想象這樣一個場景：

你正在參加一個游戲節目。主持人指著面前的三扇門，告訴你：其中一扇門后面是一輛全新汽車，另外兩扇門后面各藏著一只羊。你需要選擇一扇門。

假設你選擇了1號門。這時，主持人（他知道每扇門后面是什么）打開了2號門，露出了一只羊?，F在他給你一個機會：你要堅持自己的選擇，還是換成剩下的3號門？

大多數人會選擇堅持原來的選擇，這往往源于純粹的心理因素。而那些試圖用邏輯思考的人則會得出"換不換都一樣"的結論。

畢竟現在只剩下兩扇門了，似乎我們并不知道哪扇門后面有汽車...但，真的是這樣嗎？

事實上，最優策略是換門！而且換門會讓你的獲勝概率直接翻倍！

這就是著名的蒙提霍爾悖論。

雖然這個問題已經被數學證明，答案也被廣泛接受，但它仍然是一個常常引起爭議、讓人困惑的話題。

普通的解釋往往只會讓質疑者更加困惑。

所以在這篇文章中，我將深入探討其中的原因，這可以看作是一個"解釋的解釋"。

歷史背景

這個問題的名字來源于美國60年代一個叫《讓我們做個交易》的游戲節目主持人蒙提·霍爾。

在原版節目中，游戲規則并不像現在這個數學問題那么嚴格。有時候主持人會提供現金讓選手放棄換門的機會，有時候他的行為也會受到電視效果的影響。

1990年，專欄作家瑪麗蓮·沃斯·薩凡特在她的"問瑪麗蓮"專欄中，將這個場景簡化成了一個數學問題：主持人總是會顯示一只羊，并且總是會給出換門的機會。

結論是：換門能將獲勝概率從1/3提升到2/3。

這個結論立即引發了軒然大波。許多教授、數學家和懷疑論者紛紛寫信指責她的錯誤。即便在看到詳細的數學證明后，依然有人拒絕接受這個結論。

敘事與數學的對決

從本質上來說，蒙提霍爾問題是直覺和抽象思維的較量。

當我們遇到這種情況時，我們的思維很自然地會被拉向敘事的方向——關注情景中的人性化因素，比如"主持人是不是在耍我"之類的問題。

這些都是很自然的疑問，但它們實際上混淆了問題的本質。

數學模型并不關心主持人的動機或者你的信任問題。它們是抽象的，是經過簡化的模型，目的是揭示潛在的概率關系。它們剝離了人類行為的復雜性，給出明確的答案。

在現實世界中，我們可能需要考慮這些心理因素。

但在這個悖論中，唯一找到答案的方法就是相信抽象模型。

要理解這個解決方案，我們必須理解游戲的嚴格規則，并且同意解決抽象問題就等于解決了原始問題。以下是規則：

1. 有三扇門，一扇后面是汽車，兩扇后面是羊
2. 你選擇一扇門
3. 主持人必須打開一扇不同的門來展示一只羊
4. 你可以選擇換到剩下的那扇門

重要的是，在這個版本中，主持人可以被視為一個機器人。

（我們可以添加規則3.1：如果主持人可以在你沒選的門中打開任意一扇展示羊，他總是選擇號碼更小的那扇門或拋硬幣決定。這種機械的選擇不會改變獲勝的概率。）

在文章開頭的版本中，規則3并沒有被明確說明。

然而，主持人知道汽車的位置并且被迫打開一扇有羊的門（而且不是你選的那扇）這個事實是整個問題的關鍵！

所以，要理解為什么換門更好，你必須接受這些就是游戲規則。

100扇門，99只羊

讓我們看看瑪麗蓮·沃斯·薩凡特最喜歡的解釋方式——"100扇門，99只羊"版本。

