正整數空間01

摘要：本文用初等的方法，初步探討研究了正整數（數論）里面的一部分規律。是利用幾組等差數列公式，獲得了自然數規律探討的一套理論體系。并且對哥德巴赫猜想、孿生素數對猜想的證明有了結果。最后還有對自然數規律更深入研究的擴展公式。本文最核心的基本理論就是“正整數空間”的概念。

關鍵詞：素數分布規律；正整數空間的概念；項素數公式；哥德巴赫猜想；孿生素數對猜想。

引言

在這個宇宙里，有兩樣東西就像房屋的骨架一樣重要。一個就是數，另一種就是幾何圖形。而數字和幾何圖形的相互關聯，在遠古人類智慧的初期就已經開始使用和研究了。比如“河圖洛書”、“易經八卦”和勾股定理等等。

早在公元前300年左右，古希臘數學家歐幾里得就把前人使用地幾何經驗，總結整理上升到了理論的高度，寫了一部書名字叫《幾何原本》。

正整數在幾千年來，人類雖然不斷地研究探討，形成一門數學領域里的分支就是“數論”。但是始終沒有一個工具用“初等的研究方法”對正整數的規律進行理論研究和探討。

近300年來世界級的大數學家們也對自然數進行了艱難地探索，雖然有了一門古老的數學《數論》，就是研究自然數里面的規律的。但是它的研究方法過于高深和復雜了，以至于許多問題一般人都無法學習和研究。

我這里給出一個初等的方法，研究正整數里面的規律。就是“正整數空間”的概念及其定義。本文包括三大部分，一是基礎理論部分；二是理論的應用；三是對正整數空間理論發展的展望。

1．基礎理論部分

1.1． 數論里基本問題的提出

1.1.2． 數論幾個基礎概念

1.1.2.1. 正整數的分類是：

單位：1

素數：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素數的定義：一個大于1的正整數，如果它僅有的“因子”是1和它自己，這個數就是素數，反之就是合數。

1.1.2.2. 歐幾里得用優美的證明證明了，在正整數里面的素數是無窮多的。

1.1.2.3 .在數論中最核心，最基礎的數論問題，就是這三個問題問題：

第一，合數與素數產生的原因；

第二，有沒有直接的“素數公式”？

第三，素數在自然里的分布規律。

1.1.3.面臨的難題與問題

1.1.3.1. 關于素數公式的探索

數和幾何圖形始終是人類文明起源最核心的知識之一，而幾何圖形以及幾何計算，人類在兩千年前就已成熟了。但是正整數里面的規律，人類至今都沒有形成一個好的知識體系，而被搞得復雜不堪，形不成一個完整的科學體系。主要原因就是人們費了九牛二虎之力，也沒有找到素數在自然數里面的規律，就是數學家們在一直尋找那個并不存在的“素數公式”。到目前為止除了我的研究有了成果，其他古今中外的數學家，在這方面的研究都是失敗的。

比如費馬和梅森公式等等。

還有就是這種n^2-n+41和n^2-79n+1601 形式的公式，都是隨著n的增大而出現合數。所以都不是“一般性的素數公式”。

其實“素數公式”不一定非要存在，不存在也是它自身的客觀規律，沒必要人為的找見它。但是有一個錯誤的觀點，尋找素數在自然數里面的規律，有些人用“概率”的方法，其實這是嚴重的錯誤。素數在自然數里的分布不是沒有規律，不是概率分布而是有自己特殊的規律。

所以用“高斯素數定理”既x/LnN，研究素數的分布規律是有局限性的。

1.1.3.2. 關于等差數列表示素數的問題

我們知道數學家們知道一些等差數列是含素數的（用等差數列表示素數），但是他們無法證明這些等差數列的性質，不知道這些等差數列里面的素數分布規律，素數是不是有無窮多的？他們也不知道這些等差數列之間的相互關系。把這個問題看成是一個高深的問題，其價值遠遠大于“哥德巴赫猜想”和“孿生素數對猜想”。

看圖片一和圖片二。

比如數列5N+2這是一個含素數數列，它可以是2、7、12、17……里面是有素數的，但是無法判斷這些素數是不是無窮多的，無法判斷它與其它數列之間的關系。比如數列里面的7可以用N+7、2N+5、3N+4等等無窮多的數列形式來表示，這是混亂的，毫無價值的。只有我們把5N+2數列放進“多維自然數空間”5N+A中，這個數列才會有意義。

