Higher-order Laplacian Renormalization

高階 Laplacian 重整化

https://arxiv.org/pdf/2401.11298

我們提出了一種適用于任意高階網(wǎng)絡(luò)的跨階拉普拉斯重正化群（X-LRG）方案。重正化群（RG）是物理學(xué)中關(guān)于標(biāo)度理論、尺度不變性和普適性的核心工具。最近，針對具有二元相互作用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，研究者引入了一種基于擴散動力學(xué)的RG方法。盡管越來越多的研究強調(diào)了多體相互作用的重要性，但我們?nèi)匀狈σ粋€適用于高階網(wǎng)絡(luò)的通用RG框架。

我們的方法利用擴散過程對節(jié)點或單純形進行聚類，信息可以在節(jié)點之間以及單純形之間（即高階相互作用）流動。該方法使我們能夠：

(i) 探索不同階數(shù)下的高階結(jié)構(gòu)，定義各階上的尺度不變性；

(ii) 提出一種粗?；桨?。

我們在可控的人工合成高階系統(tǒng)上驗證了該方法，并進一步用于分析來自多個領(lǐng)域的現(xiàn)實復(fù)雜系統(tǒng)，檢測其在特定階數(shù)下存在的尺度不變性特征。

1 引言

重正化群（RG）[1] 是現(xiàn)代理論物理學(xué)的基石，因為它使我們能夠研究一個物理系統(tǒng)如何依賴于觀測的尺度，從而定義普適類，并且更重要的是，形式化了尺度不變性的概念。盡管 RG 一直是理解廣泛物理系統(tǒng)的重要工具，但將其框架擴展到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)卻是一個近期且具有挑戰(zhàn)性的問題，這主要由于小世界效應(yīng)引起的尺度之間的相關(guān)性 [2]。這一挑戰(zhàn)已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注 [3–10]，因為它有望揭示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的多尺度結(jié)構(gòu)組織。

一些顯著的方法 [6, 11] 基于這樣一個假設(shè)：存在一個嵌入空間，并且該空間決定了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。這種潛在的幾何結(jié)構(gòu)為識別鄰近節(jié)點的群體提供了自然的方式，類似于傳統(tǒng)實空間 RG 過程中的自旋塊 [12]。這些群體隨后可以被壓縮為“超級節(jié)點”，從而得到一個粗粒化的網(wǎng)絡(luò)描述。然而，這種方法面臨一個根本性的限制：網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是拓撲結(jié)構(gòu)，不具有幾何屬性，因此需要一種基于拓撲的 RG 概念 [7, 13]。

擴散過程提供了這樣一種概念：它是一種可以在任何組合結(jié)構(gòu)上定義的動力學(xué)過程，僅依賴于結(jié)構(gòu)的拓撲性質(zhì)。圖上的擴散過程描述了信息通過邊從一個節(jié)點流向另一個節(jié)點的動力學(xué)行為，最終在連通分量上趨于均勻分布。

這一過程被形式化為一個由圖拉普拉斯矩陣 L 所定義的一階線性微分方程組。于是，我們可以將擴散時間視為一種分辨率參數(shù)：在短時間內(nèi)，信息僅擴散到鄰近節(jié)點，揭示網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)；而在較長時間下，擴散能夠到達更遠的節(jié)點，從而揭示網(wǎng)絡(luò)的全局結(jié)構(gòu)。

最近提出的一種方法——拉普拉斯重正化群（LRG）方案 [10]——正是利用了這一觀察結(jié)果，通過識別在特定尺度下由擴散強烈連接的節(jié)點群體，來生成對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的粗?；枋觥４送猓覀冞€可以采用同樣的方法來定義一種基于擴散過程拉普拉斯譜特性[14]的信息論意義上的尺度不變性概念，這種尺度不變性不同于傳統(tǒng)的“無標(biāo)度”（scale-free）概念，后者直接依賴于度分布。

