女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

圖形、數(shù)學(xué)和非洲

圖論是數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)組成部分。一個(gè)經(jīng)典的例子是尋找一個(gè)推銷(xiāo)員訪問(wèn)美國(guó)50個(gè)州的所有首府一次所需的最短路徑。這個(gè)所謂的“旅行推銷(xiāo)員”問(wèn)題至今仍是一個(gè)未解之謎，盡管已經(jīng)有了幾個(gè)“好”的解決方案。兩個(gè)城市之間的“路徑”可以用直線表示，如果方向也很重要，還可以加上箭頭。線的形式可以是直線，也可以是粗略畫(huà)出的曲線，但這并不重要。圖論的應(yīng)用有時(shí)是運(yùn)籌學(xué)課程的一部分，從經(jīng)濟(jì)學(xué)到計(jì)算機(jī)科學(xué)，圖論的應(yīng)用不勝枚舉。

大多數(shù)運(yùn)籌學(xué)教科書(shū)的入門(mén)例子都提到了歐拉的七橋問(wèn)題，即如何走過(guò)前德國(guó)城市哥尼斯堡的七座橋。如今，哥尼斯堡已成為俄羅斯的加里寧格勒市，七座橋也已不復(fù)存在，但在七座橋還存在的時(shí)候，歐拉就已經(jīng)證明，如果同一條路徑不能走兩次，就不可能走過(guò)七座橋。

一個(gè)重要的數(shù)學(xué)特點(diǎn)是，可以利用這些圖形進(jìn)行計(jì)算，讓數(shù)學(xué)家獲得直觀無(wú)法發(fā)現(xiàn)的驚人結(jié)果。例如，對(duì)歐拉圖進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，可將左邊的三個(gè)點(diǎn)從上到下編號(hào)為 1、2、3，并為右邊的點(diǎn)加上數(shù)字4。在一個(gè)稱(chēng)為矩陣的列表中，1表示從該行前面提到的點(diǎn)到該列上面提到的點(diǎn)之間有一條路徑。如果沒(méi)有路徑，則使用0。在給出的示例中，主對(duì)角線上有0，因?yàn)辄c(diǎn)本身沒(méi)有循環(huán)（圖4.1）。

圖4.1：沙地版歐拉問(wèn)題(左)及其數(shù)學(xué)版(右)

圖論的數(shù)學(xué)力量并非源于歐拉走橋的趣聞?shì)W事或其他有趣的素描，而是源于使用這些“矩陣”的數(shù)學(xué)技術(shù)，從而可以得出結(jié)論，而這些結(jié)論在糾結(jié)的線條中是無(wú)法預(yù)測(cè)的。這一數(shù)學(xué)版本的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在它的許多應(yīng)用中，例如四色定理（四種顏色足以為任何地圖著色，使得沒(méi)有兩個(gè)相鄰的國(guó)家是相同的顏色）。

非洲的例子也可以作為圖論的入門(mén)。世界各地的不同文化都會(huì)用手指或樹(shù)枝在沙地上作畫(huà)，或抬手或不抬手，充滿(mǎn)曲折的線條增強(qiáng)了其神話(huà)色彩。有時(shí)還會(huì)加上一些符號(hào)，以明確繪畫(huà)的目的。這表明，不僅舞蹈、音樂(lè)或戲劇表現(xiàn)是儀式的靈感來(lái)源，數(shù)學(xué)方案也是如此。

關(guān)于非洲圖形的故事

來(lái)自剛果和安哥拉邊境地區(qū)的紹奎人稱(chēng)他們的沙畫(huà)為 “sona”。在村子中心舉行的集會(huì)上，他們會(huì)朗誦這些圖畫(huà)上的故事。在長(zhǎng)達(dá)6-8個(gè)月的啟蒙儀式中，每一代人都要學(xué)習(xí)這些傳統(tǒng)圖示以及相應(yīng)的諺語(yǔ)、背誦內(nèi)容或謎語(yǔ)。

