新定義“共同體函數”

淺談數學分類思想

我們在學習數學的過程中，經常遇到需要分類的情形，在2022版新課標課程學業質量標準表述中，不同學段都有對分類的要求，從小學課堂上“分一分”，到初中課堂上的分類討論，體現了義務教育階段數學教學中，分類思想的重要性。

分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。 分類以比較為基礎，比較是分類的前提，分類是比較的結果。 分類討論思想，貫穿于整個中小學數學的全部內容中。

即使在高中學段，它的重要性仍然不可替代，下面以一道高中自主招生壓軸題為例進行說明：

題目

解析：

01

(1)簡單描述為，一個函數，在某個范圍內存在最大值和最小值，它們差的一半即為新函數——共同體函數。

從圖象上來解讀，一段有限的函數圖象，分別存在最高點和最低點，這兩點之間距離的一半作為新的函數——共同體函數。

①對于函數y=4044x，這是一次函數，圖象是一條直線，當t=1時，自變量的范圍為1/2≤x≤3/2，由一次函數增減性，當x=3/2時取最大值M=6066，當x=1/2時取最小值N=2022，所以此時共同體函數h的值為2022；

②對于函數y=kx+b，這仍然是一次函數，但由于一次項系數未知，因此增減性不明，所以需要分類討論：

當k>0時，y隨x的增大而增大，所以當x=t+1/2時取最大值M=k(t+1/2)+b，當x=t-1/2時取最小值N=k(t-1/2)+b，于是h=(M-N)/2=k/2；

當k<0時，y隨x的增大而減小，所以當x=t-1/2時取最大值M=k(t-1/2)+b，當x=t+1/2時取最小值N=k(t+1/2)+b，于是h=(M-N)/2=-k/2；

02

(2)現在y=2/x是反比例函數，并且是第一象限內的一支，它的增減性是明確的，即y隨x的增大而減小，此時需要考慮的是給出的范圍x≥1，由于共同體函數本身也存在范圍，左邊界t-1/2應該在1的右側，所以應該首先明確t的取值范圍，即t-1/2≥1，解得t≥3/2；

當x=t-1/2時取最大值M=2/(t-1/2)，當t=t+1/2時取最小值N=2/(t+1/2)，所以h=(M-N)/2=4/(4t2-1)；

在t≥3/2前提下，h>0，我們利用小學時分數大小比較的方法來判斷如何取最值：

分子一定，分母越小，分數越大。

4t2-1如何取最小值？考慮到這是一個二次多項式，利用二次函數最值探究方法，當t=3/2時4t2-1取最小值8，所以此時h=1/2；

03

(3)對于二次函數y=-x2+4x+k=-(x-2)2+k+4，增減性更復雜一些，對稱軸是x=2，最大值是k+4，根據對稱軸兩側增減性情況不同，所以又需要分類討論：

確定分類依據前，需要明確的是對于區間t-1/2≤x≤t+1/2而言，是否包含對稱軸x=2，以此為依據，初分三類：對稱軸在區間右側，對稱軸在區間內，對稱軸在區間左側，對于第二類對稱軸在區間內的情況，最大值可確定，但最小值需要比較兩個邊界點函數值大小，因此又細分為兩類：左邊界值最小、右邊界值最小；

總共4種情形，分別討論如下：

第一種：對稱軸在區間右側，如下圖：

此時t+1/2≤2，解得t≤3/2，M=-(t+1/2-2)2+k+4=-(t-3/2)2+k+4，N=-(t-1/2-2)2+k+4=-(t-5/2)2+k+4；

所以h=1/2(M-N)=2-t，由t的取值范圍可知h≥1/2，當t=3/2時，h取最小值1/2；

第二種：對稱軸在區間內且左邊界點取最小值，如下圖：

此時區間中點t在2的左側，即t≤2，同時滿足t+1/2>2，所以t的取值范圍是3/2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-5/2)2，對于函數h而言，開口向上，對稱軸是t=5/2，在t的取值范圍內，t=2最接近對稱軸，所以t=2時，h取最小值1/8；

第三種：對稱軸在區間內且右邊界點取最小值，如下圖:

類似第二種，此時區間中點t在2的右側，即t>2，同時滿足t-1/2<2，所以t的取值范圍是2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-3/2)2，對于函數h而言，開口向上，對稱軸是t=3/2，在t的取值范圍內，t=2最接近對稱軸，所以t=2時，h取最小值1/8，但t的取值范圍中并不包含t=2，所以無法取最小值；

第四種：對稱軸在區間左側，如下圖：

此時t-1/2≥2，解得t≥5/2，M=-(t-1/2-2)2+k+4=-(t-5/2)2+k+4，N=-(t+1/2-2)2+k+4=-(t-3/2)2+k+4；

所以h=1/2(M-N)=t-2，由t的取值范圍可知h≥1/2，當t=5/2時，h取最小值1/2；

綜上，四種情形討論完畢，對于函數h而言，總共有兩個最小值1/2和1/8，再取其中更小的最值1/8，根據題意，1/8=k+4，解得k=-31/8.

解題思考

本題難點在于第3問中t的取值范圍如何分段，解法中采用的是四段，分別是t≤3/2，3/2

作為數學里重要的分類思想，義務教育階段采取由淺入深的方式去培養，在小學低年段課堂上，一般采用“分一分”，并沒有刻意強調分類依據，而是讓學生根據自已的生活經驗和已有的數學經驗去分，只要合理都值得肯定，在這個基礎上，隨著數學學習的深入，對于數學比較有了更多方式之后，才開始確定分類依據，實現“按要求分類”，在此之后，分類思想才生長得更快，初中學段，無論是有理數分類、實數分類、線段分類、角分類、三角形分類等，其最底層的經驗，來自一二年級時的“分一分”，通俗點講，學生先學會用經驗去分，再學會有依據地去分。如果學生面臨一個數學問題探究時，沒有想到去分類，說明在前面的學習過程中，積累的經驗不足，這需要我們在課堂上充分調動學生動手動腦，解決“分不分”的問題；

關于分類的原則，前面提到的一個非常重要的原則是不重復不遺漏，這恰恰在初中學段，學生容易犯這種錯誤，首先這需要學生嚴密的數學邏輯，我們在課堂上需要以身示范，用正確的邏輯去教學，其次需要學生對數學概念理解更深，直至本質，才能準確進行比較，從而解決“分得對不對”的問題。