南方周末 2025-04-04 05:00:09

2025年3月17日至21日，北京國際數(shù)學(xué)研究中心舉辦了一場為期五天、主題為“運(yùn)動(dòng)學(xué)與希爾伯特第六問題的最近進(jìn)展”的小型學(xué)術(shù)會議。

這項(xiàng)會議的主要內(nèi)容，就是邀請芝加哥大學(xué)助理教授鄧煜和密歇根大學(xué)唐納德·劉易斯研究助理教授馬曉，就他們和密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)教授扎赫爾·哈尼 （Zaher Hani）合作完成的、最近提交在預(yù)印本網(wǎng)（arXiv）上的、關(guān)于希爾伯特第六問題的論文《希爾伯特第六問題：由玻爾茲曼運(yùn)動(dòng)學(xué)得出流體方程》做一個(gè)詳細(xì)的講解。

希爾伯特第六問題

1900年在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特作了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講。在這個(gè)演講中，希爾伯特提出了日后被稱為“希爾伯特問題”的23個(gè)當(dāng)時(shí)還未解決的、他認(rèn)為最重要的數(shù)學(xué)問題。圍繞這些問題的研究，在接下來的一百余年時(shí)間里，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了積極的推動(dòng)作用。

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特。視覺中國|圖

其中的第六問題為“物理學(xué)的公理化”。

所謂“公理化”，指的是以幾條公理假設(shè)為基礎(chǔ)，以邏輯推導(dǎo)得出整個(gè)理論體系的方法。

在1900年這個(gè)時(shí)間來看，公理化是數(shù)學(xué)界的一個(gè)很重要的發(fā)展方向。

1889年，意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·皮亞諾 （Giuseppe Peano），在美國數(shù)學(xué)家查爾斯·桑德斯·皮爾士 （Charles Sanders Peirce）和德國數(shù)學(xué)家理查德·戴德金 （Richard Dedekind）的工作基礎(chǔ)上，提出了皮亞諾公理體系。這一公理體系，完成了對自然數(shù)和一階算數(shù)系統(tǒng)的公理化。

1899年，希爾伯特在其著作《幾何基礎(chǔ)》中提出了希爾伯特公理。這一公理體系完成了對歐幾里得幾何的現(xiàn)代公理化。

在這種背景下，希爾伯特提出了對物理學(xué)的公理化這一目標(biāo)。對此，希爾伯特指出：“對于那些數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)領(lǐng)域，要按照數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，將它們公理化。其中首先要解決的是概率論和力學(xué)。”

在所有的23個(gè)希爾伯特問題中，第六個(gè)問題顯得非常地與眾不同。

這一問題的提出對象，不是數(shù)學(xué)，而是與數(shù)學(xué)聯(lián)系極為緊密的物理學(xué)。而且，相較于其他22個(gè)描述非常具體明確的問題，希爾伯特第六問題顯得極為籠統(tǒng)概括。

在稍后的1902年，希爾伯特給出了第六問題的一個(gè)補(bǔ)充說明：“在我看來，對概率論的公理化研究，應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)物理，特別是氣體動(dòng)力學(xué)的那些嚴(yán)格且令人滿意的發(fā)展相結(jié)合……玻爾茲曼關(guān)于力學(xué)基本原理的工作提出了這樣一個(gè)問題：如何在數(shù)學(xué)上發(fā)展那些僅被初步闡明的極限過程，進(jìn)而從原子論的觀點(diǎn)推導(dǎo)出連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)定律。”

從微觀到宏觀

希爾伯特第六問題的提出，在1900年這個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，也有著物理學(xué)上的意義。

在當(dāng)時(shí)，牛頓力學(xué)歷經(jīng)兩百余年的發(fā)展，已經(jīng)成為了一門相當(dāng)完善的理論，并且在工程學(xué)等領(lǐng)域有著相當(dāng)成功的應(yīng)用。以至于在當(dāng)時(shí)，很多物理學(xué)家都相信，物理學(xué)這門學(xué)科已經(jīng)基本上完成了它的使命。

