相似三角形的判定教學反思

人教版數學九年級下冊第27章《相似》27.2.1相似三角形的判定第1課時，建立在前一小節“圖形的相似”基礎上，學生在課前應該了解了相似的概念，以及相似多邊形定義，在學習本課之前，對于成比例線段也有一定理解，因此教學目標是類比全等三角形的判定，探索相似三角形的判定方法，即利用平行線判定相似；

平行線分線段成比例定理，通常也稱相似判定的預備定理，在本節課中非常重要，也是本節課重點之一，而利用預備定理證明相似三角形的判定定理則是本節課難點。

一、學習方法遷移

之所以要把相似三角形的判定與全等三角形的判定進行類比，是因為我們在探索三角形全等的判定方法時，也是經歷了由定義出發，三個角對應相等、三條邊對應相等的三角形，減配到只需要三個條件即可判斷全等；在相似三角形判定中，我們依然是通過前面的定義知道三個角對應相等、三條邊對應成比例的三角形，探索如何減配到更少的條件。

事實上在教材一開始，就通過“k=1”這個環節建立了全等和相似間的關系，如下圖：

所以這一部分遵循由全等到相似，是符合教材要求的教學思路。

當然方法的遷移是否成功，并不完全取決于本節課，如果在學習三角形全等的時候，對概念或定理的理解不透徹，則方法的遷移便沒有了源頭，那這個環節便會落空。

所以說，在八年級學習全等三角形判定的時候，我們究竟是教的解法還是方法，此處一試便知。

二、為什么要從平行線開始探究？

由方法遷移講到平行線分線段成比例，這個過渡非常突兀，至少在我聽過的公開課，或自已的課堂上，總感覺沒有任何關聯就直接開始探究平行線與兩條截線的問題，但事實上，平行在相似三角形判定前是有先兆的。

這一切得從學生畫圖開始，我們在前面給學生的展示相似圖形的時候，有意無意地將這些圖形“平移式”擺放，這從視覺上就得到了對應邊是平行線，因此隱約感覺這二者間存在關系。

在第29頁探究中，學生作圖非常有必要，因為涉及到后面的測量與計算，不同的學生作平行線間距不會相同，更具一般性。

按七年級學習平行線的“三線八角”方法，規定三條平行線被兩條直線所截，則直線l1和直線l2是截線，用不同顏色標注，讓學生先觀察在這兩條截線上，三條平行線構造了幾個交點，進一步觀察在每一條截線上，這些交點構成了幾條線段。

如果我們用左、右截線分別代表直線l1和l2，用圖中的位置來命名，則得到了左上線段AB、左下線段BC、左全線段AC、右上線段DE、右下線段EF、右全線段DF總共6條線段。

引導學生觀察它們的對應關系，自然就有AB與DE、BC與EF、AC與DF為三組對應線段。在左截線上先測量一組線段AB、BC，計算它們的比值，再在右截線上測量另一組線段DE、EF，計算它們的比值，由于學生測量可能存在誤差，如果貿然發問，比值相等嗎？極有可能得到不同的答案，所以不急著去公布結果，而是在學生測量并計算完畢之后，用更精確的方式——幾何畫板來進行測量與計算，從而讓學生認知到自已的測量是有誤差的，應該關注誤差背后的真相。

由于每個學生作圖的平行線間距不同，因此小組內或同桌相互交流一下結果，即可達到“任意平移l5”的目的。

探究中的最后一個問題，其實不再需要測量了，利用好第一次測量的結果，用推導的形式，可能更多一點數學味道。至此，平行線分線段成比例定理基本成型，教材在30頁給出了歸納文字，如下圖：

我們在規范書寫時，也可以讓學生養成把左截線上的線段寫等號左邊，右截線上的線段寫在等號右邊，從而更強化“對應”的理解。總體來講，我們可以得到左上：左下=右上：右下，左上：左全=右上：右全，左下：左全=右下：右全三類比例線段。如果考慮到比例性質，交換比例內項、外項，事實上得到的比例式會更多。

我們將兩條截線中的一條，例如右截線，進行平移，當它經過A點或B點時，又得到兩個新的圖形，如下圖：

這就和教材上30頁的圖27.2-3對應上了，如下圖：

在平移過程中，很容易理解其中存在的平行四邊形，因此線段DE=AG=IB，EF=GH=BJ，DF=AH=IJ，再去理解教材上的兩個圖，就簡單多了。

但始終提醒學生，我們目前得到的成比例線段，均存在于截線上，不在平行線上，給后面定理的證明埋個伏筆。

三、由平行線到三角形

將多余的線條擦掉，就得到相似三角形的兩個基本圖形，A型和X型，如下圖：

此時截線為AB和AC或它們的反向延長線。

選擇其中一個圖進行后續證明，即教材上的思考，如下圖：

教材關于這個思考的提示語其實非常重要，按這個提示的思路也是這個問題的最優解，沒有之一，若是不管不顧，確實浪費。

首先是直覺，也就是幾何直觀，去發現△ADE∽△ABC，然后通過相似的定義去證明，即證明6個條件，三個角對應相等，三條邊對應成比例，這顯然很麻煩。

注意教材上的引導“除DE外，AE、AC、BC都在△ABC的邊上，因此只需要將DE平移到BC邊上去，使得BF=DE”，如果繼續追問，為什么要將DE平移到BC邊上呢？

我們從這一點出發深入探究，前面反復強調過，成比例線段均位于兩條截線上，那么在上圖中，若以AB、AC為截線，那是無論也得不到DE這條線段的，所以我們需要轉換，讓DE和BC中的某一條成為截線，用新的平行線去截它們，這就有了構造新平行線的需求，從哪里作，過點D或過點E均可以，并不拘泥于教材。

以教材圖為例，過點E作EF∥BC，現在截線變成了BC和AC，在選擇成比例線段時，需要留意原有條件，盡可能讓關聯更順暢，已有成比例線段是AD:AB=AE:AC，對于等號右邊的AE:AC，我們在新的平行線EF∥AB所截出的線段中，可以找到AE和AC的對應線段，分別是BF和BC，于是可得AE:AC=BF:BC，最后利用平行四邊形BDEF轉換BF=DE即可。

于是得到了本節課的判定相似的第一個定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

順便拓展一下，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。

四、對學生的評價及反饋

在突破本節難點——定理的證明之后，對于截線的強調在學生理解為什么要作平行線起到了很大作用，前面的鋪墊快不得，學生在經歷前面的探究之后，若能理解“左上左下左全，對應的是，右上右下右全”則在定理證明中，將圖形看作是整體向左旋轉的“A”型，則立刻采用上述方式去尋找成比例線段，找到解決方法更快。

在新課標和教材中，淡化了對于比例式的變形要求，雖然沒有刻意去講，但這些比例變換本質上也是分式性質、等式性質的延伸，理解起來并不困難，在后續教學過程中，少數學生能自行領悟，不宜提出過高要求。

課堂練習選擇教材上的兩道題，如下圖：

第1題可以直接用本課前面的預備定理，AG+GD=AD，它的對應線段是BC，同時DF的對應線段是CE，over；

第2題是對判定定理的直接運用，在學生腦子里建立“平行”與“相似”間的強關聯，并計算相似比。

相似三角形的判定定理一，是后面所有判定定理的出發點，這也是我們在探究相似三角形判定方法過程中，最稱手的工具，用它能發現更多判定相似的新工具，這和我們在學習全等三角形判定時，采用的解決問題的思路如出一轍。當然，按教材要求，后面的判定定理并不要求學生去證明，但至少要懂得證明它的思路，知道該如何去想，即知道解決問題的方法。