女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文介紹了伊斯蘭藝術和建筑遺產中幾何裝飾的形式和意義的三種不同學術解釋：外部文化立場，深奧的宗教論點，和內部科學方法。文章的主要部分超越了伊斯蘭信仰的文化忠誠或規定，而是圍繞著重建和制作幾何圖案的內部形式主義和純美學方面，旨在探索它們的感知詞匯，以及它們的生成原則和內在過程。分析從最基本的層面開始，幾何圖案可以被視為開放或封閉表面多邊形或線性配置的組合。其他感知方式涉及多邊形的外觀和內在幾何形狀、色調或顏色，以及通過圖形-背景反轉或通過將線性設計感知為二維平面之外的互鎖元素來應用準三維空間。然后，本文從構成多邊形、重復密鋪和設計整體的層面，探討了視覺感知手段與圖案固有的重復、幾何和對稱性之間的關系。除了雙邊對稱中相似性和同一性的狹義含義之外，還引入了對稱的替代概念，然后基于晶體學家發現并由數學家發展的分類，將其應用于建立2d幾何圖案的綜合詞匯表。文章最后展示了結合幾何和對稱系統在重新創造傳統設計或產生新圖案的力量。

1導言

近年來，在研究伊斯蘭裝飾圖案的內在設計、意義以及歷史和文化背景方面取得了越來越多的成果。在文化領域，它們經常被框定為社會產品或歷史風格[1]。在神學和神秘學領域被用作解釋工具。在象征領域被賦予了一個深奧的維度，形式和結構的秩序成為“統一”原則的體現[2]，[3]。最后，理性/實證主義的方法忽略了伊斯蘭裝飾研究中的意義問題，無論是與社會相關還是更具體地受信仰的約束，而是專注于設計的形式方面及其幾何和數學過程[4]。

本文的討論范圍超越了伊斯蘭信仰的文化忠誠或規定；而是圍繞著幾何圖案制作藝術的內部形式主義和純美學方面，目的是探索它們的感知詞匯和它們內在的幾何原理。

2感知詞匯

單個2d重復圖案的設計可以使用基本圖形詞匯(如線條和色調)以不同的方式傳達和感知，以便表達設計中固有的幾何形狀和對稱系統。在同一個設計中，線條和色調詞匯的不同應用會產生大量的解讀，從而產生各種各樣的圖案。

在非常基本的層面上，幾何圖案可以被理解為開放或封閉的表面多邊形或線性結構的組合。將色調或顏色引入表面多邊形甚至線性元素是另一種感知方式。另一個例子是通過填充多邊形的圖案-背景反轉，或者通過將線性設計視為平面二維之外的互鎖元素，來增加準三維。本節將探討這些和其他例子，研究視覺感知手段和圖案的內在幾何形狀和對稱性之間的關系。這將為下一節討論對稱和重復系統打下基礎。

2.1表面多邊形

這種解讀承認了二維重復圖案作為表面填充設計的基本性質。該表面被視為封閉多邊形的邊對邊鋪砌(圖1(a))。在某些情況下，開放的多邊形區域在無限的帶狀構型中起到填充空間的類似作用(圖1(b))。

圖1：表面填充多邊形。(a)閉合多邊形；(b)開放的多邊形條帶。

區分多邊形類型的另一種方式涉及多邊形邊緣是彎曲的還是直線的(圖2(a)和2(b))。本研究范圍內的模式大多是直線型的，并且基于閉合多邊形。第三個區別涉及多邊形的內部軸對稱或旋轉對稱(圖2(c)和2(d))。另一個同樣重要的區別是多邊形所基于的幾何比例系統。注意直線和曲線情況下的共同幾何系統(圖2(e)和2(f))。

圖2：多邊形幾何。(a)和(b)曲線多邊形與直線多邊形;(c)內部軸對稱;(d)旋轉對稱;(e)和(f)幾何比例。

每個圖案最終都是由在2d空間中重復的有限數量的基本多邊形類型組成的。這一重要特性在圖3(a)中用與圖1(a)相同的圖形表示。不同類型的多邊形以不同的數量重復，設計中組成多邊形類型的比例作為一個整體變得相關。由于圖案由重復的模塊組成，因此重復單元中每種多邊形類型的出現次數也變得很重要(圖3(b))。

