上個月，00后女孩陳諾在中國兒童青少年魔方挑戰(zhàn)賽上，“0秒”還原魔方，引起廣泛關(guān)注。網(wǎng)友們紛紛稱贊：禁止在麻瓜面前施展魔法。

還原魔方，應該是很多人童年的“小小夢想“。

然而魔方卻并不只是代表童年回憶的玩具，其實它蘊含著深厚的數(shù)學知識，特別是作為“群論”應用的一個極佳例子，得到了許多研究。

接下來，就讓我們一起走進童年回憶的背后，挖掘兒時未見的深度吧！

魔方的歷史和當下

魔方（Rubic cube）是由一名匈牙利教授Ern Rubik發(fā)明的，最初他發(fā)明魔方，是作為一種教學用具，希望通過魔方的空間結(jié)構(gòu)和操作特點來提高學生們的空間想象能力。

據(jù)說是世界上最早的魔方

1974年，魔方一經(jīng)問世，迅速受到世人的喜愛，并得到了蓬勃發(fā)展。從最初的三階魔方，發(fā)展到四階、五階乃至更高階，此外還出現(xiàn)許多異形魔方，比如鏡面魔方、金字塔魔方、五魔方等等。

各種不同的衍生魔方

如今，在世界魔方協(xié)會WCA（World Cube Association）的賽事中，目前三階魔方的單次還原世界紀錄由8歲的中國小將耿暄一創(chuàng)造，他在2025年沈陽春季魔方賽中以3.05s的成績打破世界紀錄，成為新的世界紀錄保持者。

三階魔方單次還原世界紀錄歷史

魔方的組成

經(jīng)典3×3×3三階魔方是由54個小面組成的正方形，每個側(cè)面分成9個小面，總體由26個“小立方體“組成，分別包括6個中心塊、12個棱塊和8個角塊。

其內(nèi)部構(gòu)建十分精巧，各個構(gòu)件之間互相嵌合，中心塊與中心軸架通過轉(zhuǎn)動副連接，轉(zhuǎn)動每一層時，每一層的子塊之間通過互相約束而自鎖，成為一個構(gòu)件，由組合轉(zhuǎn)動副和組合移動副共同實現(xiàn)每層的轉(zhuǎn)動。

三階魔方的內(nèi)部構(gòu)造和運動副

四階魔方，看似只是多加了一階，實際復雜度卻大大增加。其由24個相同的中心塊、8個相同的角塊、24個相同的邊塊、T形連接件、D形連接件等130多個零件組成。中心連接件、T形連接件和D形連接件共同構(gòu)成的中心球為核心轉(zhuǎn)動件，魔方子塊鑲嵌在中心球表面，與三階魔方相同的是，轉(zhuǎn)動一層時，每一層的子塊之間通過互相約束而自鎖。

四階魔方內(nèi)部構(gòu)造圖

按國際慣例，魔方著色是按照：上面黃色、底面白色、左邊藍色、右面綠色、前面紅色、后面橙色來的，意味著白色和黃色相對面，藍色和綠色相對面，紅色和橙色相對面。

三階魔方的中心塊被固定在中心對稱十字架上，中心塊的顏色對應并不會隨著擰動魔方而改變；但四階魔方不同，中心塊的相對位置可以任意改變，但受到棱塊、角塊顏色固定的影響，必須旋轉(zhuǎn)到滿足慣例的中心塊排布才能復原。

三階魔方總的狀態(tài)數(shù)有多少？這可以通過排列組合計算出來。

在魔方中，角塊只能被旋轉(zhuǎn)到角塊的位置，棱塊只能被旋轉(zhuǎn)到棱塊的位置。對于8個角塊，第一個角塊可以選擇的位置有8種，第二個角塊可以選擇的位置有7種，以此類推；每個角塊在每個位置可以有3種顏色方向，當有7個角塊的位置和方向確定后，最后一個角塊的位置和方向也被確定（因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個角塊），因此角塊的狀態(tài)數(shù)量為

