性幻覺的煙霧彈。??

亦因此，賭徒是毫無希望的。

四

“可能性”的概率權

呼應本文開頭的行李問題，我用另外一道好玩兒的題目，來測試一下“觀察改變現實的可能性”。

題目：酒鬼去哪兒？

某酒鬼有90%的日子都會出去喝酒，喝酒只隨機（概率均等）去固定的三家酒吧，也就是說去每家酒吧的概率都是30%。

今天警察想去抓酒鬼，結果找了其中兩家酒吧，都沒有抓到。

請問：酒鬼在第三家酒吧的概率是多大？

答案是：

1、假如警察真的是想抓酒鬼，那么酒鬼在第三家酒吧的概率是75%；

2、假如警察是酒鬼的兄弟，不那么想抓他，酒鬼在第三家酒吧的概率是90%。（這個結果有一些不嚴格的假設。）

酒鬼這道題，最讓人疑惑的地方是：

為什么警察“真的抓”和“假裝抓”會影響酒鬼在第三家酒吧的概率？

也就是說，酒鬼在第三個酒吧是一個物理事件，而且在警察來抓之前就已經客觀存在了，為什么會因為警察心底的主觀意識而發生改變呢？

難道有心靈感應這回事兒嗎？

請允許我用小白話來把題目分析一遍：

酒鬼去每個酒吧的概率都是30%，這是一個統計結果，也就是說過去100天，酒鬼有30天去酒吧A，30天去酒吧B，30天去酒吧C，10天回家被老婆罵。

那么具體到今天，他要么在三個酒吧中的某一個，要么在家里。不管他在哪兒，他都是百分之百在那里的。

既然如此，概率有什么用呢？是拿來分析可能性的。例如知道概率的大小，警察就知道去任何一家酒吧抓住酒鬼的可能性，都是在家里抓住他的可能性的3倍。一次未必準，但抓上很多次，就越來越接近這個比例。

圖示如下：

上圖，是上帝視野的統計概率，而現在的情況是，警察去了酒吧A和酒吧B，發現酒鬼都不在。

這其實是一個觀察過程。如下圖：

經由觀察，酒鬼在酒吧A和酒吧B的可能性消失了，相當于對應的平行宇宙“坍縮”了。

接下來，去酒吧C的30%和回家哭的10%，對應了全部可能性。

于是，如上圖右側的計算，在酒吧C的概率是75%。

這就是警察真的想抓酒鬼（且不知道酒鬼在哪兒）的情況下，酒鬼在酒吧C的概率。

那么假如警察知道酒鬼的情況呢？

我試著更精確地表述：

有兩個警察一起去抓酒鬼。其中一個很正直，而另外一個壞警察與酒鬼有勾結。 酒鬼還是90%的概率去喝酒，10%的概率回家。 但是，為了不被抓，酒鬼和壞警察商量好，以后只去C酒吧喝酒。 當好警察打算抓酒鬼時，壞警察故意帶好警察去A酒吧和B酒吧，以干擾抓酒鬼。 請問在C酒吧抓到酒鬼的概率是多少？

我發現，一旦想要精確地表述問題，問題就毫無趣味了：

當然是90%了。

那么，我想繼續追問：對于好警察來說，所做的事情還是一樣，為什么在酒吧C抓到酒鬼的概率就從75%變成90%了？

對于好警察來說，他的舊情報還是酒鬼以各30%的概率分別去三個酒吧喝酒。

但是壞警察知道，酒鬼90%的概率是去C酒吧喝酒。

壞警察故意先帶好警察去A酒吧和B酒吧，其實是利用自己基于更多信息的“概率權”。

在這種操縱下，好警察去A酒吧和B酒吧的觀察行為，并不會導致對應的平行宇宙的“坍縮”。

抓酒鬼這個案例告訴我們：

“判斷是可以測度的，相關性的判斷就是概率。”

但是，問題往往出現在“相關性的判斷”上。

同樣，酒鬼被抓的可能性，似乎被知情且想包庇他的壞警察控制了。

和能夠設計賭場游戲賠率的老板一樣，上面的壞警察也能夠設計“可能性”。

這就是我所說的概率權。

五

“可能性”的藝術

俾斯麥有句名言：“政治是可能性的藝術”。

在一本以該名言命名的書里，作者曾經這樣寫道：

“恰恰是知識的不確定性，讓我們需要在每一個時代、每一個情境中不斷重返基本的道德問題和歷史經驗，用我們自己的頭腦思考，并以這種思考成就人之為人的尊嚴。”

在這個灰度的世界里，我們的工作、生活，包括創新探索，都是關于可能性的藝術。??

每當飯桌上人數接近23人，我就喜歡玩兒猜生日重合的游戲。因為從概率上看，當數字大于23，有兩個人是同一天生日的概率大于50%。????????