上述兩個結(jié)果都依賴于網(wǎng)絡(luò)密度矩陣 的形式體系 [15]，用以描述在特定尺度下信息擴散的整體行為。

然而，網(wǎng)絡(luò)只是故事的一部分。近年來，研究者開始廣泛關(guān)注高階網(wǎng)絡(luò) （higher-order networks）：即那些超越傳統(tǒng)成對相互作用、能編碼多節(jié)點交互的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) [16–18]。高階相互作用廣泛存在于自然界系統(tǒng)中，并顯著影響著大多數(shù)動力學(xué)過程，如隨機游走 [19–21]、擴散 [22, 23]、傳播 [24–30]、協(xié)調(diào) [31–37] 和同步 [38–43] 等。

通常，k + 1 個節(jié)點之間的高階相互作用被稱為 k 階單純形 （或等價地稱為 (k + 1)-超邊）。這類具有高階相互作用的系統(tǒng)可以通過單純復(fù)形 （simplicial complexes）或超圖 （hypergraphs）進行形式化建模。其中，單純復(fù)形的結(jié)構(gòu)更為嚴(yán)謹(jǐn)，因為如果存在某一高階相互作用，則其所有子集節(jié)點之間也必須存在相應(yīng)的相互作用。

盡管高階網(wǎng)絡(luò)具有重要意義，但目前關(guān)于其重正化群（RG）方法的研究仍十分有限。最近有人提出了一種基于多階拉普拉斯矩陣 [39] 對拉普拉斯 RG 方法 [10] 進行直接推廣的方案 [44]。然而，該方法是以節(jié)點為中心的：它僅考慮信息在節(jié)點之間的擴散過程。

另一條研究路線 [14, 45, 46] 則聚焦于特定類型的單純復(fù)形，并利用重正化群技術(shù)計算了一些重要的統(tǒng)計特性。

本文中，我們提出了一種適用于任意高階網(wǎng)絡(luò)的通用重正化群方案。我們的方法基于一種新的高階擴散概念，并通過引入跨階拉普拉斯矩陣 （cross-order Laplacian）對其進行了形式化定義。在這一新的擴散過程中，信息可以通過任意階數(shù)為 m 的單純形，在任意階數(shù)為 k 的單純形之間流動。與之前僅限于節(jié)點間擴散的方法 [44, 47] 相比，我們的方案提供了一種更自然且更廣泛的推廣。

通過研究跨階拉普拉斯矩陣所描述的擴散特性，我們的方法使我們能夠探測高階網(wǎng)絡(luò)中各階結(jié)構(gòu)是否存在特征尺度，或——更重要的是——是否存在尺度不變性（scale-invariance）。具體來說，我們首先定義了適當(dāng)?shù)睦绽咕仃嚕悦枋鲆话愕母唠A擴散過程；隨后，我們利用這些矩陣：

(i) 通過馮·諾依曼熵（von Neumann entropy）和熵磁化率（entropic susceptibility）定義了一種高階的信息論意義上的尺度不變性；
(ii) 并基于選定的高階擴散過程，提出了一種明確的重正化群（RG）方案。

利用這些工具，我們從合成模型和真實數(shù)據(jù)生成的單純復(fù)形中提取了跨階尺度特征，并發(fā)現(xiàn)大多數(shù)情況下，尺度不變性只在某些特定階數(shù)下顯現(xiàn)，這表明系統(tǒng)中可能存在與階數(shù)相關(guān)的潛在機制。

2 高階網(wǎng)絡(luò)及其結(jié)構(gòu)

b. 跨階拉普拉斯矩陣。
在高階網(wǎng)絡(luò)的單純形上可以定義多種不同形式的類擴散過程，每種形式對應(yīng)于不同的拉普拉斯矩陣。對于單純復(fù)形而言，最常使用的是由 Eckmann 提出的 k 階組合 Hodge 拉普拉斯矩陣 [48]，這主要是因為它與拓撲學(xué)之間存在深刻的聯(lián)系 [49, 50]。事實上，人們確實可以通過 Hodge 拉普拉斯矩陣定義一個作用于 k -單純形上的擴散過程 [22]，這使其成為我們方法中的自然候選者。

然而，可以發(fā)現(xiàn)，基于 Hodge 拉普拉斯的擴散并不等同于通常意義上的擴散過程，例如，單純形之間流動的信息總量并不守恒（詳見補充材料第 1 節(jié)）。由于這種缺乏明確物理可解釋性的特點，它難以直接應(yīng)用于文獻 [47] 中提出的拉普拉斯重整化框架中。此外，Hodge 拉普拉斯也無法被簡單地推廣到一般的超圖場景。

