女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文著重于建筑表面的鑲嵌、密鋪和編織。這三個(gè)過程會(huì)讓覆蓋平面的連接形狀的出現(xiàn)幾何圖案。在建筑中，這種技術(shù)通常用于為地板、墻壁或天花板創(chuàng)造更耐久或防風(fēng)雨的飾面。但它們也提供了一種裝飾表面的方法，以獲得美學(xué)、詩(shī)意或象征性的結(jié)果，其中一些被用來喚起特定的數(shù)學(xué)屬性。本文概述了建筑拼塊的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)了與數(shù)學(xué)的重要聯(lián)系。建筑實(shí)例從簡(jiǎn)單的新石器時(shí)代編織和石頭切割實(shí)踐到二十世紀(jì)末主要公共建筑中的不定期覆層系統(tǒng)。這一章也提到了過去對(duì)建筑中貼磚的研究以及過去已經(jīng)研究過的主要主題。

介紹

Nikos Salingaros (1999)認(rèn)為，縱觀歷史，圖案提供了建筑、數(shù)學(xué)和社會(huì)之間的基本聯(lián)系。人類的思維不僅被吸引去識(shí)別自然和社會(huì)中的圖案，還被吸引去開發(fā)新的圖案，并可視化地表現(xiàn)它們，以理解它們的應(yīng)用或結(jié)果。Salingaros認(rèn)為，在最基本的層面上，這種對(duì)圖案制作和識(shí)別的社會(huì)文化親和力“解釋了視覺圖案在人類傳統(tǒng)藝術(shù)和建筑中的普遍性”(1999: 76)。他甚至認(rèn)為密鋪、鑲嵌或編織的幾何排列是社會(huì)中數(shù)學(xué)的“可見端倪”(Salingaros 1999: 76)，提供了抽象概念及其實(shí)際應(yīng)用之間的重要聯(lián)系。從某種意義上說，即使是建筑中最基本的拼塊圖案制作也很重要，因?yàn)樗砹藬?shù)學(xué)和世界之間的實(shí)用和詩(shī)意的聯(lián)系。但是對(duì)于Salingaros (1999)來說，這些基本的幾何圖案曾經(jīng)是維持這種聯(lián)系的關(guān)鍵，但并不總是被慶祝或尊重。例如，在20世紀(jì)上半葉，他提出現(xiàn)代主義建筑師貶低了拼塊的作用，從那時(shí)起，大多數(shù)建筑師要么忽視了它，要么忘記了它的潛力。現(xiàn)代主義建筑師貶低鑲嵌的原因?yàn)榻ㄖ熀蛿?shù)學(xué)家對(duì)鑲嵌的態(tài)度差異提供了一個(gè)有趣的視角。

20世紀(jì)初的幾十年間，現(xiàn)代建筑運(yùn)動(dòng)在歐洲和美國(guó)蓬勃發(fā)展，對(duì)大型雕塑造型、功能表達(dá)和機(jī)械化生產(chǎn)情有獨(dú)鐘（Ostwald和Dawes，2018年）。因此，現(xiàn)代主義建筑師傾向于珍視混凝土、鋼材和玻璃等不需要應(yīng)用飾面的材料，他們還呼吁摒棄一切裝飾和裝潢。例如，阿道夫·盧斯（Adolf Loos，1998年）等歐洲建筑理論家拒絕拼塊，理由是拼塊不衛(wèi)生（有太多不必要的接縫）、有社會(huì)偏見（因?yàn)樗枰囟A層的工匠）和文化低劣（因?yàn)榉侵藓蛠喼薜脑蓟虿柯渌囆g(shù)中經(jīng)常使用幾何圖案）。

現(xiàn)代主義建筑師認(rèn)為唯一可以接受的鑲嵌圖案是大規(guī)模工業(yè)制造的副產(chǎn)品。因此，使用預(yù)制構(gòu)件制作的簡(jiǎn)單直線網(wǎng)格或“堆疊”圖案被認(rèn)為是“誠(chéng)實(shí)”，因?yàn)樗w現(xiàn)了材料的基本特性（圖 1）。標(biāo)準(zhǔn)的“拉伸”粘結(jié)拼塊排列被認(rèn)為是“功能性的”，因?yàn)槠渲丿B圖案增強(qiáng)了其結(jié)構(gòu)特性（圖 2）。然而，“人字形”圖案則被認(rèn)為是“不誠(chéng)實(shí)的”，因?yàn)檫@種材料是用來達(dá)到裝飾效果的，因此在道德上是不光彩的（圖 3）。從數(shù)學(xué)意義上講，這三種鑲嵌——堆疊、拉伸和人字形——都有些微不足道。事實(shí)上，它們都可以用完全相同的部件或拼塊拼成，而且都能有效地覆蓋一個(gè)表面。但對(duì)于現(xiàn)代主義建筑師或理論家來說，圖案的選擇還必須考慮到倫理、道德或象征意義。