正如1907年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主，美國物理學(xué)家阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）所說：“……非常有可能的是，那些重要的基礎(chǔ)物理學(xué)定律都已經(jīng)穩(wěn)固建立了，而未來物理學(xué)前進(jìn)的方向僅僅是在我們已經(jīng)關(guān)注到的物理現(xiàn)象中一絲不茍地應(yīng)用那些定律而已。在定量工作比定性工作更受人追捧的現(xiàn)在，實(shí)驗(yàn)測量展現(xiàn)出其無與倫比的重要性。某位知名物理學(xué)家也曾說過，未來物理科學(xué)的真理將在小數(shù)點(diǎn)后六位找到?！?/p>

對于1900年的物理學(xué)來說，牛頓力學(xué)體系已經(jīng)足以解釋絕大多數(shù)的物理學(xué)內(nèi)容。而描述氣體和液體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的流體動(dòng)力學(xué)，則顯得有些微妙。

一方面，在宏觀層面上，通過將流體視為連續(xù)介質(zhì)，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1757年發(fā)表的論文《流體運(yùn)動(dòng)的一般原理》中，給出了描述無黏性的理想流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程。

隨后，在1850年，經(jīng)過幾十年的研究，法國工程師和物理學(xué)家克洛德-路易·納維（Claude-Louis Navier）和愛爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家喬治·斯托克斯爵士（Sir George Stokes）提出了描述黏性流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克斯方程。

另外一方面，在微觀層面上，17世紀(jì)以來對于熱力學(xué)的突破性發(fā)展，使科學(xué)家們開始重新思考物質(zhì)的結(jié)構(gòu)問題。1738年，瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）發(fā)表著作《流體力學(xué)》（Hydrodynamica）。在這一著作中，伯努利提出，氣體是由大量向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的分子組成的，分子對表面的碰撞就是氣壓的成因，熱就是分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。

1744年，俄國化學(xué)家米哈伊爾·羅蒙諾索夫（Mikhail Lomonosov）第一次明確提出熱現(xiàn)象是分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)，并把機(jī)械能守恒定律應(yīng)用到了分子運(yùn)動(dòng)的熱現(xiàn)象中。

這兩種從宏觀層面和微觀層面對于流體的解釋，就產(chǎn)生了一個(gè)很自然的問題：怎么統(tǒng)一這兩種看上去完全不同的理論體系。

1859年，英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋（James Maxwell）提出了氣體分子的麥克斯韋速度分布律。這一分布律說明，某一特定分子的速度大小是不可預(yù)知的，且運(yùn)動(dòng)方向也是隨機(jī)的。但在平衡態(tài)下，對大量氣體分子而言，它們的速度分布卻遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這是物理學(xué)史上第一個(gè)統(tǒng)計(jì)定律。

1871年，奧地利物理學(xué)家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）推廣了麥克斯韋的工作，提出了麥克斯韋–玻爾茲曼分布。麥克斯韋–玻爾茲曼分布從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，解釋了流體在微觀層面下的分子運(yùn)動(dòng)，怎樣在宏觀層面形成諸如壓強(qiáng)、擴(kuò)散等基本性質(zhì)。

在稍后的1872年，玻爾茲曼又給出了玻爾茲曼方程，用以描述處于非平衡狀態(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

玻爾茲曼的這一系列工作，給出了連通流體力學(xué)微觀層面和宏觀層面的一個(gè)路徑：在微觀上，流體分子可以看做是牛頓力學(xué)中的剛性小球。它們之間的相互作用，遵循牛頓力學(xué)中的彈性碰撞。而在宏觀層面上，流體的物理學(xué)特性，呈現(xiàn)的是大量微觀流體粒子的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征。