因此，我們定義了一類新的拉普拉斯矩陣族，它們能夠描述豐富的高階關(guān)系，同時保持與經(jīng)典圖拉普拉斯矩陣相似的形式。我們借鑒了組合復(fù)形的一般理論 [51] 和超圖拉普拉斯矩陣 [52] 的思路來完成這一構(gòu)造。

形式上，我們選定一個自然數(shù) k ，稱之為擴散階數(shù) ，用于描述在超圖的 k -單純形上的擴散過程。隨后，我們需要確定這個過程是如何進行的，特別是：哪些單純形是“連接”的，使得信息可以在它們之間流動。

最自然的做法是，利用單純形之間的鄰接性概念，從 ? 的結(jié)構(gòu)中提取這些信息。一般來說，兩個 k -階單純形 σ 和 η 可以通過兩種方式相鄰：

(k, m)-鄰接關(guān)系 可以被形式化為不同的鄰接矩陣，類似于文獻 [51, 53] 中定義的矩陣。如果我們對 k-單純形進行索引，記為 σ?, ..., σ??，則可以定義一個具有擴散階數(shù) k 和相互作用階數(shù) m 的 (k, m)-鄰接矩陣，它是一個大小為 n? × n? 的方陣，其元素為：

例如，鄰接矩陣 A(1,2) 描述了邊（1-單純形）是如何通過三角形（2-單純形）連接的，而 A(3,0) 則告訴我們四面體（3-單純形）是如何通過頂點（0-單純形）彼此連接的。

請注意，矩陣 A(k,m) 可以被看作是一個（帶權(quán)）圖的鄰接矩陣，我們將其稱為鄰接圖 G(k,m)（見圖 1a），其中的節(jié)點是 k-單純形，邊是由 m-單純形所給出的鄰接關(guān)系。特別地，G(0,1) 就是高階網(wǎng)絡(luò)所對應(yīng)的底層圖（即 ?? ∪ ??），而 G(1,0) 則對應(yīng)于其線圖（line graph）[54]。

對于每一個帶權(quán)鄰接矩陣，我們可以通過標(biāo)準(zhǔn)公式定義其對應(yīng)的（帶權(quán)）拉普拉斯矩陣，并將其命名為跨階拉普拉斯矩陣：

矩陣 作為一個帶權(quán)圖拉普拉斯矩陣，是對稱的、半正定的，并且具有一個特征值 0，其代數(shù)重數(shù)等于其對應(yīng)的基礎(chǔ)圖 G(k,m) 的連通分支數(shù)量。

我們注意到，我們的定義包含了兩個已有的拉普拉斯矩陣家族作為特例：
(i) 一種是“以頂點為中心”的高階拉普拉斯矩陣，用于描述頂點如何通過單純形交換信息（例如文獻 [39] 中的廣義拉普拉斯矩陣），它們對應(yīng)于形式為 的跨階拉普拉斯矩陣；
(ii) 另一種是類似 Hodge 的拉普拉斯矩陣，其中擴散是通過相鄰階數(shù)的單純形在單純形之間進行的，如。

跨階拉普拉斯矩陣統(tǒng)一并推廣了上述兩種概念，使得我們可以描述這樣一類擴散過程：一方面，像 Hodge 拉普拉斯矩陣一樣，擴散可以發(fā)生在任意階數(shù)的單純形上；另一方面，又像廣義拉普拉斯矩陣一樣，可以實現(xiàn)階數(shù)之間的“跳躍”，即通過任意其他階數(shù)的單純形將不同階數(shù)的單純形連接起來。

III、高階擴散過程的統(tǒng)計物理

a. 跨階擴散。
從現(xiàn)在開始，我們將考慮在給定的 ? 上，通過 m -單純形作用于 k -單純形的高階擴散過程，并因此省略 (k, m) 的記號。這樣的過程可以簡單地寫成一個線性的一階常微分方程（ODE）：