圖1：堆疊圖案

圖2：拉伸或流動(dòng)圖案

圖3：人字形圖案

雖然詳細(xì)分析早期現(xiàn)代派對(duì)圖案制作的態(tài)度不在本文討論范圍之內(nèi)，但它們確實(shí)讓我們了解到這一主題的復(fù)雜性。對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，可以用代數(shù)或算法符號(hào)來表達(dá)鑲嵌，也可以用幾種相關(guān)的方法對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行分析或分類。對(duì)于建筑師來說，拼塊或圖案表面必須適合場(chǎng)地的環(huán)境條件、建筑物的功能和預(yù)算。此外，圖案還可能喚起社會(huì)或文化屬性，象征價(jià)值觀或傳達(dá)特定信息。令人啼笑皆非的是，與數(shù)學(xué)發(fā)展聯(lián)系更為緊密的，正是建筑拼塊的后一種更具美學(xué)或詩(shī)意的特性。事實(shí)上，在20世紀(jì)的最后十年，人們對(duì)建筑中的復(fù)雜密鋪重新產(chǎn)生了興趣，這種興趣一直持續(xù)到今天。

盡管人們對(duì)貼磚的態(tài)度不斷變化，但最近一個(gè)用于分類建筑與數(shù)學(xué)之間聯(lián)系的框架將“表面銜接”確定為貫穿建筑史的一貫主題。表面銜接被定義為“使用數(shù)學(xué)來有效或可控地覆蓋一個(gè)確定的平面”（Ostwald and Williams 2015: 40）。這一類別包括“根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或直覺得出的實(shí)現(xiàn)防水或防風(fēng)[......]表面的方法”，以及使用幾何拼塊“實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的圖案表面覆蓋”（40）。這些定義包含了拼塊在建筑中的實(shí)用和美學(xué)意義。不過，在本文中，我們只是簡(jiǎn)要地討論了鋪貼的實(shí)用性，因?yàn)榻ㄖc數(shù)學(xué)方格之間一些最有趣的聯(lián)系往往是設(shè)計(jì)師從數(shù)學(xué)的特殊發(fā)展中獲得靈感而產(chǎn)生的。

本文介紹了建筑環(huán)境中拼塊鋪貼的歷史背景，并概述了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的平行發(fā)展。不過，在繼續(xù)討論之前，有五點(diǎn)注意事項(xiàng)必須說明。首先，本文討論的大多數(shù)“建筑”實(shí)例都是室內(nèi)或室外表面，而不是完整的建筑物，因此它們也可以被視為來自室內(nèi)設(shè)計(jì)或外墻設(shè)計(jì)領(lǐng)域。其次，本文還討論了編織表面，將其視為一種特殊的拼塊。增加這一內(nèi)容的原因在下一節(jié)中將會(huì)更加清楚，但原始社會(huì)最早創(chuàng)造的圖案表面通常是編織而成的，其幾何表現(xiàn)形式類似于拼塊或棋盤格表面，即使它們的制作方法并不相同。第三，本文的大部分內(nèi)容都是關(guān)于表面或“平面填充”拼塊的。然而，我們也可以討論空間的密鋪或鑲嵌，這與“空間填充”特性有關(guān)。正如正方形拼塊可以輕易地覆蓋一個(gè)表面，形成網(wǎng)格狀圖案，立方體拼塊也可以輕易地填充網(wǎng)格中的體積。除少數(shù)例外，建筑界對(duì)拼塊的興趣主要集中在前一類，即表面網(wǎng)格，而使用體積網(wǎng)格的例子并不多見。最后，當(dāng)藝術(shù)家、設(shè)計(jì)師或建筑師受到數(shù)學(xué)啟發(fā)時(shí)，他們傾向于改編而不是采用數(shù)學(xué)家的語言。因此，建筑師描述密鋪的方式與數(shù)學(xué)中使用的術(shù)語并不一致。此外，建筑師對(duì)當(dāng)代鑲嵌理論的了解有限，在應(yīng)用鑲嵌圖案時(shí)往往對(duì)其數(shù)學(xué)特性缺乏深入了解。在閱讀本文和研究其中的實(shí)例時(shí)，應(yīng)牢記最后這一點(diǎn)。