圖3：多邊形類型和重復。(a)基本多邊形；(b)重復單位的多邊形。

2.2實體虛空反轉

當我們能夠將圖案視為充滿空間的表面多邊形時，也就有可能對留下空洞的虛空多邊形進行反向解讀。當填充多邊形和虛空多邊形有序地結合在一個單一圖案的實體虛空中時，這種現象就變得非常有趣。

任何封閉多邊形圖案，如果其填充多邊形的讀法符合交錯規則（見下文 2.4 的解釋），都可以被視為交替的同心多邊形集，遵循圖案背景反轉的開關邏輯（圖 4(a)）。此外，這里還可以構想出實體虛空、黑與白或明與暗的替代主題。同樣的道理也適用于一些基于開放多邊形的帶狀設計，如圖 4(b)。在這個例子中，將深色區域和淺色區域顛倒一下，就能得到同一設計的轉換副本。

圖4：實體虛空。(a)閉合多邊形；(b)開放的多邊形條帶。

2.3基本線性多邊形

這種對幾何裝飾的解讀將設計簡化為二維空間中的直線布局。與填充多邊形相關，線條表示設計的相鄰多邊形表面的共享邊。但是在線性解讀中，我們開始獨立于線條定義的多邊形來感知線條。現在，眼睛可以從某個點開始，沿著一個線性元素穿過不同的多邊形，直到它或者如圖5(a)所示看起來是無限的，或者如圖5(b)所示繞回到它的原點。

圖5：線性解讀。(a)基本線性配置；(b)單一線性多邊形；(c)兩個反射的線性多邊形；(d)兩個相對的線性多邊形。

當整個圖案開始被視為這種線性元素的互鎖網絡時，解讀變得更加有趣，這些線性元素本質上要么是無盡的連續線，要么是閉合的線性多邊形。在許多情況下，單個線性元素的重復，保持相同的取向，如圖5(b)所示，或者具有不同的取向，如圖5(a)和5(c)所示，足以產生設計。在其他情況下，兩個或更多不同的元素起到與圖5(d)中相似的作用。在符合下面解釋的交錯規則的設計中，將圖案視為互鎖的線性元素是特別可能的。

2.4 交錯設計

交錯設計本質上是基于幾何圖案的線性感知，但也體現了表面和質空讀數的特性（圖 6(a1)、(b1) 和(c1)）。當線性圖案中的線性元素開始具有一定的寬度（即線性表面）時，對交錯線條的感知會轉變為對交錯表面元素的感知，這些表面元素的重疊會產生新的設計現實（圖 6(a2)、(b2) 和 (c2)）。如圖 6（a2）所示，這些元素以無限折線陣列的形式重復出現，或如圖 6（b2）所示，以有限的封閉線性多邊形重復出現。這些元素所形成的寬度使它們具有了自己的表面，直到出現難以區分表面和線性設計的時候，如圖 6(c2)。

交錯以一種開關順序的方式工作：如果一個線性元素越過第二個元素，下一次它遇到第三個元素時，它應該穿過它(圖6(a2)， (b2)和(c2))。天橋-地道邏輯可以通過交替顏色系統來強調(圖6(c2))。當在任何一點上不超過2條線相交或交叉時，只能從線性圖案發展成交錯設計。當所有多邊形頂點僅由2或4個多邊形共享時，才能從圖案的填充多邊形讀取中開發出交錯設計;參考圖6(a1)、(b1)、(c1)中的頂點V2、V4。

交錯設計可以經歷前景-背景反轉或被解讀為實體和虛空、黑白或明暗(圖6(a3)、(b3)和(c3))。被分解成有限閉合多邊形組件的交錯元素可以被應用或壓印在背景表面材料上。

圖 6：交錯。(a) 無限交錯元素；(b) 封閉交錯多邊形；(c) 假定最大表面的交錯元素。

2.5 花邊圖案

如果一個線性元素圖案不符合交錯規則，它仍然可以被轉化為所謂的花邊設計，如圖 7(a)和(b)所示。這里的區別在于，線性元素有寬度，但它們只是相互交匯，并沒有交錯。它們不能以上下連續的方式交錯，因為只要至少有一點有兩條以上的線相交或交叉，就足以破壞整個系統，如圖7中V3和V6點所示。