結(jié)果表明，我們可以從熱核中推導(dǎo)出一些聚合度量，這不僅適用于網(wǎng)絡(luò)上的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯矩陣 [15]，也適用于單純復(fù)形上的 Hodge 拉普拉斯矩陣 [55]。這些度量有助于我們探測所研究結(jié)構(gòu)的特征尺度。首先，ρ 被歸一化為一個密度矩陣 [15]：

密度矩陣形式主義以及相關(guān)的馮·諾伊曼熵使我們能夠通過同時考慮所有可能的擴散路徑來描述網(wǎng)絡(luò)的傳輸特性。因此，我們可以直接將其應(yīng)用于跨階拉普拉斯算子，以研究超圖在不同尺度上的第 k 階特性。在 k=0 的情況下，這種方法已被廣泛應(yīng)用于文獻中，以提取有關(guān)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組織的關(guān)鍵信息。

特別是，熵敏感度的極大值和極小值，與擴散過程的快速減速和加速時間相對應(yīng)，在網(wǎng)絡(luò)中被證明與特征尺度的存在相對應(yīng)。更重要的是，當(dāng) C(t) 在時間范圍內(nèi)保持不變時，我們說 內(nèi)表現(xiàn)出信息尺度不變性。明確寫出階數(shù)(k, m)：已知在網(wǎng)格圖、巴拉巴西-阿爾伯特網(wǎng)絡(luò)和隨機樹等自相似結(jié)構(gòu)中，網(wǎng)絡(luò)的 k=0 和 m=1 階熵敏感度 會表現(xiàn)出一個較大的平臺。有趣的是，熵磁化率及其所對應(yīng)的尺度不變性概念可以與譜維度 （spectral dimension）這一概念聯(lián)系起來 [60–62]，它直觀上衡量了一個在流形上（在我們的場景中是圖上）進行的擴散過程所“感知”到的維度（見補充材料第 2 節(jié)）。

IV. 跨階拉普拉斯算子的重整化方案

該過程隨后被重復(fù)執(zhí)行，從而生成一系列頂點數(shù)量遞減或保持不變的超圖。我們將這樣的序列稱為重正化流（renormalization flow）。

直觀上，第 3 步識別出一組 k-單純形，它們可以被視為 Kadanoff 重正化方案 [12] 中自旋塊的推廣。然而，通常情況下，這些塊不會是均勻的，它們的形狀將反映 ? 的結(jié)構(gòu)（見圖 1b-i）。

一旦獲得了 k-單純形的劃分，我們就會進行一個粗?；襟E，將屬于同一區(qū)塊的單純形聚合在一起。首先，我們將問題轉(zhuǎn)移到頂點的領(lǐng)域：讓每個頂點繼承它所屬的所有 k-單純形的標(biāo)簽（見圖 1b-ii）。隨后，我們將繼承了相同標(biāo)簽集合的頂點合并，并從原始 ? 中誘導(dǎo)出新的單純形（見圖 1b-iii）。

該方法的完整描述以及第 3 步的可視化展示分別可在補充材料的第 3 節(jié)和第 4 節(jié)中找到。該方法的代碼實現(xiàn)可在文獻 [63] 中獲取。

請注意，時間 τ* 的選擇對重正化過程有重要影響。如果 τ 太小，則沒有任何頂點會被合并；而當(dāng) τ 增大到足夠大時，圖 G(k,m) 中所有連通的 k-單純形族都將被賦予相同的標(biāo)簽。

V. 高階尺度不變性

我們現(xiàn)在展示交叉階重整化方案應(yīng)用的具體示例。我們首先關(guān)注單純復(fù)形的合成模型，以確認在受控情況下，交叉階重整化群能夠準(zhǔn)確地還原出底層系統(tǒng)的尺度不變結(jié)構(gòu)及其階次。在完成這一驗證之后，我們將從一些真實世界數(shù)據(jù)集中提取交叉階尺度特征。

a. 偽分形單純復(fù)形。如我們前面所述，有些情況下，從高階視角觀察系統(tǒng)時，其組織結(jié)構(gòu)最為明顯。一個非常有趣的例子是無標(biāo)度偽分形單純復(fù)形家族 [64]。該家族中的單純復(fù)形最初由一個單獨的 k-單形開始構(gòu)建，并通過迭代地在每一個已存在的 (k?1)-單形上附加一個新的 k-單形來逐步增長（見圖2a）。