密鋪背景

在建筑學(xué)和數(shù)學(xué)中，“密鋪”和“鑲嵌”這兩個(gè)詞經(jīng)常交替使用，用來描述用多邊形覆蓋表面的過程。雖然有些數(shù)學(xué)文獻(xiàn)在圖案有明確的基本規(guī)則時(shí)使用 “tessellation”（鑲嵌）一詞，而在沒有規(guī)則時(shí)使用 “tiling”（密鋪）一詞，但這種用法并不一致。tessellation "一詞源于拉丁文 tessela，是古希臘和古羅馬世界用于鑲嵌的半規(guī)則立方體小拼塊。而 “tile”（拼塊）一詞的起源通常可追溯到拉丁語 tegula，意為覆蓋某物。從本質(zhì)上講，這兩個(gè)詞都起源于用更小、更耐用或裝飾性更強(qiáng)的元素覆蓋大面積墻壁、地板或天花板的過程。

鑲嵌的一個(gè)更數(shù)學(xué)的定義是，它是使用平面形狀覆蓋一個(gè)表面的過程，以滿足兩個(gè)條件。首先，任何拼塊之間不得有重疊，其次，在生成的表面上不得有間隙。如果這兩個(gè)條件都滿足，那么這種密鋪就被稱為“完全的”或“真實(shí)的”除此之外，圖案中特定多邊形的每個(gè)實(shí)例都被定義為一個(gè)“拼塊”，用于創(chuàng)建鑲嵌的不同多邊形類型的數(shù)量被稱為“拼塊集”因此，如果一個(gè)表面被相同大小的正方形拼塊覆蓋，這是一個(gè)拼塊集，因?yàn)橹挥幸环N類型的拼塊(圖4)。上一節(jié)中的堆疊、拉伸和人字形示例都有一個(gè)拼塊集。如果一個(gè)表面被正方形拼塊和直角三角形拼塊(由一個(gè)正方形的對(duì)角線分割而成)的混合物覆蓋，則它被描述為兩個(gè)拼塊集，以此類推。理論上，拼塊集沒有最大數(shù)量，因?yàn)槊總€(gè)拼塊都可能與其他拼塊不同。相比之下，只有三種“規(guī)則”或“全等”鑲嵌，即正方形、等邊三角形和六邊形(圖4、5和6)。像這樣顯示多條對(duì)稱線或重復(fù)其配置的鑲嵌通常被稱為“周期”集。一些最容易辨認(rèn)的周期性圖案是基于正方形、長(zhǎng)方形、梯形或平行四邊形。此外，通過僅重復(fù)單一形狀，幾個(gè)三維形狀也可以完美地填充空間體積。最明顯的例子是立方體，但是菱形十二面體以及一些三角形和菱形棱柱也具有這種性質(zhì)。

圖4：正方形

圖5：等邊三角形鑲嵌

圖6：六邊形鑲嵌

周期性拼塊必須有對(duì)稱線或重復(fù)其配置，而“非周期性”拼塊也有兩種類型。第一類拼塊既可以周期性地填充平面，也可以非周期性地填充平面，這取決于組裝它們的規(guī)則。加德納四邊形就是第一類非周期性拼塊的一個(gè)例子（奧斯特瓦爾德，1998 年）。第二類拼塊是數(shù)學(xué)家和建筑師最感興趣的拼塊，它們只能以非周期方式密鋪。近年來，這類拼塊已成為大量研究的焦點(diǎn)，但在20世紀(jì)60年代之前，人們甚至不知道它的存在。

1961年，王浩開始研究，如果給定一個(gè)特定的多邊形拼塊集，是否有辦法確定其周期性地鋪貼平面的能力（即確定它們是否會(huì)重復(fù)其配置）。然而，1965 年，羅伯特·伯杰（Robert Berger）證明，不可能開發(fā)出周期性鋪貼的程序，因此非周期性拼塊集和圖案必然存在（魯賓斯泰姆，1996 年）。這一認(rèn)識(shí)引發(fā)了該領(lǐng)域的一系列發(fā)展，伯杰提出了第一個(gè)非周期性拼塊集，該拼塊集有 20426 種不同的形狀。1967 年，伯杰將這一數(shù)字減少到 104 個(gè)；1968 年，唐納德·克努特將其減少到 92 個(gè)；1971 年，拉斐爾·羅賓遜將該集合減少到只有 6 個(gè)拼塊。兩年后，羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）證明，利用平行四邊形密鋪法，可以將圖形集減少到兩塊拼塊，這就是今天的“彭羅斯拼塊”或“飛鏢和風(fēng)箏”圖形集（圖 7）。20 世紀(jì)90年代初，約翰·康威發(fā)現(xiàn)了另一種雙拼塊非周期性集合，即“風(fēng)車”集合。