花邊設計可以很容易地從圖案與背景的關系、實體與虛空的關系、黑與白的關系或明與暗的關系中感知。實體與虛空的關系可直接應用于建筑和室內設計元素，如隔墻、用于保護隱私或過濾自然光的窗紗。

圖 7：花邊設計

2.6基本重復單元

這是一種對幾何圖案的解讀，它不太關注單個的多邊形元素，而更傾向于構思更大的設計模塊，通過在二維空間中無休止的重復來產生整體。這包括從單個多邊形的局部對稱性到更大模塊的對稱性的轉變，以及最終到設計整體的全局對稱性的轉變。接下來會對設計的部分-整體結構有一個更清晰的認識。該設計被視為不同基本單元的鑲嵌，每一個基本單元都可以被物理地想象為一個重復的拼塊。

在處理重復時，可以選擇性地考慮圖案的不同屬性：多邊形幾何、表面色調或顏色、隔行或填充細節。除此之外，根據大小、邊界形狀和重復類型的選擇，總是有不止一種方法可以構思相同模式中的重復貼圖。圖8(b)中的模塊C1、C2、C3和C4中，拼塊可以選擇性地縮小到再生圖案所需的最小尺寸。越來越大的拼塊總是可能的。拼塊既可以有一個穿過多邊形的規則邊界，以保持其自身的規則幾何形狀，如圖8(b)所示，也可以有一個遵循多邊形邊緣的不那么規則的邊界，如圖8(c)所示。最后，拼塊可以根據不同的重復系統的先入為的概念來描繪，無論是基于簡單的平移還是其他模式的反射和旋轉對稱，這將在下一節中解釋。

圖8：模塊化重復。(a)2d重復圖案；(b)替代的重復模塊；多邊形拼塊。

重要的是要注意，構思模塊的替代方式將直接影響設計新圖案的方法，并將最終指導旨在覆蓋真實表面的物理拼塊的制造過程。在后一種情況下，最好的拼塊可能是那些邊界不穿過單個多邊形的邊，但仍保持最規則形狀的拼塊。

3對稱的詞匯

在討論感知幾何圖案的替代方法時，我們發現對稱性和幾何學在構成多邊形、重復拼塊以及整體設計的感知區分中起著重要作用。現在是時候更深入地探索以有序的方式實現空間填充的替代方法，即通過組合不同的對稱模式來構思有序的重復系統。

3.1對稱操作

如果一個系統在一次或多次重復操作后保持不變，則該系統具有對稱性。顯然，2d幾何圖案的任何基本單元的重復，無論是線性的、多邊形的還是拼塊狀的，都是基于平移、反射或旋轉。這種過程似乎扮演了對稱操作的角色，因為當平移、反射或旋轉(取決于它首先擁有的對稱類型)時，設計作為一個整體不會改變。

圖9中簡單的2d幾何圖案說明了這個概念。該圖案是無限的，并且基于三角形網格。假設我們在設計的透明副本上突出顯示選定的L形區域P。在基礎圖案上疊加副本后，我們可以用不同的方式將它移動到不同的位置(P1、P2和P3)，同時保持兩個無限圖案完美疊加。滿足此條件的可用移動實際上是特定的線性平移、沿選定的軸翻轉整個圖案或圍繞選定的點旋轉。

圖9：平移、反射和旋轉。

在該特定設計中，平移可以是距離d1或d2的倍數(圖10)。在這兩種情況下，沿著三個不同的軸和沿著每個軸的相反方向的平移都是可能的。如果我們沿著d1或d2以及任何指定的方向移動或復制整個設計或其一部分，它將保持不變。圖11中的反射以不同的方式工作。我們可以沿其翻轉圖案的軸實際上是兩側對稱軸，即鏡像線。請注意，半正六邊形在圍繞選定的垂直軸“m”反射時是如何鏡像的。沿著連接半正六邊形中心的另一個傾斜軸“g ”,也存在一種更復雜的反射。請注意“g”左側的選定三角形是如何被鏡像并轉化為右側的反射圖像的。這種平移和鏡面反射的多重過程稱為滑移反射。