有時(shí)使用這些圖畫(huà)的另一個(gè)場(chǎng)合是哀悼?jī)x式。據(jù)說(shuō)一個(gè)村長(zhǎng)死了，有三個(gè)候選人來(lái)繼承他的職位。一幅幾何圖畫(huà)代表了這種情況：中間一個(gè)大白點(diǎn)代表死去的酋長(zhǎng)，另外三個(gè)小黑點(diǎn)，分別編號(hào)為1、2和3。一條封閉的曲線環(huán)繞著三位王位繼承人和死去的首領(lǐng)。其中兩個(gè)候選人在不越線的情況下無(wú)法到達(dá)死去的酋長(zhǎng)身邊，但中間的那個(gè)候選人可以，因此他成為了新的酋長(zhǎng)。在另一幅圖中，一條單線將新生兒和逝者連接起來(lái)，太陽(yáng)和月亮在每個(gè)凡人的生命中都起著作用，于是也被添加進(jìn)來(lái)（圖 4.2）。

圖4.2：解釋誰(shuí)成為新首領(lǐng)的圖（左）和“生命圖”（右）

沙畫(huà)、記憶輔助工具和繪畫(huà)圖案

一種常用的畫(huà)圖技術(shù)是從放置幾個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，然后移動(dòng)，就好像一條曲線圍繞著這些點(diǎn)編織一樣。矩形“框架”的內(nèi)邊緣被認(rèn)為是鏡子，曲線在那里反彈，就好像是一束光線。接下來(lái)，在圖中放置一些額外的鏡子，以生成所需的曲線(圖4.3)。

圖4.3：五行六點(diǎn)和兩面“鏡子”（左），由一束假想的光線穿過(guò)，而方格則依次被染成黑色、白色、黑色、白色等等（中間），以產(chǎn)生最終的圖案，讓人聯(lián)想到非洲織物

圍繞這些點(diǎn)構(gòu)建了一個(gè)矩形網(wǎng)絡(luò)，使這些點(diǎn)位于網(wǎng)絡(luò)線的交叉點(diǎn)上。在我們的插圖中，如果從左下方以45°角插入一束光線，從矩形框下邊框的第一個(gè)細(xì)分點(diǎn)開(kāi)始，這束光線將描述一條假想的路線，在右上角以極小的路徑反彈到右邊，然后貼著右邊框返回到左下角，以此類(lèi)推。

當(dāng)假想光線穿過(guò)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，一個(gè)方格會(huì)被染成黑色，然后是白色，接著又是黑色，依此類(lèi)推，直到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)都被染上顏色。最后，就形成了一個(gè)幾乎無(wú)法辨認(rèn)出原始曲線的圖案。這讓人想起非洲的織物。

可以用不同的方法排列假想鏡面，或者使用更多或更少的點(diǎn)，結(jié)果也會(huì)不同。在圖論中，獲得正方形圖案的程序（此處使用黑白方框）有時(shí)會(huì)顛倒過(guò)來(lái)。例如，在對(duì)國(guó)際棋盤(pán)上的走子進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，就采用了這種方法。

非洲繪圖專(zhuān)家熟練而毫不猶豫地繪制了這些圖形。這里的坐標(biāo)系是一種記憶法，將記憶任務(wù)簡(jiǎn)化為幾個(gè)數(shù)字和一種幾何算法（圖 4.4）。

圖4.4：來(lái)自其他初始條件的其他曲線

沙畫(huà)推理

瑪西婭·阿舍爾（Marcia Ascher, 1988, 1994）是最早關(guān)注這些沙畫(huà)及其與圖論關(guān)系的人之一。她列出了來(lái)自不同大陸的類(lèi)似圖畫(huà)的清單，并根據(jù)地區(qū)或人物對(duì)圖畫(huà)進(jìn)行了分類(lèi)。她還注意到一些數(shù)學(xué)性質(zhì)的特性，如圖形的倍增（圖 4.5）。