對12個棱塊而言，類似的，第一個棱塊可以選擇的位置有12種，第二個棱塊可以選擇的位置有11種，以此類推；每個棱塊在每個位置可以有2種顏色方向，當有11個棱塊的位置和方向確定后，最后一個棱塊的位置和方向也被確定（因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個棱塊），因此棱塊的狀態(tài)數(shù)量為

除了以上這些狀態(tài)以外，在魔方的實際扭動中，還有一半的可能性是不會在魔方的正常旋轉(zhuǎn)中達到的，因此還需要將以上狀態(tài)數(shù)除以2。

這樣，就得到了上式中三階魔方的總狀態(tài)數(shù)。

對于N階魔方，我們也可以使用類似的方法（即先討論角塊和棱塊的所有狀態(tài)，再排除不可能被旋轉(zhuǎn)出的情況）去討論其所有可能的狀態(tài)數(shù)，這里我們直接跳過冗長的證明，直接給出N階魔方狀態(tài)數(shù)的通解吧：

奇數(shù)階魔方狀態(tài)總數(shù)：

偶數(shù)階魔方狀態(tài)總數(shù)：

魔方的復原

經(jīng)過半個世紀的歷史，三階魔方的復原發(fā)展出角先、CFOP、橋式等方法，而隨著時代進步和魔方復原機器人的興起，人擰和機器復原也朝著各自具有優(yōu)勢的方向延伸出不同的體系，這里我們先簡單介紹手擰的復原方法。

01

角先法（Corners First）

最早被魔方的發(fā)明者Rubik所使用的復原方法，需要記憶的公式較少，也很直觀，但步驟很多，且需要敏銳的觀察能力和反應能力。其包括底面及頂面角塊歸位、底面及頂面棱塊歸位、中心層棱塊歸位、檢查顏色方向幾步，雖然發(fā)明較早，但與如今的盲擰思路比較類似。

02

層先法（Layer by layer）

1979年，層先法由大衛(wèi)·辛格馬斯特首次提出，這是大多數(shù)新手玩家所必學的方法，比較符合人對魔方復原的認知——一層一層復原。

03

CFOP解法

這是目前最為主流的速擰解法，在WCA大賽中非常受歡迎。其由捷克的Jessica Fridrich等人在1981年左右提出。方法涉及到119個公式，由Cross底層十字、F2L（First 2 Layer）還原下兩層、OLL（Orientation of Last Layer）調(diào)整上層棱塊和角塊的方向、PLL（Permutation of Last Layer）完成上層所有塊的位置排列組成。可以理解為層先法的精華迅速版。

CFOP四個階段的目標狀態(tài)

魔方中的群論

在開始聊群論之前，我們先需要了解一套對于魔方愛好者非常熟悉的一套“語言“，即魔方轉(zhuǎn)動的符號描述，也是魔方公式的通用表達。

魔方的轉(zhuǎn)動以魔方面的英文縮寫來表示，手持魔方時，魔方的六個面分別為U（up）R（Right）F（Front）D（Down）L（Left）B（Back），用每個方向的大寫首字母來表示“將該面順時針旋轉(zhuǎn)90度”，具體的表示如下圖所示。

在數(shù)學中，我們暫時忽略中間層和兩層一起的轉(zhuǎn)動，因為它們都可以用這六種轉(zhuǎn)動的疊加實現(xiàn)。

而這6個轉(zhuǎn)動，構(gòu)成了魔方所有轉(zhuǎn)動生成的集合

群論，是研究“群“這一代數(shù)結(jié)構(gòu)的學科，群（Group）是一種規(guī)定了特殊乘法的集合。我們利用群的定義，可以證明上述的6個轉(zhuǎn)動構(gòu)成了“魔方群”。

當規(guī)定了元素的“乘積”法則之后，元素的集合G若滿足下面四個條件，則稱其為群G：

①集合對乘積的封閉性：

②乘積滿足結(jié)合律：

③集合中存在左恒元，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變：

④任意元素的左逆元存在于集合中，滿足：

即每個元素都存在一個與它運算后等于左恒元的元素

首先我們定義魔方群中的“乘法”法則，規(guī)定魔方的轉(zhuǎn)動合成運算是從左向右的，即

M1M2表示先轉(zhuǎn)動M1再轉(zhuǎn)動M2，比如RU表示先轉(zhuǎn)右面，再轉(zhuǎn)上面。用c表示魔方狀態(tài)，即各塊和小面的方位，用M(c)表示魔方在狀態(tài)c下經(jīng)M轉(zhuǎn)動后所生成的新狀態(tài)。