我們預(yù)期這些對象明顯的層次結(jié)構(gòu)會在定義在其上的一個或多個擴散過程的熵敏感性曲線中體現(xiàn)出來。圖2b展示了不同交叉階熵敏感性 C(k,m) 所表現(xiàn)出的不同非平凡行為。最重要的是，與 L×(1,2) 和 L×(2,1) 相關(guān)的曲線顯示了在時間尺度 τ 上跨越多個數(shù)量級的振蕩平臺。這些平臺對應(yīng)于由迭代構(gòu)造過程產(chǎn)生的不同且分明的尺度，可以被解釋為一種近似的高階信息尺度不變性。

令人驚訝的是，即使該單純復(fù)形所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度的 [65]，與 L×(0,1)（即標(biāo)準(zhǔn)圖拉普拉斯算子）相關(guān)的曲線卻呈現(xiàn)出一個峰值，這意味著該結(jié)構(gòu)的自相似性在頂點-邊這一層級上并不明顯。

當(dāng)我們增加構(gòu)建單純復(fù)形的迭代次數(shù)時，上述結(jié)果是一致出現(xiàn)的。正如對于一個正在增長的分形結(jié)構(gòu)所預(yù)期的那樣，我們發(fā)現(xiàn)幾乎所有可能的交叉階拉普拉斯算子對應(yīng)的尺度不變性參數(shù) P(k,m)（公式(13)）都隨著偽分形復(fù)形構(gòu)建步驟的增加而增大（見圖2c）。關(guān)鍵的是，我們還發(fā)現(xiàn)最高的 P 值始終出現(xiàn)在 P(1,2)和 P(2,1) 中，這正好對應(yīng)于與該復(fù)形自然增長方式（沿著邊添加三角形）相關(guān)的交叉階拉普拉斯算子。

一致地，我們也發(fā)現(xiàn) P(2,0)、P(1,0) 和 P(0,2) 的值較低，并大致保持恒定，而 P(0,1) 緩慢上升，表明在熵敏感性中存在一個逐漸增大的平臺（這個平臺在圖2b中不可見，因為我們在那里展示的是經(jīng)過六次迭代后的結(jié)果）。

最后，我們觀察到，這種行為也與之前關(guān)于偽分形單純復(fù)形中 L×(0,1) 譜的研究結(jié)果一致 [14]：當(dāng)頂點數(shù)較大時，其小特征值呈現(xiàn)冪律行為，即熵敏感性中出現(xiàn)平臺（參見 [47] 中的方法部分）。然而，當(dāng)我們考慮與復(fù)形內(nèi)在增長過程相關(guān)聯(lián)的拉普拉斯算子（邊和三角形之間）的熵敏感性時，即便在頂點數(shù)仍然較少的情況下，尺度不變行為也更容易且更快地被檢測到。

a. 偽分形單純形復(fù)形。正如我們之前提到的，有些系統(tǒng)的組織結(jié)構(gòu)在從高階視角觀察時最為明顯。一個非常有趣的例子是無標(biāo)度偽分形單純形復(fù)形家族 [64]。這個家族中的單純形復(fù)形是從一個單獨的 k-單純形開始構(gòu)建的，并通過迭代地將一個 k-單純形連接到復(fù)形中已有的每個 (k-m)單純形上（圖2a）。(k-m)

c. 實際數(shù)據(jù)中的高階尺度不變性。

我們建立的框架可以有效地用于深入分析真實世界網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。通過利用尺度不變性參數(shù)，我們可以提取有效的高階特征（signature），以多角度描述其層次結(jié)構(gòu)。我們選取了6個不同的真實網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集（詳見補充信息第7節(jié)），并構(gòu)建它們對應(yīng)的團復(fù)形（clique complex）——即通過將網(wǎng)絡(luò)中所有2階及以下的團填充為單純復(fù)形。

對于每個數(shù)據(jù)集，我們計算所有交叉階熵敏感性 及其對應(yīng)的尺度不變性參數(shù) P(k,m)，并將這些網(wǎng)絡(luò)的鄰接圖通過配置模型進行隨機化，作為零模型（null model）進行對比。