圖10：平移

圖11：反射

因此，反射軸線要么是粗體連續的鏡面線，要么是粗體虛線。仔細觀察就會發現，在這種圖案中，有兩種鏡像線（m1 和 m2）和兩種滑移線（g1 和 g2）構成了反射軸網格。

而旋轉則是圍繞特定的點進行重復，這些點就是旋轉中心（簡稱旋轉中心）。當一個圖案圍繞一個旋轉中心旋轉時，整個圖案保持不變，并因此具有旋轉對稱性。為了說明旋轉對稱性，圖 12 和圖 13 采用了兩種新設計。在圖 12 中，三種不同的旋轉類型并存：2重、3重和 6重。在圖 13 中，可以進行2重和4重旋轉。在任何二維平面圖形中，一般都不可能出現其他n重旋轉。原因在于，只有 2、3、4 或 6重旋轉與無間隙覆蓋平面的重復系統相兼容。這些系統使用的網格主要以矩形、等邊三角形、正方形和六邊形為基礎。

圖12：2、3和6重旋轉

圖13：2重和4重旋轉

雙重旋轉對稱不要與雙向鏡面反射混淆。它包括圍繞2重旋轉中心的180度旋轉，或180度旋轉的倍數。請注意，在圖12和圖13中，突出顯示的填充區域和選定的線性多邊形如何在圍繞指定的2重中心旋轉時重復兩次。屬于這種區域或多邊形的每個點在重復時都經歷相同的180度旋轉。

類似的過程適用于圖12和圖13中的3、4和6重旋轉的情況。在三重旋轉中，設計或其任何線性或平面部分可以圍繞相應的中心旋轉120、240或360度而不被改變。注意，在圖13中，有兩種類型的四重中心4和4’。第一個位于四角星的中心，第二個位于四角萬字的中心。圍繞兩個中心可以旋轉90度、180度、270度和360度。類似地，圍繞圖12中的6重中心旋轉60、120、180、240、300和360度也是可能的。

正如我們在上面看到的，旋轉中心是在一個給定的二維圖形中發生旋轉對稱的特定點。這實際上適用于2、3、4和6重旋轉對稱。然而，如果我們將旋轉360度整圈的一般情況視為1次旋轉對稱，那么這種旋轉可以發生在給定圖案中的任何點，而不是設計中的特定點。因此，一次旋轉在理論上是可能的，并且在表征一組特定的2d圖案時實際上是不可或缺的，正如我們將在下面看到的。在圖示中，一個小的實心圓，以及旁邊的數字2、3、4或6，將標識這些中心(圖14)。

圖14：旋轉中心類型

3.2對稱群

當應用于某個2d設計時，對稱操作的不同組合，即平移、反射和旋轉，可以產生無限多種重復的2d幾何圖案。根據這些對稱運算的類型和組合方法，不同模式的組似乎具有共同的特征。這導致將重復圖案分類成有限數量的對稱組的能力。可能的對稱群的數量是17，這與定義平面對稱的17種可能性的晶體學和對稱群理論一致，該理論首先由俄羅斯科學家費多羅夫分類[4]。平移、反射和旋轉對稱是這些組的核心。沿著平面的不同方向的平移對稱是所有重復圖案所共有的，并且是它們的重復模塊的本質，但是盡管可以根據它們的平移模塊的特征來對圖案進行分類，但是另一方面，旋轉對稱在根據有效覆蓋平面的旋轉過程將這些圖案分為5大類時顯得更通用。這些是1、2、3、4和6重系列(圖15)。當考慮鏡面反射和滑移反射時，這些族出現在不同的子群或對稱群中，總共有17種。

在圖15中，每個對稱群由兩種類型的標簽來標識。第一個簡單地標識了旋轉族及其在族中的順序(例如2a或4c)。第二種類型更為復雜，總結了旋轉中心類型、反射鏡和滑移(如果有的話)，以及旋轉中心與反射鏡或滑移之間的相對位置。一個例子是4|mg4 ' |2，其中4和4 '是兩個4重旋轉中心，“2”是唯一的2重旋轉中心；畫線是因為它在鏡像線上。4′和4′后的垂直線符號表示這些中心屬于滑移線。字母m和g在4和4 '之間表示4和4 '互為鏡像和滑移鏡像。

