有讀者微信問(wèn)我，按照旋輪線的特點(diǎn)，無(wú)論離最低點(diǎn)多遠(yuǎn)的點(diǎn)，回到最低點(diǎn)的時(shí)間都一樣，既然這樣，若一質(zhì)點(diǎn)離最低點(diǎn)足夠遠(yuǎn)時(shí)，它回到最低點(diǎn)處時(shí)，其速度不是會(huì)超光速嗎？

表面看，這似乎挺有道理的。

假設(shè)有一點(diǎn)離最低點(diǎn)的弧線長(zhǎng)度為 ，它的平均速度為 ，考慮一點(diǎn)離最低點(diǎn)的弧線長(zhǎng)為 ，其速度為 ，根據(jù)旋輪線的等時(shí)性有

假設(shè) ，設(shè) ，其中 是光速的數(shù)值，則可得

這不就超光速了嘛！

但是，仔細(xì)想，這可能嗎？

旋輪線之所以具有等時(shí)性，是假定重力加速度 在旋輪線的一個(gè)周期的范圍內(nèi)是均勻的，即沿著一個(gè)方向（豎直斜向下）且大小一致。

但實(shí)際上，如果空間范圍太大， 的方向和大小都不統(tǒng)一！

要知道地球是一個(gè)球體，它的半徑也才大約6400公里。在地表上每走大約4萬(wàn)公里，重力的方向旋轉(zhuǎn)了360度！

可見，所謂旋輪線的等時(shí)性，具有空間局域性。換句話說(shuō)，等時(shí)性只在地球上任意點(diǎn)成立，在一個(gè)有大小的空間范圍內(nèi)，它并不嚴(yán)格成立。

假設(shè)你跑到一個(gè)巨大的天體（例如木星）表面上，由于它的半徑如此之大，所以比地球上大得多空間范圍內(nèi)，旋輪線的等時(shí)性保持近似成立。

但無(wú)論這個(gè)范圍多大，都不會(huì)導(dǎo)致超光速運(yùn)動(dòng)。

因?yàn)楠M義相對(duì)論告訴我們，任何有質(zhì)量的物體，無(wú)論怎么加速，也無(wú)論加速多長(zhǎng)時(shí)間，其運(yùn)動(dòng)速度都不會(huì)達(dá)到光速。

總之，旋輪線的等時(shí)性是局域性的，它不可能在大的空間范圍內(nèi)成立。

其實(shí)，只要與相關(guān)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，都具有局域性。

典型的如拋體運(yùn)動(dòng)(訂正：下式中dt應(yīng)改為tdt）

只有當(dāng) 處處都豎直向下時(shí)且大小不變時(shí)，上式才能寫成

這才能得到拋物線方程，即（訂正：下式中第二項(xiàng)的分母有誤，應(yīng)為2v?2cos2θ）

如果一個(gè)物體被拋射后在地球上空飛了好幾百公里，它跨過(guò)的空間中， 發(fā)生了明顯的變化，你就不能再像上面那樣推出它的軌跡是拋物線了！

可見，地球上的拋物線嚴(yán)格講也是局域的！換句話說(shuō)，只有在一個(gè)點(diǎn)上，拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡才是所謂拋物線。

是不是覺得有點(diǎn)懵？

實(shí)際上，你可以這樣想，拋物線是一種無(wú)界曲線，如果你拋出一根粉筆真的是做無(wú)界的拋物線運(yùn)動(dòng)，那它豈不是能輕松逃離地球嗎？

當(dāng)然，你會(huì)反駁說(shuō)：不會(huì)啊，地面把它擋住了，不能往下繼續(xù)落下去啊！

沒錯(cuò)，的確是地面擋住了！

但問(wèn)題是，要不是地面擋住了，哪怕你用最小的速度拋出，它都能飛離地球？

當(dāng)然不是。

根據(jù)萬(wàn)有引力定律，只有當(dāng)滿足

時(shí)，物體才會(huì)逃離地球。滿足此條件的速度 就是第二宇宙速度，即

算出來(lái)大約是11.2km/s。

當(dāng)拋體的初速度達(dá)不到這個(gè)速度時(shí)，它只能永遠(yuǎn)受地球的束縛，換句話說(shuō)，它的運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)是有界的，也就是周期性的。

大家想想，我們學(xué)過(guò)什么曲線是有界的？

圓嗎？差不多對(duì)！但嚴(yán)格說(shuō)是——橢圓！

沒錯(cuò)，其實(shí)我們拋出的任何物體，如果不考慮空間的局域性，嚴(yán)格來(lái)講，它的軌跡是橢圓的一部分，只是它們的長(zhǎng)軸非常長(zhǎng)，部分曲線與拋物線幾乎是一致的，一般就當(dāng)作拋物線。

想象這樣一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)——

假設(shè)你拋出的物體能像土行孫那樣，輕松從地球中穿過(guò)，那么，在它墜入地球之后，它將沿著一個(gè)超級(jí)狹長(zhǎng)的橢圓飛行，直到最后，又從你旁邊的地下飛了上來(lái)！

所以，發(fā)射地球衛(wèi)星最大的障礙不是地球的引力，而是地面的阻擋！

如果沒有地面的阻擋，任何人分分鐘都可以發(fā)射一顆衛(wèi)星，比在池塘上打水漂都容易一萬(wàn)倍。

更進(jìn)一步，不光是與 有關(guān)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有局域性，只要運(yùn)動(dòng)本身是有界的，它滿足的規(guī)律必然只能在一定的范圍內(nèi)有效。

例如彈簧振子的振動(dòng)方程為

這是一種局域運(yùn)動(dòng)。它的周期是

它的速度為

它在平衡位置處的速度為

若振幅 很大很大，這個(gè) 豈不是也會(huì)超光速？

答案是：不會(huì)！

中學(xué)物理學(xué)過(guò)，彈簧串聯(lián)時(shí)，倔強(qiáng)總倔強(qiáng)系數(shù)滿足

隨著彈簧不斷伸長(zhǎng)，倔強(qiáng)系數(shù)越來(lái)越小，當(dāng) 時(shí)，周期 ，所以平衡位置處的速度不會(huì)一直增加。

可見，彈簧振子只是一個(gè)局域的物理模型，放大它的規(guī)模，可能會(huì)導(dǎo)致其規(guī)律失效。

實(shí)際上，所有的物理規(guī)律，幾乎都受到局域性約束。因?yàn)楸举|(zhì)上，任何物理規(guī)律本來(lái)就只是被定義在時(shí)空點(diǎn)上的，這是物理學(xué)的幾何和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定的。

典型的，慣性系必須是一個(gè)局域的空間中的參考系，所以物體的速度只在局域空間中才受到光速限制。對(duì)于超大尺度的空間，例如星系團(tuán)這樣大的空間，由于宇宙的膨脹，星系彼此遠(yuǎn)離速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光速。

另外，自然界中有些現(xiàn)象或規(guī)律滿足所謂標(biāo)度不變性，即放大尺寸后，依然保持一致，但即使這樣，并不代表該系統(tǒng)涉及的所有的規(guī)律都保持一致。

最后，需要指出的是，量子糾纏證明，量子系統(tǒng)具有非局域性，但此非局域與本文討論的含義不同，有興趣的可自行閱讀相關(guān)文獻(xiàn)。

本文轉(zhuǎn)載自《物含妙理》微信公眾號(hào)

《物理》50年精選文章