如圖4a所示，我們得到了一個有效刻畫網(wǎng)絡(luò)在各個高階關(guān)系中所具有的尺度不變性程度的特征簽名。觀察發(fā)現(xiàn)，不同網(wǎng)絡(luò)展現(xiàn)出豐富多樣的行為：

• 比如 E-road 網(wǎng)絡(luò) [67] 和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)合著者網(wǎng)絡(luò) [68] 在標(biāo)準(zhǔn)意義上表現(xiàn)出強尺度不變性，即在頂點與邊之間的關(guān)系中（對應(yīng)于 P(0,1) 和 P(1,0) 值較高）。

• 一些網(wǎng)絡(luò)，如 Facebook 社交網(wǎng)絡(luò) [69]，在所有階次下的尺度不變性都幾乎可以忽略。

• 有趣的是，盡管這些網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上是由成對關(guān)系構(gòu)成的，我們?nèi)园l(fā)現(xiàn)其中某些網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出顯著的高階尺度不變性，例如 Rovira i Virgili 大學(xué)電子郵件網(wǎng)絡(luò) [70]、秀麗隱桿線蟲（C. Elegans）代謝網(wǎng)絡(luò) [71–73]，以及虛構(gòu)作品《冰與火之歌》（A Song of Ice and Fire）中的社交網(wǎng)絡(luò) [74]。

需要強調(diào)的是，這種高階特征是在不假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中存在任何真實的高階相互作用的前提下獲得的，僅基于節(jié)點、邊及其形成的團結(jié)構(gòu)。這一結(jié)果驗證了我們的觀點：一個高階網(wǎng)絡(luò)的某些層次結(jié)構(gòu)可能在以節(jié)點為中心的視角下被隱藏，但在從單形（在此處是團）之間關(guān)系的角度觀察時變得清晰可見。

最后，我們將尺度不變性參數(shù)作為坐標(biāo)，將更大一組真實世界的二階團復(fù)形嵌入到 空間中（詳見補充信息第7C節(jié)）。從圖4b中可以看到，前兩個主成分揭示了各數(shù)據(jù)集中高階尺度不變性的程度存在高度異質(zhì)性。令人驚訝的是，盡管該度量較為粗糙，但我們發(fā)現(xiàn)具有相似性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)在嵌入空間中傾向于彼此靠近，如圖中著色區(qū)域所示。這進一步表明，不同類型的數(shù)據(jù)具有與其相關(guān)的特定高階尺度不變性“指紋”或特征簽名。

VI 討論

通過將拉普拉斯重整化群框架直接擴展到高階相互作用，我們開發(fā)了一種方法，利用基于高階關(guān)系連接結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健重整化過程來研究高階網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。這一過程的核心是本文提出的交叉階拉普拉斯算子所編碼的信息。

我們展示了該重整化方案能夠精確還原 那些在構(gòu)造上具有自相似性的單純結(jié)構(gòu)（即偽分形結(jié)構(gòu)），并能探測在尺度不變復(fù)形中主導(dǎo)增長機制的正確階次——這些復(fù)形具有由高階結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)出的異質(zhì)性低階結(jié)構(gòu)（如 NGF 模型）。

在對合成系統(tǒng)的控制實驗基礎(chǔ)上，我們進一步利用該框架中獲得的熵敏感性，為一組真實世界系統(tǒng)構(gòu)建了尺度不變性特征圖譜（scale-invariance profiles）。結(jié)果揭示了多種意想不到的特征尺度與不同階次下的尺度不變性行為，同時也在相同領(lǐng)域內(nèi)的系統(tǒng)之間發(fā)現(xiàn)了這類特征圖譜的共性

其中{m}是一個選定的集合。

此外，盡管本文為了表述清晰和方便使用了單純復(fù)形，但我們的方法適用于任何由有序集合構(gòu)建的組合結(jié)構(gòu) [51]。

最后，我們的研究提供了一個新的視角，有助于回答多個領(lǐng)域中關(guān)于不同高階不變結(jié)構(gòu)起源的問題 [75, 76]，以及這些結(jié)構(gòu)對其上發(fā)生的動力學(xué)過程的影響 [25, 28]，甚至也涉及它們可能對復(fù)雜系統(tǒng)的可預(yù)測性和重構(gòu)能力所帶來的限制 [77]。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2401.11298