圖4.5：倍增圖形

米烏博人用一些點(diǎn)表示祖先，用其他點(diǎn)表示村莊的小屋。周?chē)木€表示祖先的靈魂影響著部族的生活。當(dāng)居民人數(shù)增加時(shí)，圖畫(huà)就必須進(jìn)行調(diào)整，這就是所謂的 “倍增”圖。在其他例子中，圖形甚至可以有三重倍增。

阿舍爾探索的另一個(gè)受數(shù)學(xué)啟發(fā)的特性是圖畫(huà)中的對(duì)稱(chēng)性，如左右、雙重左右或旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。許多例子表明，對(duì)圖畫(huà)進(jìn)行不同的分組，例如按照所用點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行分組，可能會(huì)很有趣。然而，結(jié)構(gòu)并不總是那么合乎邏輯、簡(jiǎn)單明了。非洲人的創(chuàng)造力再次展示了令人驚訝的替代方案（圖4.6 和4.7）。

圖4.6：按照點(diǎn)的數(shù)量排列的圖畫(huà)。省略或增加一個(gè)點(diǎn)可以得到括號(hào)中的類(lèi)似情況

圖4.7：完全不同的對(duì)稱(chēng)繪圖方法

沙畫(huà)中的更多數(shù)學(xué)

當(dāng)哲學(xué)家路德維希·維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）試圖為數(shù)學(xué)的本質(zhì)下定義時(shí)，他指出了圖論，并斷言 “每個(gè)人都會(huì)立即認(rèn)識(shí)到它的數(shù)學(xué)特性”。與阿舍爾幾乎同時(shí)開(kāi)始從事民族數(shù)學(xué)研究的保盧斯·格迪斯（Paulus Gerdes）試圖為這些非洲曲線提出一些真正的數(shù)學(xué)定理（Gerdes, 2002）。

與歐拉橋的第一個(gè)例子相比，格德斯采用了不同的矩陣方法。受之前推導(dǎo)出的顏色模式的啟發(fā)，0 現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于正方形的一種給定顏色，1 對(duì)應(yīng)于另一種顏色，如果需要第三種顏色，則對(duì)應(yīng)于 2，以此類(lèi)推（圖 4.8 和 4.9）。

圖4.8：作者為Gerdes 的一本著作撰寫(xiě)的前言（Gerdes，2001 年）

圖4.9：根據(jù)非洲沙曲線圖案推導(dǎo)出的矩陣

可以將兩個(gè)這樣的矩陣相加，從而形成一個(gè)新的模式（圖4.10）。

圖4.10：矩陣加法和色彩圖案

格德斯研究過(guò)一種特殊的安哥拉Lunda圖畫(huà)，他以自己女兒的名字將其稱(chēng)為“Liki圖案”。插圖（圖 4.11）中展示了這樣一個(gè)Liki圖案及其相關(guān)的矩陣。

圖4.11：從非洲沙曲線圖案推導(dǎo)出的Liki矩陣

格德斯的Liki矩陣具有以下特性：

1. 沿著邊界，每個(gè)“主要”網(wǎng)格點(diǎn)（圖中粗體黑點(diǎn)）總是有兩個(gè)不同顏色的相鄰方格。

2. 任意相鄰的兩個(gè)“主要”網(wǎng)格點(diǎn)之間（垂直或水平方向）的四個(gè)單位方格中（縱向或橫向）之間的四個(gè)單位方格中，相鄰的兩個(gè)方格總是一種顏色、 而另外兩個(gè)則是另一種顏色（圖4.12）。

圖4.12：Liki屬性示意圖

根據(jù)Gerdes的觀點(diǎn)，這兩個(gè)性質(zhì)意味著正方形利基設(shè)計(jì)是由循環(huán)組成。下面以網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為3×3的Liki設(shè)計(jì)為例進(jìn)行說(shuō)明 (圖4.13）。

圖4.13：Liki循環(huán)

通常的矩陣乘法將這些由0和1組成的矩陣轉(zhuǎn)化為不再包含0和1的矩陣，然而格德斯在這些方形Liki矩陣中發(fā)現(xiàn)了一些非凡的特性（圖 4.14）。

圖4.14：二階結(jié)構(gòu)

定理

Liki矩陣A和B相交：AB=BA.

