解析：

1．解題思路

對于輸入的字符串s，分別找出長度為2和3的最小子串。子串必須是連續的，需要遍歷所有可能的連續子串，然后比較它們的字典序。

對于長度為2的情況，假設字符串長度是n，那么可能的子串有n-1個。每個子串是s[i]和s[i+1]。我需要比較所有這些子串，找到字典序最小的一個。同樣，長度為3的話，子串有n-2個，每個是s[i],s[i+1],s[i+2]。

在C++中，如何生成子串？使用substr函數，第一個參數是起始位置，第二個參數是長度。例如，s.substr(i, 2)就是取從i開始的2個字符的子串。

當n是1e5的時候，每次substr都要復制字符，對于長度為2的子串，復制兩個字符，對于長度為3的復制三個。循環次數是O(n)，所以總的時間復雜度是O(n) * O(k)，其中k是子串的長度。對于k=2或3來說，這應該還是可以接受的，因為總的時間是O(n*2 + n*3) = O(n)，對于n=1e5來說，是可以的。

但是，有沒有可能優化？比如，不生成子串，而是直接比較字符？

對于長度為2的最小值，記錄其起始位置i，在每次比較時，比較當前i的兩個字符和當前最小值的兩個字符。

或者，維護一個當前最小的兩個字符，比如char a和char b，初始為'z'和'z'。每次比較s[i]和s[i+1]與當前的a和b：

如果s[i] < a，那么無論第二個字符如何，當前子串更小?；蛘撸攕[i] == a，但s[i+1] < b，則更小。

這樣，可以避免構造子串，直接比較字符。

例如：

處理長度為2的子串：

初始化min2的兩個字符為'z'和'z'。

for (int i=0; i<=n-2; ++i) {

char c1 = s[i], c2 = s[i+1];

if (c1 < min_c1 || (c1 == min_c1 && c2 < min_c2)) {

min_c1 = c1;

min_c2 = c2;

然后，將min_c1和min_c2組合成字符串輸出。

字符串長度為3 的也是同理。

考點

字符串處理：

如何高效地遍歷和處理字符串數據。

提取子串的操作。

字典序比較：

理解字典序的概念，并能夠進行字符串之間的字典序比較。

邊界條件處理：

處理字符串長度不足2或3的情況（但題目已保證字符串長度至少為3，所以這里主要是考慮代碼健壯性）。

效率優化：

由于字符串長度可能達到10^5，需要確保算法的時間復雜度是線性的或接近線性的，以避免超時。

2. 解題思路

首先通過數據范圍可以看到n,m的值為1e9,如果通過遍歷每個點來求邊數，那么肯定會超時，只能得到n，m≤100 這部分的分值。如果想通過就必須用數學方法或者公式來處理。

1. 先看點數。原來的總點數是n*m，然后減去障礙的數量k。，所以點數應該是n*m - k。

2. 接下來是邊數的問題。每個邊是否存在的條件是兩個相鄰的點都存在。所以需要計算所有可能的相鄰邊，然后減去那些因為至少一個點是障礙物而無法存在的邊。在網格圖中，橫向的邊數目是n*(m-1)，每行有m-1條橫向邊，總共n行?？v向邊數目是m*(n-1)條。總的邊數是n*(m-1) + m*(n-1)。

3. 現在的問題是計算這些被障礙物影響的邊數目。每個障礙物會影響四個方向的邊：上、下、左、右。如果一個障礙物的周圍點也是障礙物，或者越界，對應的邊本來就不存在，因此要逐個障礙物檢查周圍的四個方向是否存在可能的邊，并統計這些邊是否被移除

(1) 統計所有水平邊中被阻擋的數目：即對于每個水平邊（i,j）-（i,j+1），如果至少有一個端點被阻擋，則這條邊不存在。同樣處理垂直邊。

(2) 同樣的，對于垂直邊（i,j）-（i+1,j），如果至少有一個端點被阻擋，則這條邊不存在

另外，由于障礙數量相對較少，我們可以通過哈希表（或數組，如果障礙坐標范圍有限）來快速判斷一個位置是否為障礙。

考點

數學計算：

如何通過數學公式計算出網格圖上的總點數和總邊數。

如何根據障礙的位置調整點數和邊數。

數據范圍處理：

如何處理大數據范圍（如n和m達到10^9）下的計算問題。

如何高效地存儲和處理障礙位置信息。

邊界條件處理：

當網格圖上沒有障礙時（k=0）的特殊情況處理。

當障礙數量很多時，如何避免重復減少同一條邊。

算法效率：

如何確保算法的時間復雜度足夠低，以處理大數據量的輸入。

3.解題思路

這個問題是一個典型的0/1背包問題的變種，我們需要在滿足容量限制的情況下，最大化去兩個地點的人數之和。我們需要對每個班級做出決策，使其去第一個地點或第二個地點，以最大化滿足學生意愿的總人數。

具體步驟如下：

定義狀態：

使用動態規劃數組 dp[i][j][k] 表示前 i 個班級中，第一個地點安排了 j 人，第二個地點安排了 k 人時，能滿足的最大意愿人數。

但由于三維數組空間復雜度較高，可以優化為二維數組 dp[j][k]，其中 j 和 k 分別表示兩個地點的當前人數。

狀態轉移：

對于每個班級，有兩種選擇：去第一個地點或第二個地點。

如果第 i 個班級去第一個地點，則 dp[j + a[i]][k] = max(dp[j + a[i]][k], dp[j][k] + a[i])