這個解釋通過放大問題規模來使邏輯更直觀?？鋸埖膱鼍坝兄谕怀鰹槭裁磽Q門是更好的選擇。

來看看：

假設現在有100扇門，你知道其中一扇后面是一輛新車，其他99扇后面都是羊。主持人讓你選擇一扇門。你選擇了1號門。

接下來，主持人開始打開門，每打開一扇門都露出一只羊。他從2號門開始，一直開到100號門。有趣的是，他跳過了29號門沒開。

現在他給你一個機會：換到29號門，或者堅持你最初的選擇。你會怎么選？

大多數人都承認，在99扇門中特意跳過一扇不開，這個行為足以說服他們換到那扇門。

但是這個解釋也有一個問題。

它需要抽象思維能力，需要能夠將一個場景的洞見轉移到另一個場景。雖然放大問題規模突出了換門的壓倒性優勢，但它要求聽眾能夠認識到100扇門場景的邏輯同樣適用于3扇門的版本。

這對很多人來說并不直觀。

許多人會關注具體的數字或者100扇門的特殊設置，而不是理解概率重分配的核心原理。

如果不能在夸張的例子和原始問題之間架起橋梁，這個"100扇門，99只羊"的解釋對那些難以泛化抽象概念的人來說可能感覺脫節且無說服力。

窮舉分析

另一個常見的解釋方法是詳細列出所有可能的情況——這種方法叫做窮舉搜索。通過展示每種可能的組合及其結果，這種方法讓答案變得無可爭議。

通過詳細的列表，一個清晰的模式就會顯現出來：

• 在1/3的情況下，堅持原選擇會贏（當你的初始選擇恰好正確時）
• 在2/3的情況下，換門會贏（當汽車在你最初沒選的兩扇門之后時）

這個解釋非常具體。然而，即便是這種解釋方法也有其局限性。

窮舉搜索需要檢查每一種可能的情況。雖然邏輯嚴密，但案例數量可能令人感到繁瑣，有些人可能會忽視其中的規律。

即使看到了這些，許多人仍然堅持認為在主持人顯示一只羊后，剩下兩扇門的概率應該是50:50。窮舉搜索可以顯示這是錯誤的，但它并不能解釋為什么——這讓一些懷疑者仍然無法信服。

模擬實驗：最直觀的證明

如果思考99只羊或者窮舉分析讓你感到乏味，那么還有另一種解決蒙提霍爾問題的方法：運行模擬實驗。

這種方法不需要高深的數學知識——只需要讓計算機模擬數千次游戲，然后統計換門和不換門的獲勝次數。

就連著名數學家保羅·埃爾德什，以其對直覺論證的懷疑而聞名，據說也是在看到模擬結果后才被說服的。而且你不需要成為數學家就能運行這樣的實驗。

通過簡單的在線搜索，任何人都能找到工具在幾分鐘內模擬上千次蒙提霍爾問題。

在一次2000次的模擬中，結果顯示：

堅持原選擇：贏得概率約33%

選擇換門：贏得概率約67%

這個結果完美印證了理論預測的1/3和2/3概率。

模擬實驗是一種直接、務實的方式來證明換門的優勢。它超越直覺，專注于冷酷的結果數據。這是經驗科學的勝利！

然而，即便是模擬實驗也有其批評者。

模擬可以告訴你換門更好，但它不能告訴你為什么。對于那些尋求更深層理解的人來說，單純的數字可能讓你感覺不夠滿意。

你的選擇與其他選項

另一種解釋蒙提霍爾悖論的方法是將問題重新框定為"你的初始選擇"與"其他所有選擇"之間的對比。這種方法關注的是換門實際上給了你所有未選門的優勢。它簡化了概率，突出了為什么換門是更好的策略。