在這個(gè)過程中，玻爾茲曼方程起到了承上啟下，從描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的牛頓力學(xué)方程過渡到歐拉方程、納維-斯托克斯方程等描述流體宏觀力學(xué)狀態(tài)的方程的作用。

就這樣，對流體動(dòng)力學(xué)的微觀和宏觀描述，通過玻爾茲曼的工作，得到了統(tǒng)一。

但是，在希爾伯特看來，玻爾茲曼的工作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)稱不上嚴(yán)格的。

一方面，在1900年這個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，原子、分子這樣的物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)學(xué)說，還沒有被物理學(xué)家們普遍接受。甚至就連麥克斯韋和玻爾茲曼都認(rèn)為，分子只是一種方便處理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不是實(shí)際存在的物質(zhì)。

另外一方面，從數(shù)學(xué)的角度來看，玻爾茲曼的工作也很難稱為“嚴(yán)格”。

玻爾茲曼所描述的，從微觀到宏觀的過程當(dāng)中，涉及多次極限過程。從描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的牛頓力學(xué)方程導(dǎo)出玻爾茲曼方程，需要分子運(yùn)動(dòng)學(xué)下的統(tǒng)計(jì)學(xué)極限。而從玻爾茲曼方程導(dǎo)出宏觀的流體力學(xué)方程，則需要流體動(dòng)力學(xué)極限。這些極限過程，在數(shù)學(xué)上都是需要嚴(yán)格的定義與證明的。

更為關(guān)鍵的是，在1900年的時(shí)候，統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論本身還沒有完成數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化。當(dāng)時(shí)的概率論，還只適用于有限情況下的古典概率。對于玻爾茲曼的理論中所需要的，涉及無窮多個(gè)粒子的極限情況下的概率，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

這正是希爾伯特在第六問題中所說的：“其中首先要解決的是概率論和力學(xué)”，以及在1902年的補(bǔ)充說明中再次強(qiáng)調(diào)的，要求在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格化玻爾茲曼工作所涉及的那些極限過程。

探求嚴(yán)格化的過程

1912年，希爾伯特給出了一種被叫做希爾伯特展開的方法。在1916年和1917年，英國數(shù)學(xué)家西德尼·查普曼（Sydney Chapman）與瑞典數(shù)學(xué)物理學(xué)家大衛(wèi)·恩斯科格（David Enskog）各自得出了另外一種級數(shù)展開的方法。這兩種方法，通過無窮級數(shù)展開逼近的方式，給出了玻爾茲曼方程得出了宏觀狀態(tài)下的流體力學(xué)方程所需要的流體動(dòng)力學(xué)極限過程。

這些方法也被叫做查普曼-恩斯科格-希爾伯特展開。

英國數(shù)學(xué)家拉塞爾·卡夫利施（Russel Caflisch）等人，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格化了查普曼-恩斯科格-希爾伯特展開。從而在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格化了從玻爾茲曼方程到流體力學(xué)方程的流體動(dòng)力學(xué)極限過程。

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）完成了現(xiàn)代概率論的公理化。柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕识x為概率空間上函數(shù)的測度，并將測度論和函數(shù)論等分析學(xué)的工具引入了對于概率論的研究。這就使得在數(shù)學(xué)上，可以準(zhǔn)確地描述玻爾茲曼理論當(dāng)中從微觀粒子運(yùn)動(dòng)的牛頓力學(xué)方程到玻爾茲曼方程所需要分子運(yùn)動(dòng)學(xué)下的統(tǒng)計(jì)學(xué)極限。

1949年，美國數(shù)學(xué)家哈羅德·格拉德（Harold Grad）在一定的限制條件下，從動(dòng)力學(xué)的劉維爾方程（Liouville equation）推導(dǎo)出了玻爾茲曼方程。格拉德的工作，也被稱為玻爾茲曼-格拉德極限。