如果第 i 個班級去第二個地點，則 dp[j][k + b[i]] = max(dp[j][k + b[i]], dp[j][k] + b[i])

初始化：

dp[0][0] = 0，表示沒有班級安排時，滿足人數為0。

結果查找：

遍歷 dp[A][B] 及其附近的值，找到最大的滿足人數。

記錄路徑，即每個班級的選擇。

處理無解情況：

如果最終找到的最大值小于等于初始值（即沒有任何班級被安排），則輸出 -1 和 error。

考點：

動態規劃：掌握如何根據子問題構建動態規劃數組以及狀態轉移方程。

背包問題變種：理解0/1背包問題的變種，如何在有限資源下最大化某種指標。

邊界條件處理：如何判斷是否存在合法解。

狀態記錄與回溯：在動態規劃中找到最優解后，如何回溯得到具體的方案。

4.解題思路

這個問題可以看作是一個動態規劃或前綴和與哈希表結合的問題，關鍵在于如何高效地判斷一個連續子數組的和是否是某個給定數 p 的倍數。

方法一：動態規劃（可能超時，適用于小規模數據）

我們可以使用一個二維動態規劃數組 dp[i][j]，其中 i 表示考慮到第 i 個糖果，j 表示當前糖果分配后，剩余糖果甜蜜度之和模 p 的結果。狀態轉移方程可能比較復雜，而且這種方法的空間復雜度和時間復雜度都可能很高，不適合大規模數據。

方法二：前綴和與哈希表（更高效）

計算前綴和：

首先，我們計算糖果甜蜜度的前綴和數組 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示前 i 個糖果的甜蜜度之和。

使用哈希表記錄余數出現的位置：我們遍歷前綴和數組，并計算每個前綴和模 p 的余數。我們使用一個哈希表 remainder_map 來記錄每個余數第一次出現的位置。

判斷連續子數組的和是否為 p 的倍數：對于每個位置 i，我們檢查 prefix_sum[i] % p 的相反數（即 (p - prefix_sum[i] % p) % p，這里取模是為了處理負數情況）是否在哈希表中出現過。如果出現過，說明存在一個之前的位置 j（j < i），使得 prefix_sum[i] - prefix_sum[j] 是 p 的倍數，即 a[j+1] + a[j+2] + ... + a[i] 是 p 的倍數。

更新最大小朋友數量：我們維護一個變量來記錄最多能有多少位小朋友高興，每次找到一個符合條件的連續子數組時，就嘗試更新這個變量。

考點

前綴和與哈希表的應用：如何結合前綴和與哈希表來高效地解決問題。

模運算的性質：如何處理模運算，特別是處理負數取模的情況。

數據結構的選擇：在大數據量情況下，如何選擇合適的數據結構來存儲和查詢信息。

多組數據的處理：如何編寫能夠處理多組數據的代碼。

5．解題思路

這個問題要求我們在一個環形數組上進行切割，使得切割后的每段子數組的和的最大公約數最大化，并且需要對每個可能的切割段數 k（從1到 n）都求出這個最大化的最大公約數。

由于數組是環形的，我們可以將其復制一遍接在后面，這樣在處理邊界情況時就可以簡單地看作是在一個線性數組上進行切割，而不需要考慮環形的問題。

暴力求解思路：

對于每個可能的分段數k，枚舉所有可能的分段方式。

計算每段的和，然后求這些和的最大公約數。

更新最大公約數的最大值。

這種方法的時間復雜度是指數級的，因為對于每個k，都有大量的分段方式需要枚舉，不適合處理大規模數據。

優化思路：

觀察到最大公約數具有性質：如果兩個數a和b的最大公約數是g，那么對于a和b的任意倍數ma和mb，它們的最大公約數仍然是g的倍數（或g本身）。

因此，我們不需要枚舉所有可能的分段方式，而是可以枚舉所有可能的和（或和的倍數），然后求這些和的最大公約數。

可以使用前綴和數組來快速計算任意區間的和。

然后，利用輾轉相除法（歐幾里得算法）來求這些和的最大公約數。

實現步驟：

計算數組的前綴和。

對于每個可能的分段數k，枚舉所有可能的起點，然后計算每段（長度為n/k，向上取整或根據余數調整）的和。

使用歐幾里得算法求這些和的最大公約數。

考點

前綴和數組：

用來快速計算任意區間的和。

這是一個常用的數組處理技巧，特別是在需要頻繁計算區間和時。

歐幾里得算法：

用來求兩個數的最大公約數。

這是數論中的基礎知識，也是算法競賽中常用的技巧。

時間復雜度優化：

如何在保證正確性的前提下，盡可能減少算法的時間復雜度。

這需要對問題進行深入的分析，并找到問題的本質特征，從而設計出更高效的算法。

數組處理：

如何高效地處理數組數據，包括數組的遍歷、修改和查詢等。

這是編程中的基本技能，也是解決很多問題的關鍵。

數論知識：

最大公約數、最小公倍數等數論基礎知識。

這些知識在算法競賽中經常出現，需要熟練掌握。