在你做出選擇后，主持人打開了另外兩扇門中的一扇來展示一只羊。這個行為并不改變你初始選擇的概率：

• 你選擇的門后面有車的概率仍然是1/3
• 車在另外兩扇門后面的2/3概率并沒有消失。相反，主持人的行為將這個概率集中到了剩下的那扇未開啟的門上

如果你在游戲開始前就決定要換門，這就相當于在說："我不相信我的初始1/3概率選擇。

相反，我要賭車在另外兩扇門中的某一扇后面。"由于主持人總是會從那對門中顯示一只羊，你的換門策略保證了你能"繼承"這兩扇門的組合概率2/3在他的展示之后。

這就是為什么換門更好。因為這不僅僅是關于選擇單個門，而是關于利用主持人的展示來獲得兩扇未選門的組合概率。

然而，這種方法可能會讓懷疑者覺得游戲被操縱或抽象成了別的東西。

人們直覺上會將門視為獨立的個體，而不是群組。

換門能讓你獲得"兩扇"未選門的好處這個想法感覺像是一個把戲——畢竟，主持人只留下了一扇未開啟的門，它怎么能代表兩扇門的機會呢？

貝葉斯推理

在統計學家中最受歡迎的解釋是貝葉斯方法。它不會遺漏任何細節。

然而，你需要知道——或者至少相信——基于新信息更新概率必須使用貝葉斯定理。

對于任意兩個陳述"A"和"B"，貝葉斯定理可以表示為：

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

等式左邊表示：在已知B的條件下A的概率。B通常是我們已知為真或剛剛發現為真的事情。為了便于討論，讓我們假設我們選擇了1號門，剛剛發現主持人打開了3號門顯示了一只羊。

所以，我們想知道在主持人打開3號門的條件下，2號門后面有車的概率。要計算這個，我們需要使用貝葉斯定理。為此，我們需要知道等式右邊的三個概率。

首先，計算過程如下：

P(車在2號門|主持人開3號門) =

P(主持人開3號門|車在2號門) × P(車在2號門) / P(主持人開3號門)

= 1 × (1/3) / (1/2)

= 2/3

我們是如何得到這個結果的？讓我們逐步分析：

1. 如果車在2號門后面，主持人打開3號門的概率是1。在這種情況下，主持人別無選擇。
2. 車在2號門后面的無條件概率——所謂的先驗概率——是1/3。這是最初猜中正確門的概率。
3. 最后一個概率是主持人打開3號門的概率，但是(!)不考慮車的位置信息。如果我們假設主持人不知道車在哪里，他打開2號門或3號門的概率各是1/2。

就是這樣！將這些數字代入貝葉斯定理揭示了我們沒選的那扇門后面有車的概率是2/3。也就是說，我們應該換門！

現在，你可能會認為同樣的計算也適用于車在1號門（你最初的選擇）后面的情況。但是不是！后兩個概率是相同的，但第一個不是。

P(車在1號門|主持人開3號門) =

P(主持人開3號門|車在1號門) × P(車在1號門) / P(主持人開3號門)

= (1/2) × (1/3) / (1/2)

= 1/3

當車在1號門（你的初始選擇）后面時，主持人打開3號門的概率不是1。在這種情況下，主持人確實有選擇——他可以打開2號門或3號門。

因此，這個概率是1/2，計算結果顯示你最初選擇的門后面有車的概率仍然是1/3。

當然，要理解所有這些，你需要按自己的節奏仔細思考，可能還需要自己重新從頭計算一遍。但是如果你這樣做了，你一定能理解。

為什么有些人永遠不會理解

問題不在于數學，而在于我們的思維方式。

蒙提霍爾悖論迫使我們要推翻關于公平性、隨機性和概率的根深蒂固的直覺。大多數人本能地認為在主持人揭示后所有選項必須是同樣可能的，因為這感覺更公平。

信息（主持人的揭示）能改變概率而不改變物理設置這個想法是極其反直覺的。

對于那些信任抽象思維并堅持數學邏輯的人來說，答案是明確的：換門會贏。對于那些無法或選擇不從敘事中脫離的人來說，任何解釋都永遠不夠。

但這不僅僅是一個游戲。蒙提霍爾悖論是我們處理生活問題方式的縮影。當面對復雜情況時，我們的本能往往會誤導我們。

抽象、簡化和數學推理是幫助我們穿透噪音的工具，即使它們與我們的直覺相沖突。