兩圓導角證垂心

2024年仙桃高中招生考試數學卷第22題

中考壓軸題對于兩個圓的題型較為少見，畢竟兩圓位置關系在新課標中并沒有明確要求，然而實際命題中，并非出現了兩個圓，就一定要用到兩圓位置關系，所以圓的數量不是硬性規定，也不必一見兩圓就認為超綱。

存在兩個圓的前提下，特別是兩圓相交時，一個圓中的圓周角，是如何等于另一個圓中的圓周角的，需要仔細觀察，那些“跨越”兩圓的線，一定是研究的重點。

題目

如圖，圓O1與圓O2交于A、B兩點，AC為圓O1的直徑，D為弧BC上一點，直線CD，AD分別與圓O2交于點E，H，HE的中點F在直線BC上，證明：H為△ACE的垂心.

解析：

01

在圓O1中，AC是直徑，所以∠ADC=90°，即AD已經成為△ACE的一條高；

我們連接CH，只要能證明CH⊥AE，則點H必然是垂心；

連接CH之后，我們延長CF，交圓O2于點G，使它看上去有點像“中線倍長”，但到底是不是，能否構造出相應的全等三角形，值得嘗試，如下圖：

在圓O1中，∠BCD=∠BAD，在圓O2中，∠BAH=∠BGH，所以我們得到∠BCD=∠BGH，順便得到CE∥GH，發現圖中△CEF≌△GHF，于是CE=GH，得到平行四邊形CEGH，這需要連接EG；

由于AC是直徑，我們還能得到∠ABC=90°，即∠ABG=90°，轉到圓O2中，AG一定是它的直徑，不妨連接AG，如下圖：

在圓O2中，∠AEG=90°，即EG⊥AE，而平行四邊形CEGH中，CH∥EG，所以CH⊥AE，說明CH是△ACE高的一部分，即兩條高交點為H，所以它是△ACE的垂心；

解題反思

我在思考這道題的時候，還是走了不少彎路，首先是對點F是EH中點的條件百思不得其解，究竟它有什么用，第一眼確實沒看出來，倒是∠ADC=90°可以輕易得到，也就是解析中的突破口，只要證明CH⊥AE即可；

于是便在AE與圓O1交點耗上了，將它與點C連接后，想證明點H在這條連線上，結果可想而之，不了了之，畢竟證明點在線上，難度較高；

真正找到突破線索是在題目中“中點F在直線BC上”，想嘗試一下中線倍長構造全等，果然一下子就成功了，后面推導出平行四邊形之后，思路就很順暢了。

于是思考，如果是學生在解這道題，會不會也和我一樣卡在理解中點F的作用上呢？

我覺得大概率會。

學生是老師教的，老師平時解題時的思維習慣，是會傳染給學生的，尤其是在中等生身上，體現最為明顯，所以在解題過程中的情感、態度、價值觀，也一并傳遞了下去。

作為高招考試題，本題難度較高，適合平時對幾何概念理解較深刻的學生，給學生做這道題，最好老師在一旁“觀戰”，去看看學生的思維，也方便獲取學生思維的第一手資料，這就是備學情。