妙用隱圓

2024年西城區九年級數學第27題

我們在學習圓的概念時，通常會給出圓的兩種定義，第一種是描述性定義，在人教版數學九年級上冊第79頁，第二種是集合性定義，在第80頁，如下圖：

其實在處理教材上“你能說出圓是如何畫出來的嗎？”的時候，就是在引導學生用圓去理解現實世界，這節課中這個環節是否有效，準確點說，是否長效，就看未來學生解題過程中，能否想到用圓去理解所見到的幾何圖形，即構圓法。

能夠構造圓的幾何圖形結構很多，初中階段，以定義去構建圓的方式，教材中也有，如下圖：

很巧的是，這個例題同樣在第一節新課中，它實際上告訴學生的是，利用矩形對角線相等且互相平分，可以得到對角線交點到四個頂點距離相等，所以由矩形想到圓，經歷的是“到定點的距離等于定長”。

而在我們學習了圓周角之后，又多了一個稱手的工具來構造圓，如下圖：

圖中這些直角三角形都有一條公共斜邊，我們取它的中點O，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，仍然可以構造出圓，這比起單純利用矩形，更具普遍性（事實上矩形也可以看作是兩個直角三角形，對角線的一半也是斜邊上的中線）。

當然，除了教材上的這些基本方法，我們還有“對角互補的四邊形四個頂點共圓”、“同側共底三角形頂角相等法”等，不過個人認為，構圓，還是要從定義開始。

2024年西城區九年級數學期末第27題，構圓，可作為檢驗概念理解的標準，圓用得妙，題目難度就不會高。

題目

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CM⊥AB于點M.點P在射線CM上，連接AP，作CD⊥AP于點D，連接MD，作CE⊥MD于點E，作DF∥AB交直線CE于點F，連接MF.

(1)當點P在線段CM上時，在圖1中補全圖形，并直接寫出∠ADM的度數；

(2)當點P在線段CM的延長線上時，利用圖2探究線段DF與AM之間的數量關系，并證明；

(3)取線段MF的中點K，連接BK，若AC=8，直接寫出線段BK長的最小值.

解析：

01

(1)觀察圖中△ACM和△ACD，它們是共斜邊的直角三角形，不妨取AC中點O，以AC為直徑作圓，如下圖：

由圓的定義可知A、C、D、M四點共圓，此時∠ADM=∠ACM=45°；

02

(2)在備用圖作圖如下：

由前一小題的探究結果，以AC為直徑的圓O經過A、D、M、C四點，于是∠CDE=∠CAM=45°，再加上∠AED=90°，又得到新的等腰Rt△CDE，觀察△DEF與△CEM，它們有一條邊相等DE=CE，還有一個直角，只差一個條件即可全等；

由DF∥AB，可得∠BME=∠FDE(同位角)，而∠BME+∠CME=90°，∠CME+∠MCE=90°，于是可得到∠FDE=∠MCE，所以可證△DEF≌△CEM，所以DF=CM，而CM=AM，故DF=AM；

03

(3)先按要求作圖觀察，如下圖：

由于我們在前一小題已經證明過DF=AM，而AM=BM，所以很容易得到DF=BM，再加上DF∥AB，所以可以構建一個平行四邊形BMDF，并且FM是對角線，K是其對角線中點，如下圖：

所以我們可以知道BK是BD的一半，問題轉化成BD長度何時最短；

對于線段BD，端點B是固定的，另一個端點D在圓O上，因此當B、D、O三點共線時，BD最短，如下圖：

此時△BOC中，可求出OB=4√5，而OD=4，因此BD長為4√5-4，所以BK最小值是2√5-2.

解題反思

學生按題目上要求作圖是第一步，也是最基礎的步驟，通常情況下學生能作出下圖：

通過初步觀察，可發現等腰Rt△ABC，三個直角∠CED、∠ADC、∠AMC(或∠BMC)，均為題目直接給出；

進行初步推導，可進一步得到AM=BM=CM，△APM∽△CPD，AC=√2AM等；

此時絕大多數學生并未想到隱圓，直到觀察到△ADC和△AMC共斜邊這個突破口，因此學生讀題時，初步觀察和初步推導，都是建立在直接得到或一步推導基礎之上，這也是幾何綜合題分析的準備工作，接下來就是建立前面各結論之間的關聯，也是幾何綜合題重點考查的學生能力，也是區分中等生和學優生的重要參考，一般而言，中等生會在建立各結論關聯上耗費較長時間，并且不易成功，或者思考方向出現偏差，例如有學生總是糾結于題目中的若干對相似三角形，并苦苦尋找它們相似的條件，猛然發現，第一小題的結論與它們并無關系，白白浪費了不少時間，這對于一次考試是不可原諒的時間損耗。

那么，那些成功聯系到隱圓的學生，又是如何思考的呢？在學習圓概念的過程中，真正理解了到定點的距離等于定長，在觀察到直角三角形之后，特別是兩個共斜邊的直角三角形，并未將這條信息作為“不重要”的思維備份，而是繼續在“共斜邊”上多思考了一點點，正是多了這一點點，思維格局一下子就打開了。

于是我們回到當初學習圓概念的第一節課上，反問自已，這節課，我講清楚了嗎？學生學明白了嗎？作為老師，是否成功將圓的概念植入學生大腦中了，或者說，是否成功讓學生“生長”出了圓的概念？

因此，我們研究幾何綜合題的解法，最終目的是為了回歸到課堂教學中，去思考如何組織教學，才能讓學生有最大收獲，從而在解題過程中少遇到障礙，雖然這個過程“慢”，卻是我認為學會數學最快的“捷徑”。