生日悖論有一種常規的數學論證方法，但是對于這個看起來有點兒奇怪的概率游戲，我更喜歡一種能夠從直觀上給出解釋的計算方法，其基本思路是：??????

23個人看起來很少，但是從23個人里隨機組成一對，組合就多了很多。一旦從這個角度去思考可能性，就容易理解結果了。 ???

因為沒有指定，沒有計劃，可能性更多了。??????

市場經濟的秘密，多少也與這種更豐富的可能性有關。????????????

互聯網更是如此，其強大在于隨用戶數指數增加的梅特卡夫效應。

許小年在《商業的本質和互聯網》里說：

“太陽底下沒有新鮮事”，這種效應也存在于鐵路網、電話網等“舊經濟”的網絡中，只不過人們沒有注意罷了。

如果我們不深究信息的流動和智能的疊加，僅從連接的可能性，也能推導出網絡效應的價值。

在n個人當中，兩兩通話的可能性，有n(n-1)/2種。

網絡的價值隨用戶數呈指數增長，這個關系被稱為梅特卡夫定律，公式為：

就人類大腦的神經網絡而言，類似的連接效應涌現出了迄今無法解釋的智能和意識，即所謂整體大于部分之和。????????????

這是某種可能性之上的復雜可能性。?

六

“可能性”的信仰

關于可能性，我有一個有趣的觀察：???

假如你知道某個地方有答案，能夠大幅度提升你找到該答案的概率。

以圍棋為例，假如你做一道死活題，一般會告訴你“黑先白死”等條件，你知道肯定有手段，只要認真想，水平夠，總能試出來。

實戰中就不一樣了，即使有一模一樣的機會出現，你可能也想不出那個手段。

為什么“知道這個地方有手段”能夠提升找到這個手段的概率呢？

一方面，這相當于為問題劃定了邊界，也描述了目標；

另一方面，大腦的計算資源是有限的。

有人會說，既然如此，那我每手棋都假設有手段，不就可以了嗎？

高手的確是如此思考的，但比賽時間也是有限的，仍然需要分配。

所以，知道了某處有手段，就可以讓棋手在該戰場分配更多資源。

在這個話題上，智慧可以分為二階：

1、一階是找到某個問題的答案；

2、二階是知道某個問題有答案。

如果再有三階，也許可以是：

你知道某個問題有答案，并且知道找到什么人能找到答案。

與此主題相關的故事，有“最速降線”的設擂傳奇：

約翰.伯努利花了半年的時間，整出了最速降線的一般解的問題。然后到處挑戰。

牛頓一晚上就解決了問題。

除了他的確很牛，還有部分原因是：牛頓知道該英雄帖是有解的。

說說碾壓，阿基米德、歐幾里得、牛頓等人一兩千年沒畫出來的正十七邊形，高斯一晚上畫出來了。

這家伙當時以為是老師布置的作業呢。

要是知道是千年難題，高斯還能解這么快嗎？

天才的話題不扯遠了，回到主題。

我們可以由此得出一個有點兒雞湯的推導：?

假如一個人覺得自己是天選之人，那么他成功的概率會大很多倍。

這大概是關于個人“可能性”的頗有價值的探討。

在我看來，這才是教育的本質--?????

學校的使命不是給孩子什么確定性的東西，而是給他對未來可能性的向往，以及讓他對自己的可能性充滿信心（不畏懼灰度）。??

其他的不過是細節。

高福院士在一本書的推薦序里寫到：

科學發現、技術創新中最重要的是“包容”(tolerance)與“韌性”(resilience)。

在范內瓦·布什先生《科學——無盡的前沿》報告中，大量篇幅論述了科學研究的自由必須得到保障，政府的穩定資金投入就是對科研工作者最大的包容與支持。

“從培養下一代科學家的角度講，為了做出突破性發現，導師會為學生打造自由試錯的安全空間，讓學生適應挫折，進而審視方案、調整方法，繼續開創探索，讓他們既有獨立變通的能力，又不乏鍥而不舍的精神，也就是韌性。”