因此，就重復的對稱系統而言，只有17種感知2d幾何圖案的方式。由于它們的豐富性和無限的多樣性，伊斯蘭幾何圖案似乎是17種對稱類型中的大多數，如果不是全部的話。

圖15：17種不相容對稱群

3.3 圖案制作中的應用

利用幾何工具和對稱結構可以分析伊斯蘭文化中的歷史裝飾圖案，并為新圖案的制作制定設計規則和策略。在這篇短文的最后，我將根據對稱群理論和重復模塊詞匯簡要說明一些幾何圖案的生成過程。首先，讓我們區分一下三種類型的重復模塊：重復單元、單元格和線性單元格。

重復單元是圖案中最小的平行四邊形（包括矩形和正方形）或六邊形部分，當它在平面的兩個方向上有規律地平移時，可以再現整個二維圖案（圖 16(a) 和 (b)）。單元格是重復圖案中最小的表面部分，它可以在一個或多個平移、反射或旋轉的對稱操作下生成整個圖案。這就是上述六邊形和正方形中突出顯示的三角形區域。線性單元格是線性重復圖案的最小部分，可以在平移、反射或旋轉的情況下生成整個設計。這些是單元格內的線段。

可以選擇不同的幾何系統來構建六邊形或正方形重復單元，如圖16(a)和(b)中左欄所示[5]。然后，通過在晶格內的幾何結構的選定線上描摹來創建線性晶格設計。然后，根據平移、反射和旋轉的特定規則，在重復單元內重復產生的設計；圖16(a)中的6重旋轉和圖16(b)中的4重旋轉。最后，為了產生圖16(a)和(b)的右欄中的完整圖案，使用平移再次細化重復單元設計，為了方便起見，這里以一半比例示出了這些圖案。

重復單元內的替代幾何系統的構建，以及模塊化重復過程的自動化可以容易地由計算機軟件支持，如圖16中的情況。計算機甚至可以探索選擇線性晶格設計的無限可能性[6]，[7]。但是，這個過程中需要智能人工干預的部分，是從無限的可能性中，選擇出那些產生最有創意但最實用的設計的可能性。試錯或某種有根據的猜測可能會出乎意料地帶來好結果。

最后，盡管古代和中世紀的工匠或數學家很可能完全不知道對稱群的概念，即使傳統工匠不可能在裝飾學科中吸收晶體學理論，晶體學分析的方法仍然是一種對歷史實例進行感知和分類的方便手段，也是制作新設計藝術的一種非常有前途的方法。未來的重點應該是制定規則和準則，作為設計工具，指導學生、工匠甚至參與新設計生產的行業。

圖16：幾何結構系統和模塊化重復。(a) 6重圖案；(b) 4重圖案。

參考文獻

[1] Grabar, O., The Formation of Islamic Art, Yale University Press: New Haven and London, 1987.

[2] Ardalan, N. & Bakhtiar, L., The Sense of Unity: The Sufi Tradition in Persian Architecture, The University of Chicago Press: Chicago and London, 1975.

[3] Critchlow, K., Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological Approach, Schocken Books: London, 1976.

[4] Grunbaum, B., Grunbaum, Z. & Shephard, G.C., Symmetry in Moorish and other ornaments. Computer and Mathematics with Applications, 12B(3/4), p. 641, 1986.

[5] El-Said, I. & Parman, A., Geometric Concepts in Islamic Art, World of Islam Festival Publishing Company Ltd: London, 1976.

[6] Dwedny, A.K., Computer recreations: imagination meets geometry in the crystalline realm of latticeworks. Scientific American, 258(6), pp. 120–123, 1988.

[7] Lalvani, H., Pattern regeneration: a focus on Islamic jalis and mosaics. The Impulse to Adorn: Studies in Traditional Architecture, ed. S. Doshi, Marg Publications: Mumbai, p. 133, 1982.

[8] MOHAMAD NASRI, THE VOCABULARY OF PERCEPTION AND DESIGN OF ISLAMIC GEOMETRIC PATTERNS

青山不改，綠水長流，在下告退。

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