定理

AB具有二階循環(huán)結(jié)構(gòu)（見(jiàn)插圖）。

格爾德斯將這些定理擴(kuò)展到具有更多光柵點(diǎn)的矩陣，并就這些性質(zhì)提出了其他變式。這可能是更常見(jiàn)的數(shù)學(xué)分析在這些沙畫(huà)上的初步應(yīng)用。

形式、形狀及其分析

一些建筑師和數(shù)學(xué)家喜歡在古典建筑和繪畫(huà)作品上畫(huà)各種矩形、三角形和圓形。希臘神廟、中世紀(jì)大教堂或達(dá)芬奇的作品都是這些所謂“研究”的最?lèi)?ài)。在這種“分析”中起重要作用的是所謂的黃金分割數(shù)?（也稱(chēng)黃金分割、黃金比例或神圣比例）。當(dāng)長(zhǎng)度為 x (>1) 的線段被分成長(zhǎng)度為 1 和 x - 1 的兩部分，并且這種分割使得比例 (x - 1)/1 等于比例 1/x 時(shí)，它就出現(xiàn)了。這意味著一元二次方程 x2 - x - 1 = 0，其中 (1 +√5)/2 = 1.6180... = ?是正解。長(zhǎng)度為 0.618...的較小部分 x - 1 稱(chēng)為小數(shù)，長(zhǎng)度為 1 的較長(zhǎng)部分稱(chēng)為大數(shù)。

寬為1、長(zhǎng)為?的矩形被稱(chēng)為黃金矩形。發(fā)現(xiàn)黃金矩形，甚至在不可能出現(xiàn)黃金矩形的情況下發(fā)現(xiàn)黃金矩形，是一些偽科學(xué)家最喜歡做的事情。一些雕像的頭在很久以前就被砍掉了，但雕像的雕刻者卻用黃金分割來(lái)解釋這些雕像，就好像雕刻者有預(yù)知能力，知道雕像的頭會(huì)被砍掉一樣。羅馬尼亞外交官馬蒂拉·吉卡（Matila Ghyka）是黃金分割神話(huà)的煽動(dòng)者之一，他的弟子們成功地用四種不同的方式為同一神廟制作了黃金分割。在第一幅圖中，一些黃金分割大師從較低的階梯開(kāi)始，另一些則從第二階梯開(kāi)始，或者從第三階梯開(kāi)始，最后一些則以神廟的腳為最低點(diǎn)進(jìn)行繪制（圖4.15和4.16）。

圖4.15：按照黃金分割定律，左邊的矩形“太扁”，右邊的矩形“太方”，而中間的矩形是“理想形狀”。

圖4.16：在同一棟建筑中“發(fā)現(xiàn)”黃金分割的四種不同方法。這說(shuō)明這些偽科學(xué)研究缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?/p>

各種書(shū)籍一遍又一遍地重復(fù)著這些圖畫(huà)，卻對(duì)某些圖畫(huà)相互矛盾的事實(shí)毫不關(guān)心。面對(duì)“在寺廟上畫(huà)一個(gè)黃金矩形”的練習(xí)，學(xué)生只有在與考官的觀點(diǎn)完全一致時(shí)才能通過(guò)考試。缺乏批判性思維可能是由于這些說(shuō)法似乎具有可接受性。它們似乎強(qiáng)調(diào)了希臘古典文明、文藝復(fù)興以及（部分）實(shí)際西方文化的重要性。通過(guò)發(fā)現(xiàn)藝術(shù)表現(xiàn)形式中反映出的有理有據(jù)的思想證明，黃金部分有助于支持歐洲優(yōu)越性的假象。在1984年重新出版的一本帶有豪華彩色封面的書(shū)中，法國(guó)作家D. Neroman認(rèn)為希臘雕像是理想中的美，而非洲人和猶太人則“尚未成熟”，因?yàn)槎悄毜母叨扰c肚臍和頭頂之間距離的比例小于黃金比例（圖 4.17）。