圖7：彭羅斯的“飛鏢和風(fēng)箏”非周期鑲嵌

有趣的是，彭羅斯的“飛鏢和風(fēng)箏”組合呈現(xiàn)出一種“準(zhǔn)對(duì)稱性”，讓人聯(lián)想到20世紀(jì)60 年代在準(zhǔn)晶體幾何中發(fā)現(xiàn)的五重對(duì)稱性，以及20世紀(jì)80年代在鋁錳晶體中發(fā)現(xiàn)的五重對(duì)稱性（Stewart和 Golubitsky，1993年；Ostwald，1998年）。康威拼塊的一個(gè)奇特特征是，與分形幾何形式一樣，它們也可以按比例縮放，這樣較小的拼塊集可以嵌套在較大的拼塊集中（圖 8）。有多種周期性集合可以出現(xiàn)這種情況，但康威圖案是唯一具有這種特性的著名非周期性集合。盡管如此，這種拼塊集往往是貝努瓦·曼德布羅特（Benoit Mandelbrot）所說的“微不足道的分形”，這意味著細(xì)分圖案與分形幾何之間的聯(lián)系并不一定像這個(gè)例子所暗示的那樣重要或有趣（奧斯特瓦爾德和沃恩，2016 年）。一些細(xì)分圖案會(huì)在更大尺度上重復(fù)其小尺度幾何形狀，這也是分形定義的一部分。但也有很多非分形圖案具有相同的特性，包括全等正方形（圖 4）和等邊三角形（圖 5）。

圖8：康威的“風(fēng)車”非周期鑲嵌

在開發(fā)平面填充非周期性拼塊集的同時(shí)，也有一些關(guān)于空間填充非周期性拼塊集的建議。Koji Miyazaki（1977 年）和羅伯特·安曼（Robert Ammann）都發(fā)現(xiàn)了兩種可以填充空間的非周期性拼塊集。安曼的拼塊集由一對(duì)菱形組成，這對(duì)菱形由兩個(gè)實(shí)體構(gòu)成，每個(gè)實(shí)體都有六條邊，這些邊都與彭羅斯形成飛鏢和風(fēng)箏集的起始菱形相同。此外，還開發(fā)了非周期性沃羅諾伊鑲嵌的平面填充和空間填充變體。雖然這些沃羅諾伊集合不具備安曼集合和Miyazaki集合的數(shù)學(xué)純度，但它們卻非常有趣，因?yàn)樗鼈兯坪鯊?fù)制了一些自然現(xiàn)象，而這些自然現(xiàn)象反過來又啟發(fā)了建筑師、設(shè)計(jì)師和藝術(shù)家。

建筑中的拼塊

縱觀歷史，拼塊一直與建筑密切相關(guān)。即使是最早的原始住所也常常鋪著編織席子，用粗略堆疊的磚石砌成墻壁，并刻有幾何圖案。最古老的建筑基礎(chǔ)神話之一，“古代人的原始小屋”，描繪了史前人類將樹枝拼成一個(gè)緊密的網(wǎng)格，以創(chuàng)建第一個(gè)庇護(hù)所(Rykwert 1991)。這種編織籃子、墊子和屏風(fēng)的方法可以在中石器時(shí)代之前和新石器時(shí)代(公元前10，000年)找到證據(jù)。這些早期的建筑是通過密鋪干樹葉或藤蔓來創(chuàng)造更大的表面。通過重復(fù)規(guī)則的圖案，這些編織物品變得更加耐用，通過組合不同的材料，它們成為裝飾性的表面，通常具有文化意義(Gerdes 1999)。

