女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文深入探討數學與新思想之間的朦朧地帶。這看似毫無道理，因為乍一看，數學與靈性之間很難有重疊之處。然而，至少對某些藝術家來說，這確實令人振奮。

新時代的數學

新時代的信徒喜歡各種圖案。他們喜歡的圖案之一是由半徑相同的圓形重疊而成，圍繞中心圓排列。根據他們看到的形狀，他們稱之為 "生命之花"、"生命之種"、"生命之蛋"、"生命之樹 "或 "生命之果"。"生命之花"一詞最早是由 Drunvalo Melchizedek 在其《生命之花的古老秘密》（1999年）一書中使用的，該書的封面圖案就是生命之花。

這種圖案出現在不同的文化中，從達芬奇到Coldplay等許多藝術家都曾使用過（圖22.1）。塞浦路斯的古希臘人似乎是第一個使用這種圖案的人，因為在伊達里昂發現了一個公元前 8-7 世紀的碗，中間有一個圓弧圖案。不過，他們的競爭對手是現在伊拉克北部城市 Dur Sarrukin 的亞述人，他們早在公元前7-6世紀就在這里繪制了生命之花。羅馬人經常使用這種圖案作為裝飾，伊斯蘭和哥特藝術家也描繪過這種圖案。到了近代，在教堂的窗戶裝飾中，甚至在小型教區中，仍然可以看到這種圖案。在中國，重疊的圓圈是重要建筑入口處獅爪下的球形圖案。

圖22.1 Jan Detavernier的裝置作品Entrophi在水中有一個對稱的部分。雖然看不見，但通過水面的反射，可以想象出整個結構。

也許任何收到過尺子和圓規文具套裝的人都玩過這種圓形圖案。從一個圓開始，從該圓上的一個給定點測量其半徑六次。圍繞這些點繪制六個半徑與初始圓相同的圓。總共有七個圓圈。當圓以相同的方式添加到這六個圓上時，從它們的交點開始，這樣就多了12個圓。現在總共將有19個圓圈。這種結構可以用同樣的方法擴展到37圈甚至更多。它們的數量符合公式n^3-(n-1)^3（圖22.2）。

圖22.2生命之花

這個令人肅然起敬的圖案可以用來做什么數學題呢？當然，它有助于獲得繪制柏拉圖五種正多面體的參考點：四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體。盧卡·帕喬利（Luca Pacioli）在閱讀歐幾里德著作的基礎上，在他的《神圣比例》一書中寫到了這一點，并請達芬奇（Leonardo da Vinci）為該書繪制插圖。這些插圖之美引發了一種多面體狂熱，這種狂熱一直持續到今天（圖 22.3）。

圖22.3 用生命之花繪制的四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體

帕喬利的神圣比例，即數字1.618......，后來被稱為黃金分割，如上所述，現在經常被記為 φ。關于黃金分割的這些誤解和其他誤解將在本書的其他部分進行討論。這里給出的兩幅圖說明了新時代的一些更有趣的說法：坐在邊長為 2 的正方形底座和 "φ "符號的金字塔下可以改善祈禱或學習；"φ "符號將代表 "虛空 "的 "o "和代表 "神圣統一體 "的"1"結合在一起（圖 22.4）。

圖22.4 “神圣金字塔”和黃金分割的神圣解釋

回到"生命之花"，人們也可以從中獲得一些計算上的樂趣，把 1 到 48 的數字放在其中，這樣在某些圓圈中和圓圈的某些部分中的所有數字之和總是 294（見插圖中的彩色部分）。這不是 "魔方"，而是印度數學家納拉亞那·潘迪塔（Narayana Pandita，1325-1400 年）創造的 "魔法蓮花"。它出現在他的著作《Ganita Kaumudi》（《數學的月光》，1356 年）中。這一印度起源非常符合新紀元的思維定勢，這的確很神奇（圖 22.5）。

圖22.5納拉亞娜·潘迪塔的神奇蓮花：彩色區域的數字加起來都是294

這肯定不是高等數學，但數學家們可以為人們在精神追求中求助于幾何或算術而感到榮幸，這確實是許多人的共同追求。比利時藝術家揚·德塔弗尼爾（Jan Detavernier）對"生命之花"情有獨鐘，他制作了一臺滴水機，用電腦控制水滴從高處滴落在平整的水面上，水滴的波紋描繪出一朵朵生命之花。Detavernier 解釋說，"通過一些附加的音樂和燈光效果，他的裝置《Drops》將觀眾帶入'幾何創世紀的氛圍中'，'圓的幾何芭蕾'（圖22.6）。

圖22.6 Jan Detavernier 的裝置作品Drops

四面體

新時代也有制造3D的生命之花的方法，但這需要更多的解釋。從四個四面體開始，用它們組成一個四面體，將其中三個四面體的邊兩兩對齊，其中一個頂點是公共的，也是兩兩對齊，然后將其中一個四面體放在這三個四面體的上面。在第一個四面體的旁邊和上面倒置四個類似的四面體組。在剩下的空間里再放三個。第一步有4個小正四面體，下一步有20個，最后一步有32個（圖 22.7）。