設G是魔方所有轉(zhuǎn)動生成的集合，那么它能夠滿足：

1.封閉性：G中任意元素都可以表示成一系列轉(zhuǎn)動的合成，則G中任意兩個元素的合成同樣是一系列轉(zhuǎn)動的合成。

2.結(jié)合律：用c表示任意魔方狀態(tài)，則

3.存在左恒元：魔方不進行轉(zhuǎn)動，或是由轉(zhuǎn)動組合而成原狀態(tài)時，為單位轉(zhuǎn)動，所以存在左恒元。

4.存在左逆元：若一轉(zhuǎn)動表示為，

, , 則

故逆元存在。

即證明，由魔方所有轉(zhuǎn)動生成的集合，以合成作為運算，構(gòu)成一個群，稱為魔方群。

我們這里建立的魔方群，表示的是魔方的轉(zhuǎn)動的描述，那有沒有辦法描述出魔方的狀態(tài)呢？

三階魔方的狀態(tài)，由以下四個條件共同決定：

1. 角塊的位置

2. 角塊的方向

3. 棱塊的位置

4. 棱塊的方向

在這四個條件中，1和3比較方便定義的。因為角塊和棱塊在旋轉(zhuǎn)過程中只會一直呆在角塊和棱塊位置，所以我們可以用置換群來定義：

置換群是指n個客體排列次序的變換，n個客體的n!個置換的集合滿足群的四個條件，構(gòu)成群，稱為n個客體置換群，記作Sn。

G是魔方群，SV是角塊在G作用下的置換群，SE是棱塊在G作用下的置換群。定義與g相對應的角塊置換σ和棱塊置換τ如下

這樣，角塊的位置可以用S8中的元素表示，棱塊的位置可以用S12中的元素表示。

要表述角塊和棱塊的方向，我們還要約定一種指向特定面的字母表示法。用小寫的u, d, f, b, l, r表示各面；用兩個方位字母確認棱塊，排在首位的字母為指向的面，如db表示d（下）面b（后）方位的小面；用三個方位字母確認角塊，如ufl表示u（上）面fl（前左）方位的小面。

從角塊開始，在每個角塊朝上/下的一面上標記一個數(shù)字：

在u面上的ufl小面上標記1

在u面上的urf小面上標記2

在u面上的ubr小面上標記3

在u面上的ulb小面上標記4

在d面上的dbl小面上標記5

在d面上的dlf小面上標記6

在d面上的dfr小面上標記7

在d面上的drb小面上標記8

在這一步被標記的小面稱為標準面，用以決定角塊的方向。下一步，在標有序號的這些小面上再標記0，然后順時針旋轉(zhuǎn)，在角塊的另外兩面上依次標記1和2 。

在以上標記下，就可以定義角塊的方向了，用ν=(ν1,ν2,...,ν8)表示角塊的方向，其中νi表示第i個角塊標準面上的數(shù)字，也可以認為是順時針旋轉(zhuǎn)該角塊，使其標記為0的面與標準面重合所需要的次數(shù)，ν滿足

類似地，可以定義棱塊的方向，在每個棱塊朝上/下/前/后的一面上標記一個數(shù)字：

在u面上的ub小面上標記1

在u面上的ur小面上標記2

在u面上的uf小面上標記3

在u面上的ul小面上標記4

在b面上的bl小面上標記5

在b面上的br小面上標記6

在f面上的fr小面上標記7

在f面上的fl小面上標記8

在d面上的db小面上標記9

在d面上的dr小面上標記10

在d面上的df小面上標記11

在d面上的dl小面上標記12

在標記有序號的這些小面上再標記0，然后在棱塊的另一面上標記1。

用ω=(ω1,ω2,...,ω12)表示邊塊的方向，其中ωj表示第j個邊塊標準面上的數(shù)字，ω滿足

設ν(g)和ω(g)分別表示g作用后的角塊方向和邊塊方向，舉例而言，對于R即右面轉(zhuǎn)動90度，左面的角塊沒有發(fā)生變化，因此ν1=0，ν4=0，ν5=0，ν6=0；右邊的角塊發(fā)生了變化，有ν2=1，ν3=2，ν7=2，ν8=1，于是ν(R)=(0,1,2,0,0,0,2,1)，即表示出了角塊的方向。

