套路刷題無可覓，慧眼識全等

全等三角形的概念在人教版數學八年級上冊第12章，由全等形衍生而來，教材中給出的描述是“能夠完全重合的兩個三角形”，事實上我們對“全等”繼續追溯，可以和“相等”關聯起來，在小學階段，我們學過用相等來表示數量關系，包括兩個數字相等、兩條線段長度相等、兩個圖形面積相等……

然而描述圖形之間的這種等量關系時，我們引入了全等，其實線段也同樣可以用全等描述，長度相等的線段未必全等，區別就在于位置。

所以在學習全等三角形時，理解完全重合相對容易，然而面對不同位置下的兩個全等三角形，再去觀察能夠重合，是非常考驗學生的識圖能力的，于是我們為了幫助學生識圖，歸納了諸多全等三角形的模型，都是大家熟知的，例如倍長中線、一線三直(等)角、倍(半)角、手拉手等；模型本無錯，活學方活用，在教學中若是把它套路化，靠死記圖形去匹配題目，是一定學不好全等的。

有時，只要題目稍稍變化，套路刷題就現了原形。

題目

已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，點E在CB的延長線上，DC=BE，連接AE，過C作CF⊥AE于F，CF交AB于G，連接DG.

(1)求證：∠AEB=∠ACF；

(2)用等式表示CG，DG和AE的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)由∠ACB=90°得∠ACF+∠BCF=90°，再由CF⊥AE得∠BCF+∠AEB=90°，所以根據“同角的余角相等”得∠AEB=∠ACF；

02

(2)通常情況下，通過觀察發現這三條線段最長的是AE，先猜想另外兩條較短線段之和等于它，基于這個猜想，我們再開始尋找驗證方法；

我們先得將其中一條線段“搬”到最長線段AE上，而最佳搬運工非全等三角形莫屬，圖中的△ABC是等腰直角三角形，可以為我們提供一對相等的邊和一對相等的45°角，這都是可以作為全等條件直接使用的，然后尋找CG和DG所在的三角形，是否存在以前面已提供的條件為邊、角的呢？

我們看△BCG，包含CG邊，并且以BC為邊，它就是我們的“天選”全等三角形之一，其中CB的對應邊可能是CA，所以我們把目光放在包含邊AC的三角形上，并且還要能與△CBG完全重合，如下圖：

在AE上截取AH=CG，因為前期驗證已經找到了一個條件：CB=AC，利用第一小題的方法我們很快能找到第二個條件：∠BCG+∠ACF=90°，∠CAH+∠ACF=90°，則∠BCG=∠CAH；

現在可利用SAS證明△BCG≌△CAH，然后想辦法將剩下的DG也“搬”過來，即尋找DG與EH的關系；在第一次全等之后，我們又新增了條件BG=CH，則第二對全等三角形呼之欲出，如下圖：

由DC=BE得DB=EC，∠ACH=∠CBG=45°，所以HCE=45°=∠GBD，再次利用SAS證明△DBG≌△ECH，從而DG=EH，完成了最后的“搬運”；

綜上，AE=DG+CG.

解題思考

這道題給班上學生完成后，評價是兩極分化的，部分學生認為太簡單了，八年級小朋友就能夠完成，拿給九年級是小看他們了，還有一部分則認為全等三角形太難找了，完全不是熟悉的模型，摸不著頭腦；

雖然樣本有限，但也大體代表了目前學生中存在的這兩種典型情況，認為太簡單的學生，的確通過自已的經驗積累完成了對全等三角形任意位置的識別與構建，對他們而言，模型已經不重要了；而認為全等三角形難找的學生，就屬于識圖能力尚有欠缺，這些學生還有一個共同點，在教輔資料上學習相關模型時，非常順利，因為某個版塊標題就是某模型專題，那自然下面所有題目都會用這個模型，刷得不亦樂乎，于是認為自已懂了，于是“刷”到經驗了，于是這道題上栽了；

我們將題目中的△CBG繞點C逆時針旋轉90°，如下圖：

觀察上圖中的四邊形AMCH，不再解釋，繼續如下圖：

仍然不解釋，其實通過前面的證明，我們知道 CH這條線是∠ACB的角平分線，自然也會有CN是△ABC的“三線合一”，由此繼續拓展下去，什么模型都能夠出來。

那么回到最初的問題，為什么學生想不到？

至少在使用教輔時，或者教學時，能不能把那些標題屏蔽掉？或者說，辛苦一點自已把題目粘貼到課件中？

更應該做的一件事，就是在進行專題講解時，最后出示標題，最好的模型，并不是教師開課2分鐘就板書在黑板上的名稱，而是下課前5分鐘的學生大腦里的經驗。