圖4.17：尼羅曼對(duì)希臘、非洲和猶太婦女肚臍高度的研究，以及具有大小比例的塞努弗雕像

不幸的是，其他人對(duì)這一神話(huà)的反應(yīng)是類(lèi)比地“發(fā)現(xiàn)”非洲藝術(shù)中最奇妙的黃金分割。他們以同樣的創(chuàng)造力，在非洲物品中發(fā)現(xiàn)了金色的矩形和主次線段。當(dāng)然，這并不難，因?yàn)榉侵匏囆g(shù)和西方藝術(shù)一樣，也可以運(yùn)用類(lèi)似的幻想。另一方面，這也是值得贊賞的，因?yàn)樗囆g(shù)頭腦對(duì)數(shù)學(xué)啟發(fā)的主題樂(lè)此不疲是相當(dāng)罕見(jiàn)的。然而，這與科學(xué)或數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)。此外，對(duì)于新興的民族數(shù)學(xué)領(lǐng)域（該領(lǐng)域本身仍飽受批評(píng)）來(lái)說(shuō)，在這種險(xiǎn)惡的道路上誤入歧途是非常不明智的。

數(shù)學(xué)書(shū)籍中的非洲圖形

對(duì)非洲藝術(shù)形式的研究并不流行，因?yàn)槿藗兤毡檎J(rèn)為非洲藝術(shù)只是感性的（不管這意味著什么）。這種觀念的根源或許是非洲人在20世紀(jì)60年代初發(fā)出的感嘆：“歐洲給了我們理性，非洲給了我們情感。”如果這句話(huà)是正確的，那么它將支持這樣一種觀點(diǎn)，即非洲的藝術(shù)表現(xiàn)形式幾乎純粹是感性的表現(xiàn)，而歐洲的藝術(shù)則更多地基于理性的思考。這種偏見(jiàn)仍然占主導(dǎo)地位，可能阻礙了許多人對(duì)非洲雕塑采取技術(shù)起草的方法。我們?cè)诖瞬挥懻撨@種說(shuō)法，因?yàn)橄旅娴睦忧宄卣f(shuō)明了相反的情況是完全可能發(fā)生的。

《數(shù)學(xué)教師》是美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)教師委員會(huì)出版的一本雜志，曾刊登過(guò)一些非洲插圖 （Zaslavsky，1970年）。該雜志強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)造性與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系，并將形式與特定的數(shù)學(xué)曲線進(jìn)行了比較（圖4.18和4.19）。

圖4.18：盧旺達(dá)Nyundo藝術(shù)學(xué)校使用的合理形式分析示例

圖4.19：來(lái)自雜志《數(shù)學(xué)老師》的兩幅插圖

來(lái)自雅溫得的Njock教授是一位非洲科學(xué)家，他對(duì)數(shù)學(xué)和藝術(shù)對(duì)非洲大陸的重要性持有強(qiáng)烈的看法（Njock，1976 年，1979 年）：

非洲藝術(shù)為世界打開(kāi)了黑非洲社會(huì)和文化歷史的基本視角:它塑造了兩千多年的歷史。[……]純數(shù)學(xué)是一門(mén)創(chuàng)造和想象的藝術(shù)。因此，黑藝術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的。事實(shí)上，它刺激整個(gè)人格，道德和認(rèn)知的可能性，想象力和創(chuàng)造性的態(tài)度。在分析黑藝術(shù)的貢獻(xiàn)時(shí)，人們不能忽視個(gè)人的知識(shí)，或者無(wú)數(shù)的情感和想象。[…]