經(jīng)過上面的定義，任何魔方的狀態(tài)就可以用這四個量來確定了。

1. 角塊的位置：σ ∈ S8

2. 角塊的方向：ν=(ν1,ν2,...,ν8)

3. 棱塊的位置：τ ∈ S12

4. 棱塊的方向：ω=(ω1,ω2,...,ω12)

   即魔方群

當然，表述魔方群的方法遠遠不止這一種，期待著大家用更多的方法更巧妙地將魔方納入數(shù)學體系中~

魔方機器人的復原

當我們已經(jīng)了解了如何用群論表達魔方之后，我們再回來看看機器人——它是怎么復原魔方的？

在前面列舉的復原魔方方法，都是根據(jù)人的直觀感覺來進行策略，而機器人策略則完全不符合人的直覺，對他們而言，步驟更少的方法才是最佳選擇。

01

TM算法（Thislethwaite Method）

TM算法的策略是通過逐步降低魔方所處的群到更小的子群，使得魔方的狀態(tài)數(shù)減小，直到最后的單位子群，就復原了魔方。所以利用TM算法復原魔方的每一步來看，魔方都是很亂的，但魔方的狀態(tài)數(shù)是隨著群的減小而在逐漸減小的。

TM算法對于公式的記憶和判斷要求非常高，人手利用TM算法復原魔方是非常困難的，但計算機強大的運算能力使TM算法成為可能，對于計算機而言它也是步驟更少的優(yōu)選。

TM算法降解子群的四個步驟

TM算法每個步驟的魔方狀態(tài)

02

Kociemba算法（二階段算法）

這是當前最主流的計算機解魔方算法，該算法平均可以在幾毫秒的時間內(nèi)得到一個不超過20步的解法。

該方法將魔方的復原過程分成了兩個階段，第一個階段是將亂序魔方轉(zhuǎn)動成一個子群內(nèi)的狀態(tài)，這個子群表示為G1=；第二階段則是復原這個子群G1中的魔方。算法將會搜索這兩個階段分別需要的步數(shù)和總步數(shù)，并輸出最短總步數(shù)的解進行復原。

Kociemba算法解上述魔方的過程

計算機的解魔方方法，大大降低了還原的步驟。

計算機解魔方時間對比

半個世紀過去，魔方已從Rubik手中的教具，變成了世界各地孩子、長不大的孩子、計算機幼體的探索和快樂。

如果你還未學會復原，何不嘗試著趁現(xiàn)在重拾童心呢？

如果你已經(jīng)是大佬了，何不嘗試著提升一下sub呢

參考資料

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/348865035

[2] https://www.worldcubeassociation.org/

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/35339755

[4] https://www.jaapsch.net/puzzles/

[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/138559685

[6] http://www.rubik.com.cn/notation.htm

[7]梁小龍.解魔方算法的研究和系統(tǒng)實現(xiàn)[D].東北大學,2013.

[8]李文超.面向多階魔方的智能還原機器人算法設計與實驗研究[D].燕山大學,2023.

[9]向臘.魔方機器人控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)[D].湖南大學,2016.

[10]喻騰飛.魔方群的研究[D].中國科學技術(shù)大學,2014.

[11]朱磊.群論在魔方中的應用[D].蘇州大學,2008.

[12]譚水生.解三階魔方智能機器人系統(tǒng)的設計與研究[D].五邑大學,2020.

[13]https://people.math.harvard.edu/~jjchen/docs/Group%20Theory%20and%20the%20Rubik%27s%20Cube.pdf

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