自然數空間5N+A可以有五個數列一組，代表著全部自然數，如下表（圖三）

從表格中我們不用證明就會看到，含素數數列5N+1、5N+2、5N+3、5N+4四個數列中的素數都是有無窮多的。

1.2．正整數空間概念的出現和它的意義

1.2.1 正整數空間概念的出現過程

2001年我從國企下崗了。2002年上半年沒去打工，而是關在家里寫科幻小說。幻想著靠寫科幻小說喝碗稀粥養活自己就行了。既然要寫科幻小說就必須讀科普讀物。中學時期我對自然和數理化就感興趣，大學期間也讀過《數論》，沒看懂就把書扔了。平時也讀了不少科普書籍和科幻小說，參加工作后也買了不少這方面的書籍看著玩，當時重新拿出來閱讀尋找寫作的靈感。

許多科普書里都提到了“數論”里面的問題，立馬又被這些問題所吸引了。我想不論“哥德巴赫猜想”、“孿生素數對猜想”、“勒讓德猜想”，什么“費馬大定理”等等，數學家們都是在“自然數的內部”來試圖解決問題，我想是不是應該到“自然數的外部”去觀察自然數有什么規律？如果找到了這個“規律”，這些問題不就好解決了嗎？我們搞工科的有一個實踐經驗，那就是“干什么活必須要有什么專用的工具”。數學也一樣，一些難題解決不了，往往是缺少“理論工具”，必須首先找到這個理論工具才行。

關于什么是“自然數外部”和“自然數內部”？一些人恐怕不好理解，因為沒有這個概念。數學就是一種思想，就是一種思維方式，就是“數學思維”能力。這些牽扯到了哲學和邏輯，關系到個人的思維方式問題。

什么是“自然數內部”和“自然數外部”？我試著解釋一下，也可能會“言難達意”，我盡力吧。

我們用“第三視角”觀察問題，就是在事物的外面看事物的全貌。數學也一樣，數學家們都是在“數學內部把正整數看成是一個整體”，他們在研究正整數的“局部問題”。如果你在“正整數的外部”把正整數看成是一個整體，而找正整數的整體規律，這就是在正整數的外部。這也是在正整數的內部和外部之分。

站在正整數的外面尋找正整數的規律，我幾乎冥思苦想了三天三夜，終于有一天夜里，在衛生間看著墻上的瓷磚得到了靈感。請看圖四。

這個靈感似乎來自“高維空間”，就是在我眼前出現一個“亮點”，越來越大：“所有的正整數都可以用1、2、3三個等差數列一組來表示”。

自然數空間的概念就是這樣得到的（圖五、圖六）。

1.2.1. 正整數空間概念的意義

1.2.2.正整數空間

為了研究問題的方便，我們不再使用等差數列的教科書的形式，而采用KN+A的形式表示等差數列。其中只要K與N互素，這個等差數列就是“含素數數列”，數列所含的素數都是無窮多的，這不需要證明。

正整數空間的概念就是：全部正正整數1、2、3……可以用一組，若干個等差數列來表示。這樣每一個正整數，包括素數與合數都會有一個項數N與之相對應。這樣一來素數就有了自己固定的位置而不是隨機出現的。看下面的圖七

這個表格中橫向的每一組等差數列都可以代表全部正整數，從1至無窮。

1.2.2.正整數空間的意義

下面我們介紹幾個主要的正整數空間的意義

1.2.2.1 正整數空間N+1 的意義

1.2.2.1.1合數項數列與合數素數產生的原因

正整數空間N+1，表格如下(圖8)

這樣數列N+1就代表了全部正整數。并且每一個正整數，包括素數和合數都有一個項數N相對應。

注意在用等差數列研究正整數的規律時，必須首先注明是在哪一個“正整數空間”里研究，只有這樣這些等差數列才具有真實的指向和現實的意義，否則等差數列都是混亂和無效的。

利用項數N我們可以寫出按次序無數多的合數項數列，如下

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數項數列公式可以寫成，Sn+K 的形式。

S是一個素數，n是系數,取值范圍0、1、2…… ，K是合數出現的初項位。

注意，這里的1n+0 其中的1是一個素數。這里這個問題我們不做討論。還有就是合數出現的周期數，就是前面第一個素數本身的數字。

我們看3n+2 合數項數列。

當n=0時，合數項數列3n+2=2.注意這個2是項數,代入n+1數列，得3。后面都是以3為周期的合數。6、9、12……

我們是可以把正整數1、2、3……看成是一個等差數列，為何不直接使用“合數數列”而是使用“合數項數列”？

就是增加了一個項數N就與過去的研究方法有了天壤之別，現在我們研究的是“正整數空間”里面的N+1空間。

看這些合數項公式，我們發現所謂的素數和合數是我們人類自己區分的。不論有沒有人類，自然數都是按次序1個1個逐漸增多的（這種增多可以在多維空間里進行），我們這里主要探討的是在一維的數軸空間上的情況，我們人類把那些不含其它因子的數（1除外）稱作“素數”。