Indra Kagis McEwen（1993 年）認(rèn)為，建筑的起源——不僅指最早的建筑作品，還包括神話中作為建筑起點(diǎn)的作品——可以追溯到編織結(jié)構(gòu)或馬賽克地板。雖然從數(shù)學(xué)的角度來看，編織和鑲嵌是不同的過程，但它們有幾個(gè)共同的語言祖先，而且它們的表面條件具有相似的特性。例如，在希臘神話中，代達(dá)羅斯被認(rèn)為是第一位建筑師，因?yàn)樗麆?chuàng)造了克諾索斯的迷宮和阿里阿德涅的舞池——馬賽克舞池。然而，關(guān)于哪一個(gè)被認(rèn)為是第一個(gè)建筑作品，仍然存在一些混淆。在神話中，這兩件作品都被歸類為建筑，因?yàn)樗鼈兌际鞘谷祟愋袨樯鷦?dòng)的幾何編織物。首先，代達(dá)羅斯在克諾索斯建造的迷宮是一個(gè)復(fù)雜的空間圖案，它描述了米諾陶洛斯在迷宮核心走過的路徑，以及被釋放到迷宮中的犧牲者。相反，阿里阿德涅的“詠嘆調(diào)”則囊括了舞者在參與編排儀式時(shí)所遵循的運(yùn)動(dòng)圖案。在這兩種情況下，表面圖案都很重要，因?yàn)樗茉旎蚣ぐl(fā)了人們的行動(dòng)。無論這些例子中的哪一個(gè)可以被視為第一件建筑作品，在希臘和羅馬神話中，建筑的起源顯然與創(chuàng)造表面圖案的行為息息相關(guān)。

Grünbaum 和 Shephard（1987: 1）認(rèn)為，實(shí)用的“拼塊藝術(shù)”始于首次使用石頭鋪設(shè)地板。在新石器時(shí)代的遺址中可以發(fā)現(xiàn)這種不規(guī)則的地板，而從公元前7000年左右開始，有證據(jù)表明糧倉(cāng)中使用了更加規(guī)則的石質(zhì)和木質(zhì)地板。在美索不達(dá)米亞和古埃及，原始磚塊的制作方法是將粘土放入正方形或長(zhǎng)方形的模具中（通常中間部分加厚或挖空，以便于堆放），然后在窯中燒制或在太陽(yáng)下曬干。這些磚塊被用來建造道路、小徑、地板和墻壁，并以各種圖案拼接在一起，以增加其強(qiáng)度或耐久性。

Grünbaum和Shephard（1987: 1）還特別將“拼塊藝術(shù)”與建筑聯(lián)系在一起，因?yàn)樵谧钤绲纳鐣?huì)中，人們就意識(shí)到拼塊圖案可以增加建筑物表面的豐富性、裝飾性或點(diǎn)綴性。此外，在任何歷史時(shí)期，“無論哪種拼塊受到青睞，其藝術(shù)和技術(shù)總是吸引著高超的工匠、富有創(chuàng)造力的從業(yè)者和寬宏大量的贊助人”（Grünbaum 和 Shephard，1987 年：1）。例如，最早的馬賽克可以追溯到美索不達(dá)米亞，當(dāng)時(shí)人們將彩色拼塊組合在一起，在墻壁或地板上創(chuàng)造出圖案或圖畫。在古波斯和印度的建筑中也廣泛使用了以幾何而非圖像表現(xiàn)為主題的彩色拼塊，如今它們通常與伊斯蘭建筑聯(lián)系在一起。雖然這種密鋪圖案的使用比這更普遍，但北非和中東的清真寺、伊斯蘭學(xué)校和宮殿代表了有史以來最先進(jìn)的密鋪應(yīng)用，至今仍是引人入勝和爭(zhēng)論的焦點(diǎn)（Bonner，2017 年；Wichmann 和 Wade，2017 年）。

密鋪是伊斯蘭建筑的重要組成部分，因?yàn)樽诮绦叛鱿拗剖褂脠D像或形象表現(xiàn)。因此，在伊斯蘭建筑中，精心雕刻和鑲嵌的拼塊和阿拉伯式花飾達(dá)到了可能是最高的精致程度，這一點(diǎn)也不足為奇。例如，位于格拉納達(dá)（安達(dá)盧西亞）的摩爾人宮殿阿爾罕布拉宮就有13到16種不同類型的全等或等距圖案。這些拼塊大多來自13世紀(jì)末14世紀(jì)初的擴(kuò)建工程，如今因其豐富性和創(chuàng)造性而備受贊譽(yù)。后一個(gè)方面，即創(chuàng)造性，具有重要意義，因?yàn)橹钡?7世紀(jì)，約翰內(nèi)斯·開普勒才完成了對(duì)鑲嵌的首次認(rèn)真研究，而到了19世紀(jì)，葉夫格拉夫·費(fèi)奧多羅夫才確定周期性的棋盤格都符合17種等距或“壁紙”組中的一種。因此，在數(shù)學(xué)家們對(duì)周期性密鋪中不同類型的全等進(jìn)行分類和理解的三百年前，阿爾罕布拉宮的設(shè)計(jì)師們就已經(jīng)使用了其中的許多全等。