包容，是對各種可能性的“保留”；

韌性，是在不斷逼近答案的可能性優化過程中的進化與從容前行。

可惜，這個世界上的絕大多數教育，是對可能性的摧殘。

首先是對“可能性的智慧”的摧殘，那些標準化考試和正確答案，只接受100%。

還有就是對孩子未來可能性的控制。

拜托，這不只是一種操控的幻覺，更是因為：

成年人對自己的不確定世界的無能，要從孩子這里報復性補償。

的確，有人說過，高考是人生最后一個付出就有回報的戰場了。

步入成年人世界，沒有確定性，只有可能性。

可能性是非線性的，付出未必就有回報。

大多數人都在追求確定性勝利（漫長的教育格式化）中，失去了可能性的本能與智慧。

小孩子是一張白紙，但是一張貝葉斯的白紙。

成年之后，那張紙已經面目全非，不再有對“可能性”的信仰，只剩下絕望二字。

七

“可能性”的復雜

直至今日，奈特在近100年前對“不確定性”的概念定義依然耀目，他認為：

“不確定性”是沒有客觀分布的不確定性，表示為人們無法預知沒有發生過的將來的事情，它是全新的、唯一的、過去從來沒有出現過的。

奈特在《風險、不確定性與利潤》一書中區分了風險與不確定性：

風險是有具體概率分布的；

不確定性是缺乏對事件的基本認識，結果是人們無法預知的。

本文從一個小而有趣的概率題開始，粗略地探討了風險和不確定性背后的可能性。???????????

我對知識的樂趣非常個人化，并且會沉浸在某種感知的喜悅中，但仍然覺得有必要將“可能性”這一主題的枝椏略作梳理。???????????

關于“可能性”的話題 ，遠非扔骰子般的智力游戲那么簡單。?

埃隆馬斯克說:“物理定律才是真理，任何人都可以違反人類創造的定律，但我還沒有看到有人違反物理定律。”

盡管物理需要倚賴概率，但是許多人可以違反“概率”的有關定律。??

例如，大數定律和期望值，在個體命運上經常失效。干蠢事的人因為好運而成功，做對了事情的聰明人卻因為隨機性而遭遇失敗。??

牛頓的因果，即使加上玻爾等人的概率，依然無法撫慰普林斯頓大學小道上愛因斯坦的迷惑：

在量子力學中，一個人可以知曉一個系統的全部，卻無法了解它的各個部分的信息。

不確定背后的可能性，是對人類的祝福，而非詛咒。??????????

一旦人類試圖去消除那種不確定性，可能就會陷入哈耶克所言的“致命的自負”：

“用整體規劃去擺脫和征服現代社會的高度不確定性，以及它帶來的焦慮和不安”，也許恰恰會剝奪可能性。

作為概率愛好者，我不會將“可能性”的概念局限在聰明的書呆子的世界。?

這方面，凱恩斯是個好榜樣。《凱恩斯的金融異見》寫道：

作為不確定性的詩人，凱恩斯認識到在投資領域，有許多事件“沒有任何科學依據，無法形成任何可計算的概率”。投資者根本不可能成為古典理論中理想化的經濟人——對預期結果乘以預期概率進行冷酷的計算。

現實世界要復雜的多，不會如單純的概率題那樣有一個分布均勻的隨機性假設。

即使行為規則非常簡單，“大量這類行為的相互作用，可以涌現新的宏觀秩序”。

試圖通過單純的統計套利，并不會獲得與智力成正比的回報。凱恩斯說任何統計方法只能關注大量出現故具有平均意義的活動，但真正代表涌現秩序的往往是個別的活動。

在一個“牛頓+達爾文+圖靈”的年代，“可能性”在物理世界和虛擬世界里交織進化。???

可能性的復雜，將重新引導人類對理性的定義。

康德曾說，人類的不成熟狀態就是不敢公開大膽地運用理性。--而這理性也許也應該加上概率的約束，又或是插上概率的翅膀。????????

對此，我用自己的一段繞口令做個小結：?????

重點不是“知道自己知道”，也不是“知道自己不知道”，而是知道“知道自己知道”和“知道自己不知道”之間的比例。

最后

人類的存在，來自幾乎不可能的“可能性”。??????????????????

人亦是為“可能性”而生的動物。?

假如我們相信會發生的某些可能性，即使還沒有發生，甚至未來也不會發生， 依然會滿心喜悅，滿懷期待。??

人們將極小的可能性稱為奇跡。從概率的角度看，無論是全體人類，還是皆為游泳冠軍的個體，都是奇跡的產物。????????

不過，作為奇跡產物的你我，有多久沒有相信過奇跡了？

可能性并不依賴于擁有和占有。就像父母對孩子未來的期許。

也許我們不該對確定性有太高的奢望，畢竟至關重要的那部分確定性，例如太陽，地球，空氣，以及月球軌道和地球赤道之間恰到好處的夾角......已經足夠完美了。?????

我在朋友圈看到一段話，感覺像是對未來可能性的熱烈呼喚，且借來獻上。

那是小說《悲歌長嘯》結尾的一段話：

“有幾次我幾乎要給她去電話，告訴她不要一再拖延生活中的好事，不要等到她覺得自己已經充分證實自己的價值、已經離過去足夠遠才去考慮那些好事。

因為那個時刻或許永遠不會到來。

也許有時你已經沖過那條線，只是自己還沒有覺察出來，就像黑暗中的柵欄。”