公認(rèn)的教學(xué)理論指出了想象力和欣賞的巨大好處。人們最終會(huì)想到教育者所允許的自由藝術(shù)表達(dá)的重要性，通過(guò)自發(fā)的活動(dòng)表達(dá)自我和強(qiáng)調(diào)每個(gè)人的獨(dú)創(chuàng)性的必要性，證明人類(lèi)思想的創(chuàng)造性進(jìn)化的重要性，不僅作為藝術(shù)活動(dòng)的基礎(chǔ)，而且作為人類(lèi)生活的一個(gè)方面。黑藝術(shù)是宇宙文明宏偉結(jié)構(gòu)中最重要的部分之一。

幾何圖案

有些編織物的靈感似乎來(lái)自數(shù)學(xué)。加納的阿散蒂人在編織品中大量使用幾何圖案，象牙海岸和布基納法索也有許多類(lèi)似的編織品（圖 4.20）。

圖4.20：西非的織布機(jī)和縫紉機(jī)精細(xì)編織的織物

這里也有描述織物及其特殊名稱(chēng)的故事。因此，“之”字形邊線意味著旅行者將永遠(yuǎn)回家。不過(guò)，這些圖案并不總是從幾何圖形中獲得靈感，而往往是出于簡(jiǎn)單的實(shí)用性。例如，它們通常是在小型織機(jī)上織成的，這可能就是阿散蒂織品的飄帶的由來(lái)。之后，它們被簡(jiǎn)單地縫合在一起，形成較大的織物。一個(gè)有趣的現(xiàn)象是，現(xiàn)代非洲紡織品仍在模仿這些條紋圖案，盡管如今它們是一體成型的，因此沒(méi)有與小條紋相關(guān)的技術(shù)要求（圖 4.21、4.22、4.23 和 4.24）（Pauwels，1952年）。

圖4.21：模仿條紋圖案的現(xiàn)代阿散蒂布料

圖4.22：帶有抽象裝飾的盧旺達(dá)小屋內(nèi)景

圖4.23：Pauwels的盧旺達(dá)繪畫(huà)清單；數(shù)字表示相關(guān)說(shuō)明

圖4.24：盧旺達(dá)的傳統(tǒng)伊米貢戈畫(huà)

在國(guó)際上，阿散蒂的繪畫(huà)是最著名的，盡管它們?cè)诼曌u(yù)上可以與南非的繪畫(huà)相媲美。在中非，許多圖畫(huà)和圖案也可以在小屋周?chē)膰鷻谏稀⒒@子上、蓋子上、牛奶罐上和鼓的裝飾品上找到。

“純粹的"繪畫(huà)

比利時(shí)數(shù)學(xué)家塞利斯在盧旺達(dá)逗留期間曾想過(guò)，為什么幾何圖形、非具象圖畫(huà)比人物和動(dòng)物圖片或故事插圖更受歡迎（Celis，1972年）。他特別在該國(guó)東南部的一個(gè)偏僻地區(qū)觀察到了這一現(xiàn)象。該地區(qū)過(guò)去交通不便，因此人們認(rèn)為大多數(shù)圖畫(huà)都是原始的傳統(tǒng)概念，而不是與其他文化交流的結(jié)果，也不是持續(xù)文化融合的結(jié)果。

用所謂的伊米貢戈裝飾小屋的現(xiàn)象似乎可以追溯到大約300年前。口述描述了傳說(shuō)中著名的卡基拉·卡·基梅尼（Kakira ka Kimenyi）如何引入裝飾小屋墻壁的傳統(tǒng)（圖 4.25）。

圖4.25：上圖中的圖案

卡基拉·卡·基梅尼（Kakira ka Kimenyi）一生中的許多事跡表明，他對(duì)純潔的理念非常癡迷；他的牛被關(guān)在小屋里，也在那里宰殺，這樣就不會(huì)有蒼蠅飛到它們身上[......]他討厭泥濘，在大雨中坐在石頭上。他的整潔是如此傳奇，以至于 “isuku ni ya Kakira ”或“像 Kakira一樣整潔”成了一句諺語(yǔ)。