Lu和Steinhardt（2007 年）在另一個(gè)例子中指出，15世紀(jì)中期伊朗建筑中的幾種鑲嵌圖案與彭羅斯鑲嵌圖案有相似之處，它們似乎具有準(zhǔn)周期性。Lu最初在布哈拉（烏茲別克斯坦）的宗教學(xué)校中觀察到了這些特性，并在伊斯法罕（伊朗）的 Darb-i Imam 神殿中觀察到了更先進(jìn)的版本。雖然有關(guān)伊瑪目神廟拼塊圖案的真實(shí)性和制作日期都存在爭(zhēng)議（Lauwers，2018 年），但布哈拉的庫(kù)克爾達(dá)什伊斯蘭學(xué)校也在三維棱形天花板穹頂或拱門內(nèi)擁有幾個(gè)復(fù)雜的拼塊表面（Makovicky，2018 年）。

歐洲出現(xiàn)了一套完全不同的拼塊鋪設(shè)傳統(tǒng)，修道院、公共建筑和商業(yè)建筑的地板通常鋪設(shè)對(duì)稱、重復(fù)的彩色圖案，而教堂和宮殿則鋪設(shè)馬賽克，表現(xiàn)《圣經(jīng)》中的場(chǎng)景、著名戰(zhàn)役或風(fēng)景。因此，歐洲的拼塊鋪設(shè)方式出現(xiàn)了分化，功能性較強(qiáng)的圖案被保留在內(nèi)部通道或軸線上，而繪畫傳統(tǒng)有時(shí)與壁畫或特羅姆普爾（tromp l orl）同時(shí)出現(xiàn)，成為一種交流或娛樂方式。

第一種類型的拼塊，尤其是所謂的“棋盤格”拼塊，在古希臘神廟、羅馬別墅、中世紀(jì)酒莊和維多利亞時(shí)代的醫(yī)院中隨處可見。一般來說，這類幾何拼塊多用于入口、走廊或中庭。雖然基礎(chǔ)圖案通常比較簡(jiǎn)單，但也經(jīng)常使用“邊磚”或裝飾性拼塊，有時(shí)會(huì)描繪紋章或行會(huì)標(biāo)志和徽章。盡管使用了彩色拼塊和具有不同紋理或插圖的拼塊，但這些拼塊中的許多在很大程度上可被視為功能性應(yīng)用。不過，也有明顯的例外，包括共濟(jì)會(huì)會(huì)所和寺廟的拼塊地板。這些儀式用的地板通常呈直角形，由黑白棋盤式拼塊鋪成（通常是對(duì)角線鋪成），邊框由三角形（或菱形）拼塊圍成。這些地板的中央有許多裝飾拼塊，上面刻有十字架（"saltires"）和六角星，或者在四角鑲嵌有共濟(jì)會(huì)工具的圖案：正方形、圓規(guī)、鉛垂線和泥鏟。

西班牙巴倫西亞著名的2世紀(jì)馬賽克作品就是第二種拼塊鑲嵌的典范，這種拼塊鑲嵌的目的更多是為了表現(xiàn)或描繪。這幅鑲嵌畫描繪了正方形場(chǎng)地上的四季景色，場(chǎng)地被對(duì)角線分割成四個(gè)三角形區(qū)域，再細(xì)分為八角形、梯形和十字形。每個(gè)三角形區(qū)域都以人臉為中心（在八角形拼塊內(nèi)），周圍是鳥類、植物和神獸的圖案，代表一年中時(shí)間的流逝。另一個(gè)例子是六世紀(jì)意大利拉文納的圣維塔萊大教堂，精致的馬賽克以海倫式羅馬裝飾傳統(tǒng)中豐富的金色和棕色色調(diào)描繪了《舊約圣經(jīng)》中的故事。這些馬賽克中拼塊圖案的基本幾何形狀并不重要，因?yàn)槠淠康氖钦f明圣經(jīng)主題與自然元素（植物和動(dòng)物）的結(jié)合。圣維塔萊大教堂（Basilica di San Vitale）也有一個(gè)著名的馬賽克地板，上面描繪了一個(gè)迷宮，法國(guó)13世紀(jì)的沙特爾大教堂（Chartres Cathedral）也是如此。雖然這類迷宮的實(shí)際目的尚不清楚，但它們通常被解釋為朝圣者為到達(dá)禮拜場(chǎng)所而走過的艱難道路的象征，或者是跪在地上的懺悔者為尋求赦免而在大教堂地板上走過的真實(shí)道路。這些例子與克諾索斯的大神迷宮和阿里阿德涅的舞池一樣，都是用拼塊來說明潛在的或期望的運(yùn)動(dòng)。