圖22.7 4、20和32四面體

現在，再次從四個四面體組開始，以類似的方式將三個四面體組緊挨在一起，再將一個四面體組放在頂部，形成一個更大的四面體組。這不禁讓人聯想到所謂的謝爾賓斯基結構。再取一個這樣的大結構，將其翻轉過來，放入第一個結構中。第一個結構有4 × 4個四面體，加上倒置的四面體中的16個，又有32個四面體。最后，將整個結構插入前面的32個四面體中，就得到了64個四面體的形狀（圖 22.8）。

圖22.8 16、32和64四面體

接下來，請看俯視圖，就好像初始四面體站在水平面上。頂點與生命之花完全吻合。當然，有些圓的交點與投影的任何一點都不對應，但這并不影響一個優秀的新時代人（圖 22.9）。

圖22.9 64個四面體結構的俯視圖；線視圖；生命之花上的同一線視圖

用正方形覆蓋64個四面體結構的某些部分，就得到了立方八面體。它是由八個三角形面和六個正方形面組成的阿基米德實體。建筑師巴克明斯特·富勒（Buckminster Fuller）非常喜歡這種結構，這可能是因為他找到了一種方法，可以將正方形折疊起來，只留下八個三角形，形成一個八面體（圖 22.10）。

圖22.10 64四面體結構，覆蓋有額外正方形的相同結構，以及立方體八面體

富勒還用他那典型的行話，將“環形流”賦予了立方八面體。人們可以說這是詩意的語言，也可以說這是晦澀的語言，這取決于人們對這類說法的欽佩或厭惡程度。無論如何，一個變形的環繞著長方體，不管這意味著什么。新時代的人將其視為“能量流”，并稱其中心為“奇點”（圖22.11）。

圖22.11 環繞變形環的立方八面體、環形本身，以及帶有變形環的原始64四面體結構

上面提到的藝術家Jan Detavernier被這種詩意的幾何圖像所打動，制作了一個他挑釁性地稱為Entrophi的裝置。該構造是64四面體結構的3D模型。它在水中有一個看不見的對稱部分，但由于水面的反射，整個結構可以想象出來。為了模仿環形流，他在頂部安裝了噴泉。這件藝術品于2020年在比利時梅嫩展出（圖22.12）。

圖22.12 揚·德塔弗尼爾的環形流四面體

空間疊加

當我第一次看到64四面體結構時，我并沒有被環形流動或與生命之花的聯系所深深打動，更多的是被四面體的堆疊過程所打動。當然，將立方體堆疊在彼此的頂部、前面和后面，并將它們推在一起，可以不留任何間隙地填滿整個空間——只要想想堆滿紙板箱或啤酒板條箱的倉庫就知道了。它們可能有一些矩形面，因此不一定是立方體，但它們的面相互垂直，所以它們堆疊得很好，就像立方體一樣。

很明顯，那么四面體呢？64正四面體形狀中的正四面體是否表明可以只用正四面體來填充空間？亞里士多德（公元前384-322年）是這樣認為的。他是與蘇格拉底和柏拉圖齊名的偉大希臘古典哲學家。他被稱為第一位“普世之人”，對當時已知的幾乎所有科學都感興趣，包括數學。在他的著作《論天》（De Caelo）中。亞里士多德指出：

眾所周知，在所有多邊形中，有三個圖形填充了它們所在的平面：三角形、正方形和六邊形；而在所有空間體中，只有兩個，即四面體和立方體。

1800年來，亞里士多德文本的注釋者不遺余力地證明這位偉大的希臘學者是正確的，直到德國人雷焦蒙塔努斯（1436-1476 年）意識到，在堆疊正四面體時，無論如何堆疊，總會有一些剩余空間。畢竟，兩個面之間的夾角約為 70°31.7...'，如果將 5 個面圍在一條公共邊上，就會剩下約 360°- 5 × 70°31.7...' = 7°21'。這是一個很小的角度，在用石頭或木頭制作四面體時很難注意到這個角度。也許亞里士多德是根據"經驗"觀察得出結論的，但從理論上講這是不正確的（圖 22.13）。

圖22.13 一個四面體和五個四面體，沒有填滿空間

那么，64四面體結構是怎么回事呢？仔細觀察就會發現某些四面體之間存在八面體空間。四面體和八面體合在一起確實可以填充空間（圖22.14）。

圖22.14 將上述 64 個四面體結構前面的藍色金字塔移除后，可以看到其中有一個八面體孔（下圖第二和第三列）。此外，在將其轉化為立方八面體時添加的每個正方形上都有四個金字塔，每個金字塔都可以補全為一個八面體（上圖第二和第三列）

雖然用一種形狀的棱柱磚就足以砌墻，但如果想用四面體砌墻，就必須使用兩種形狀的棱柱磚。不管把四面體放在八面體上會不會產生滑動效應，提出四面體和八面體結構似乎確實很有趣，當然也很新穎（圖 22.15）。

圖22.15 八面體和用四面體和八面體磚砌成的墻

從結構上看，四面體無疑是最堅固的，因為它只由等邊三角形組成，不會變形，而正方形或長方形則很容易坍塌。我們會很快看到四面體和八面體磚嗎？

青山不改，綠水長流，在下告退。

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