卡基拉擁有豐富的創(chuàng)作經(jīng)驗(yàn)，他制作這些畫(huà)作的目的無(wú)非是為了自己欣賞和保持整潔；他先是為父親制作這些畫(huà)作，[......]然后又為自己的小屋制作這些畫(huà)作。[......]他自己畫(huà)了這些畫(huà)后，鼓勵(lì)貴族少女們模仿他的想法。就這樣，畫(huà)作流傳開(kāi)來(lái)。

G. Celis 和 T. Celis 注意到，他們遇到的所有圖案都是由幾種基本結(jié)構(gòu)組合而成的。垂直和水平方向，加上三條斜線及其與垂直軸的對(duì)稱(chēng)方向，就足以構(gòu)成所有圖案。有了這八個(gè)方向，“伊米貢戈 ”就可以簡(jiǎn)化為幾種情況，只有平行線、菱形、等腰三角形和等邊三角形起作用。

巧合的是，這些幾何觀察結(jié)果導(dǎo)致某些圖畫(huà)因沒(méi)有遵循規(guī)定的規(guī)則而被視為非原創(chuàng)而遭到拒絕（見(jiàn)第12章）。還有人利用卡基拉規(guī)則為計(jì)算機(jī)編程，從而創(chuàng)造出傳統(tǒng)上正確的圖案。具有諷刺意味的是，以純粹著稱(chēng)的Kakira ka Kimenyi偏愛(ài)抽象，卻為數(shù)學(xué)這門(mén)“純粹”的科學(xué)做出了貢獻(xiàn)。

飾帶圖案與晶體學(xué)

J. 威廉姆斯為使用中國(guó)、阿拉伯和非洲繪畫(huà)來(lái)教授6-16歲的學(xué)生辯護(hù)：

晶體學(xué)研究的是按照對(duì)稱(chēng)組別對(duì)圖案進(jìn)行分類(lèi)，但多文化圖案和設(shè)計(jì)實(shí)例也能說(shuō)明這一點(diǎn)。扎斯拉夫斯基復(fù)制了一幅剛果巴庫(kù)巴人的刺繡布（現(xiàn)藏于大英博物館），其中完整地收集了7種不同的一維飾帶紋（即希臘神廟上的條狀線形圖案）。這些圖案與一維變換有關(guān)，如 180°旋轉(zhuǎn)以及水平和垂直反射。利用群論可以證明，這樣的圖案只能存在7種。

使用所謂的群論是一種更加數(shù)學(xué)化的欣賞非洲幾何圖形的方法，而不是對(duì)各種圖畫(huà)進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述性清點(diǎn)，解釋它們的形狀、目的或解釋。例如，數(shù)學(xué)家可以利用群論證明，就圖案的對(duì)稱(chēng)性而言，只有7種飾帶圖案是可能的；如果圖案中允許有一種顏色，那么可能性就會(huì)增加到24種。至于（非彩色的）二維圖案，即平面圖案，則有 17 種數(shù)學(xué)圖案是可能的。D. Crowe 研究了剛果巴庫(kù)巴人和貝寧人藝術(shù)中的重復(fù)圖案（Crowe，1975 年）。在飾帶圖案中，他發(fā)現(xiàn)了所有7種可能性的例子，但在平面圖案中，17種可能性中只有12種（圖 4.26）。

圖4.26：在貝寧可以找到所有7種數(shù)學(xué)上可能的飾帶圖案

非洲分形

在流行數(shù)學(xué)中，分形是眾所周知的，這可能是因?yàn)樗鼈兛梢杂闷恋膱D畫(huà)來(lái)表示，讓人聯(lián)想起云朵、蕨類(lèi)植物、菜花或迷幻MTV視頻的形狀。這一概念已有100多年的歷史，但多虧了法國(guó)人 B. Mandelbrot（移居美國(guó)），這一數(shù)學(xué)課題才得以擺脫數(shù)學(xué)象牙塔的束縛，得到媒體的充分關(guān)注（圖4.27和4.28）。