通過上面的表格和合數項數列，我們可以看到素數與合數產生的原因。

0是無，1是有。出現了1就像在數軸上形成了一個“空間”，是在桌面上鋪上了一張無邊的以1為單位，帶格子的宣紙，然后在紙上寫字。

2就是素數，就是第一個字，它有規律滿足公式2K+1而寫下去。而第三格，不滿足公式K+0和2K+1必須就要寫第三個字，也就是素數3……，依次下推至無窮。

這就是素數與合數產生的原因。

數2、3、5……素數就是開始寫字的第一筆，而這個第一筆都是出現在沒寫過字的空白里。字可以有連續的規律，而出現字的空白處也有規律，但是這個規律不是連續的，不能用我們常規的函數公式來表示。

所以數學中沒有直接的素數公式。

1.2.2.1.2合數項公式與素數項公式

我們可以在數列N+1中建立一個“合數項”公式，就是

Nh=a(b+1)+b （公式1.1）

這個公式必須配合數列N+1的表格使用，否則是無效的和無意義的。

其中，Nh是合數項，a、b都是項數，取值范圍是0、1、2、3……

比如，我們取a=1 b=5 Nh= 11 代入N+1這個合數就是 11+1=12 。

我們取a=3b=4 Nh= 19 N+1=20

我們有一個相對的素數項公式，

Hs=N-Nh （公式1.2）

如果我們遇到一個很大的數字，如何判定是合數還是素數？

K=(N-b)/b+1 （公式1.3）

把項數N代入判定式后，方程如果有整數解就是合數，無解就是素數。當然數字很大時人工計算幾乎是不可能的，可以寫程序用計算機進行。

1.2.2.2 正整數空間2N+A 的意義

用“2N+A”空間代表全部正整數。如果沒有這一條，這一組兩個等差數列都是無效的，毫無意義的。做表格如下，(圖9)

分析這個表格的性質。

1） 用等差數列2n+1和2n+2表示全部自然數。

2） 數列2n+1是奇數列，但是它包含了除2以外自然數里面的全部素數。

3） 數列2n+2是偶數列，它包含了自然數里面的全部偶數。

4） 我們看到任何一個偶數，都是奇數列兩個數的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

看上面的表格，數列組2N+A 里面的“合數項公式”是

Nh=a(2b+1)+b （公式1.4）

這個空間里也有一個素數項公式，

素數項Ns=N-Nh （公式1.5）

這個公式說明性質與合數項公式相同，而變化趨勢相反。隨著項數N的增大，素數在自然數里減少的。但是必須注意在局部區間內數量減少，而在整體上素數的數量上還是增加的。

這個空間可以證明哥德巴赫猜想，后面我們還要講到。

1.2.2.3 指出幾個正整數空間的意義

正整數 4N+A 空間（圖10）

4N+A數列組空間，素數在4N+1、4N+2和4N+3里分布著。這個空間由三個合數項公式組成一組的方程，這里不再講述。

正整數6N+A空間（圖11）

可以變形為（圖12）

這個空間比較特殊，正整數中的素數除了2、3以外，全部包含在數列6N±1中。這個空間可以解決一些數論里面的古老問題，所以在后面我們專門有一節對它的理論進行詳細的介紹。

正整數 7N+A空間（圖13）

正整數8N+A 空間（圖14）

這個空間可以做一個平面直角坐標系，素數都在四個坐標軸上。可以用同心圓表示，與化學的元素周期表上的原子核核外電子數有一定的關聯。

正整數10N+A空間（圖15）

這個空間的意義在于用這十個數列一組可以表示全部正整數，十個數列的平方數列就是全部正整數的平方。它的價值在于同一數列上的尾數都一樣。后面有一節專門介紹它。

2025年2月25日星期二

未完待續

下一部分就是對“正整數空間”的應用，包括哥德巴赫猜想、孿生素數對猜想、勒讓德猜想、費馬數和梅森數等等。還有就是對數論未來發展的展望。