到19世紀(jì)初，象形拼塊在歐洲大部分地區(qū)已不再受歡迎，因?yàn)樗劝嘿F又令人望而卻步，而且在一些國(guó)家，社會(huì)對(duì)它的接受程度也不如從前。與此相反，簡(jiǎn)單的裝飾性拼塊變得非常經(jīng)濟(jì)實(shí)惠，在許多房屋的壁爐周圍、門窗臺(tái)，甚至廚房的墻壁上都能看到它的身影。在英國(guó)和美國(guó)的維多利亞時(shí)代，拼塊不僅堅(jiān)固耐用，還是展示中產(chǎn)階級(jí)財(cái)富的一種手段，而且還具有以前的石材、木材或灰泥表面所不具備的衛(wèi)生水平。然而，在19世紀(jì)末期，一系列相互沖突的力量開始改變拼塊的使用方式。一方面，工業(yè)革命擴(kuò)大了大規(guī)模生產(chǎn)的規(guī)模，拼塊比以往任何時(shí)候都更容易獲得；另一方面，隨著英國(guó)工藝美術(shù)運(yùn)動(dòng)的興起，人們對(duì)手工制作的拼塊產(chǎn)生了新的熱情。現(xiàn)代建筑逐漸成為二十世紀(jì)早期建筑的主流，它摒棄了維多利亞、哥特復(fù)興和工藝美術(shù)風(fēng)格的建筑以及幾乎所有的拼塊傳統(tǒng)。奧斯卡·尼邁耶（Oscar Niemeyer）可能是唯一一位在其設(shè)計(jì)的潘普利亞和巴西利亞（巴西）宗教建筑中加入精致壁畫和拼塊表面的現(xiàn)代主義建筑師。

到20世紀(jì)70年代和80年代，越來越多的建筑師和城市規(guī)劃師開始批評(píng)現(xiàn)代主義，認(rèn)為其空間和形式往往冰冷、缺乏人性。對(duì)現(xiàn)代主義的反彈被統(tǒng)稱為“后現(xiàn)代主義”，旨在重新引入與歷史的聯(lián)系和人文關(guān)懷。為了實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，后現(xiàn)代主義建筑師采用的一種設(shè)計(jì)策略是在墻壁和地板上鋪設(shè)華麗的拼塊裝飾，其中一些裝飾旨在復(fù)制或喚起人們對(duì)歷史名勝或事件的回憶。例如，建筑師查爾斯·摩爾于 1978 年在美國(guó)新奧爾良建成的意大利廣場(chǎng)。這個(gè)公共空間的設(shè)計(jì)采用了多種裝飾性的、超大的、色彩鮮艷的拼塊圖案，這些圖案通常會(huì)讓人聯(lián)想到古羅馬（或古希臘）建筑（詹克斯，1991 年）。意大利廣場(chǎng)的地面鋪設(shè)了黑白相間的同心圓拼塊，讓人聯(lián)想起圣維塔萊大教堂和沙特爾大教堂的迷宮地板，以及拉斯維加斯賭場(chǎng)和購(gòu)物中心的標(biāo)志性圖案。由于摩爾選擇的拼塊通常都是廉價(jià)的批量生產(chǎn)的，整個(gè)效果就像是一個(gè)臨時(shí)的舞臺(tái)布景。羅伯特·文丘里和丹尼斯·斯科特·布朗于1982年設(shè)計(jì)的戈登·吳廳（美國(guó)普林斯頓）在其入口立面上方使用了宏偉的裝飾性拼塊圖案，而他們于1983年設(shè)計(jì)的路易斯·托馬斯分子生物學(xué)實(shí)驗(yàn)室（美國(guó)普林斯頓）則覆蓋了多種不同的磚塊方格圖案。在這兩種情況下，拼塊圖案都趨于簡(jiǎn)單，但它們?nèi)绱送怀龊痛竽懙臄[放方式是為了與現(xiàn)代主義形成反諷，并喚起人們對(duì)歷史建筑風(fēng)格的回憶（von Moos，1987 年）。