圖4.27：這種分形是為了紀(jì)念Benoit Mandelbrot而命名的，他在媒體中普及了這個(gè)話(huà)題

圖4.28：描述《非洲分形：巴伊拉聚落的分形解釋》一書(shū)的插圖

就像蕨類(lèi)植物的葉子一樣，分形也有這樣的特性，即放大后的新圖像與原圖像一模一樣。這種放大一直到無(wú)窮大，因?yàn)閷?duì)于分形來(lái)說(shuō)，較小尺度上的圖畫(huà)的定義來(lái)自較大尺度上的圖畫(huà)。這就是為什么分形的“觸角”看起來(lái)越來(lái)越小的原因。當(dāng)它們或多或少地覆蓋平面或填充空間時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生所謂的分形維度。對(duì)于表面上的分形曲線來(lái)說(shuō)，這個(gè)維度介于1（直線）和 2（表面的維度）之間，而對(duì)于空間分形來(lái)說(shuō)，這個(gè)維度介于2和3（空間的總維度）之間。例如，在一件非常保暖的毛衣中編織的線當(dāng)然是一維的，但它卻形成了一個(gè)幾乎是二維的交錯(cuò)曲面。分形似乎可以用非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表述來(lái)描述自然現(xiàn)象。

著名的非裔美國(guó)科學(xué)家本杰明·班奈克（Benjamin Banneker）使用了一種所謂的五邊形分形。在塞內(nèi)加爾，經(jīng)常可以看到這種分形圖案作為裝飾出現(xiàn)在脖子上的小皮包上。埃塞俄比亞的十字架是重新發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分形結(jié)構(gòu)的其他例子（圖 4.29）。

圖4.29：塞內(nèi)加爾皮包上的班奈克分形（上圖）和埃塞俄比亞十字架上的班奈克分形

不過(guò)，要在非洲人的發(fā)型或雕像上看到分形，還需要更多的想象力。當(dāng)然，只要這些分形在算術(shù)和幾何上是正確的（前面提到的黃金分割之謎就不是這樣），這樣的練習(xí)就沒(méi)有什么問(wèn)題。羅恩·埃格拉什寫(xiě)了一整本關(guān)于非洲分形的書(shū)。可以說(shuō)，許多非洲圖形的靈感都來(lái)自大自然和生活場(chǎng)景，因此這些圖形都包含了大自然的分形結(jié)構(gòu)（圖 4.30）。

圖4.30：用分形解釋非洲雕像

另一方面，大衛(wèi)·阿夫尼爾（以色列耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)）等科學(xué)家已經(jīng)證明，自然界的分形屬性是值得商榷的：很多時(shí)候只有兩個(gè)或三個(gè)尺度層次，而無(wú)限延續(xù)的可能性是分形定義的一部分。在埃格拉什所謂的非洲分形中，通常也最多只有三個(gè)層次。阿夫尼爾甚至親自寫(xiě)信給曼德布羅特，反對(duì)他對(duì)自然的分形解釋。他們的討論沒(méi)有得出明確的結(jié)論。帕特里克·福勒（Patrick Fowler）在私人信件中說(shuō)了一句風(fēng)趣的話(huà)：“為什么沒(méi)有一本關(guān)于'天主教分形'的書(shū)呢？因?yàn)樵谀承┳诮趟囆g(shù)中，圣人手捧圣母瑪利亞像，懷抱耶穌圣嬰。那也是分形藝術(shù)嗎？這樣的雕像能證明天主教藝術(shù)家在600年前發(fā)明了分形嗎？同樣，也許還有印度教或維京人的分形（圖 4.31）。

圖4.31：天主教、印度教和維京人的民族數(shù)學(xué)分形

因此，無(wú)論如何，這里有一個(gè)沙子曲線、繪制圖案和分形優(yōu)雅交匯的例子。格德斯運(yùn)用數(shù)學(xué)想象力，從非洲沙地曲線出發(fā)，首先將其轉(zhuǎn)化為繪畫(huà)圖案，從而得到了一個(gè)分形（圖 4.32）。

圖4.32：由簡(jiǎn)單沙粒曲線圖案得到的格德斯分形

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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