1975年，美國數(shù)學(xué)家奧斯卡·蘭福德（Oscar Lanford）證明了，在非常短的時(shí)間內(nèi)，玻爾茲曼-格拉德極限是成立的。這一工作也被稱為蘭福德定理。

2014年，法國數(shù)學(xué)家勞拉·圣雷蒙德（Laure Saint-Raymond）和合作者們補(bǔ)全了蘭福德定理中的漏洞。

但是，在蘭福德的證明方法中，“極短時(shí)間”這一條件是無法取消的。這是因?yàn)?，蘭福德的證明依賴于數(shù)學(xué)中的微擾方法。在極短時(shí)間的條件下，誤差是可以忽略不計(jì)的。但是，當(dāng)時(shí)間變長后，微擾方法下的誤差會隨著時(shí)間累計(jì)，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算過程的失效。

因此，圣雷蒙德和合作者們，試圖給出長時(shí)間下這一極限過程的數(shù)學(xué)證明的時(shí)候，都需要加上一些別的限制條件。諸如假設(shè)氣體密度接近真空，或者假設(shè)玻爾茲曼方程滿足某些線性隨機(jī)條件等。

鄧煜、哈尼和馬曉最近的論文，則取消了這些限制條件和假設(shè)，給出了這一極限過程的完整證明。

鄧煜及其合作者們的證明方法，來自鄧煜本人稍早之前的工作。在研究玻爾茲曼方程之前，鄧煜和哈尼合作研究過由非線性薛定諤方程導(dǎo)出波動(dòng)力學(xué)方程的工作。他們發(fā)現(xiàn)，從動(dòng)力學(xué)的角度來看，從非線性薛定諤方程導(dǎo)出波動(dòng)力學(xué)方程的過程，和從牛頓力學(xué)方程導(dǎo)出玻爾茲曼方程的過程之間，存在著某種相似性，進(jìn)而可以將之前工作中積累的方法和經(jīng)驗(yàn)用于解決這一問題。

在克服了一系列技術(shù)上的障礙之后，鄧煜、哈尼和馬曉給出了這一有著一百多年歷史的極限過程的完整證明。

鄧煜、哈尼和馬曉的工作，也給出了一個(gè)經(jīng)典的物理學(xué)問題的清晰解釋。

1872年，在提出玻爾茲曼方程的同時(shí)，玻爾茲曼還提出了H定理。H定理可以直接由玻爾茲曼方程導(dǎo)出。由玻爾茲曼方程可知，流體分子間的相互碰撞，會導(dǎo)致H函數(shù)值的下降，直到H達(dá)到最小值為止。這在宏觀上對應(yīng)于熱力學(xué)第二定律，即熵增定律。

H定理從微觀粒子的統(tǒng)計(jì)學(xué)行為的角度，給出了熱力學(xué)第二定律的一個(gè)數(shù)學(xué)解釋。但是，這一解釋也帶來了一個(gè)新的問題。熱力學(xué)第二定律，是有著時(shí)間不可逆性的。而從微觀層面看，粒子相互碰撞所遵循的牛頓力學(xué)體系卻是可逆的。這就產(chǎn)生了一個(gè)極為深刻的問題：時(shí)間的方向性是在什么時(shí)候產(chǎn)生的？

蘭福德定理，揭示了在時(shí)間不可逆的宏觀熱力學(xué)和可逆的微觀牛頓力學(xué)之間的本質(zhì)性差異是怎樣產(chǎn)生的。但是，蘭福德定理中極短時(shí)間的假設(shè)，無法完整展示這一過程。

鄧煜等人的工作，完整地給出了玻爾茲曼方程整個(gè)過程的描述。因此，也就給出了從時(shí)間可逆的牛頓力學(xué)體系中涌現(xiàn)出時(shí)間不可逆的宏觀熱力學(xué)體系的一種理論依據(jù)。

南方周末特約撰稿 左力

責(zé)編 朱力遠(yuǎn)