20世紀(jì)最后十年，建筑界首次直接接觸到數(shù)學(xué)密鋪。在澳大利亞墨爾本，ARM 建筑師受委托翻新歷史悠久的 Storey Hall 禮堂。他們的設(shè)計(jì)于 1996 年完成，在歷史悠久的外墻以及整個(gè)新門廳和禮堂上都鋪設(shè)了石灰綠色的彭羅斯拼塊。雖然可以將 ARM 對(duì)拼塊的使用歸類為后現(xiàn)代傳統(tǒng)的延伸，但他們的設(shè)計(jì)多次引用了非周期性拼塊的實(shí)際數(shù)學(xué)特性，其解釋直接參考了彭羅斯的著作（Ostwald，1998 年）。他們?cè)O(shè)計(jì)的飛鏢和風(fēng)箏組合不僅在三維空間中發(fā)揮了部分作用，而且還強(qiáng)調(diào)了表面上那些被擱置的部分或由于所遵循的邏輯中的故意缺陷而無法鋪貼的部分的重要性。另一個(gè)較近的例子是，墨爾本聯(lián)邦廣場(chǎng)是一個(gè)大型藝術(shù)娛樂綜合體，于2002年竣工。它由LAB建筑師事務(wù)所設(shè)計(jì)，使用了一種針輪非周期性拼塊組作為外部覆層，并對(duì)其部分規(guī)劃進(jìn)行了造型。外部的風(fēng)車拼塊由鋅（實(shí)心和穿孔）、玻璃（半透明和磨砂）和砂巖制成。聯(lián)邦廣場(chǎng)的公共空間鋪設(shè)了鵝卵石（通常鑲嵌有文字碎片），鵝卵石下面是一個(gè)隱藏的環(huán)境“迷宮”。

聯(lián)邦廣場(chǎng)和斯托里大廳并不是唯一一個(gè)大膽采用最新數(shù)學(xué)拼塊集來生成建筑空間和形式的建筑。Voronoi 網(wǎng)格的例子還有很多，包括Minifie Nixon于2004年設(shè)計(jì)的墨爾本創(chuàng)意中心（Centre for Ideas）和ARM于2009年設(shè)計(jì)的墨爾本演奏廳（Melbourne Recital Hall）。非周期性和準(zhǔn)周期性鋪地圖案非常受歡迎，已被用于許多公共建筑和空間，例如牛津數(shù)學(xué)研究所、巴黎科學(xué)中心和里耶卡的扎梅中心，甚至還被用于商業(yè)生產(chǎn)的浴室和廚房拼塊。

在本文所舉的大多數(shù)例子中，重點(diǎn)都放在無縫覆蓋的表面上，但某些周期性拼塊組的組合會(huì)造成無法鋪貼的區(qū)域。按照慣例，這種情況被視為缺陷或錯(cuò)誤，可以通過移除周圍的一些拼塊并重新制作圖案，直到?jīng)]有孔洞為止。但是，如果將孔洞、其形狀和頻率視為密鋪圖案的另一個(gè)維度呢？約翰·康威將這種對(duì)密鋪的思考方式稱為“孔洞理論”，它類似于想象“一座巨大的寺廟，地面由彭羅斯拼塊拼成棋盤格，中間正好有一根圓形圓柱。拼塊似乎在柱子下面，[但]柱子卻蓋住了一個(gè)無法鑲嵌的洞”（Gardner 1989: 26-27）。ARM's Storey Hall 在早期建筑設(shè)計(jì)中就詮釋了表面無法鋪設(shè)拼塊部分的意義。

結(jié)論

公元前1世紀(jì)，羅馬作家和軍事建筑師馬庫(kù)斯-維特魯威·波利奧出版了《建筑學(xué)》。在這部著作中，他將建筑的三大核心特性定義為堅(jiān)固、商品和愉悅。這些特性也是拼塊、鑲嵌和編織表面在建筑中經(jīng)久不衰的魅力所在。密鋪的部分原因是為了增加表面的強(qiáng)度或穩(wěn)定性，它還能改善表面的功能或可用性，并提供了發(fā)展裝飾性、象征性或詩(shī)意性的機(jī)會(huì)。因此，出于實(shí)用、社會(huì)和文化方面的原因，密鋪在建筑中一直具有重要意義。然而，建筑密鋪與數(shù)學(xué)密鋪之間的關(guān)系卻不那么一致。

可以說，建筑，尤其是伊斯蘭建筑中的密鋪，實(shí)際上早于有關(guān)密鋪的正式數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展。還必須指出的是，近來，建筑師和設(shè)計(jì)師已經(jīng)從非周期性密鋪的進(jìn)步中汲取了經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)其進(jìn)行了公開的改造。由于多種文化和社會(huì)因素影響著建筑師和設(shè)計(jì)師使用數(shù)學(xué)概念的方式，這種關(guān)系是否會(huì)繼續(xù)下去目前還不得而知。但無論建筑與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系如何演變，密鋪仍然是其最明顯和最顯著的接觸點(diǎn)之一。

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