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試想一個場景，你和另外兩個人正在河岸上一起散步，突然，不遠處的靜水中央 B 處傳來一位女子的求救聲。你們三個人都會游泳，且你們體能是一模一樣的（游泳速度和跑步速度分別一樣），初始位置也都看作是在同一處 A。

場景示意圖 | 圖中元素來源：《男子高中生的日常》動漫

恰好此時，一位外援使用了一項改變時間的技能“亂金柝”——你們現在都有五分鐘的時間去思考你們各自的路線，而外界只過去 0.5 秒。之后將恢復正常。

圖源：《一人之下》漫畫

于是你開始仔細考慮這個問題。最先出來的想法是：兩點之間直線最短。因此從你的位置往落水女子的位置連一條線，按照這個路線走應該會最快。這正是你的一位同伴 A 所選擇的路線 1，他已經準備好了。

路線 1 示意圖

還好你沒有滿足于此，又往下多想了一層：不對！我在岸上跑步的速度明顯要快于在水中游泳的速度！所以我應該在岸上多跑一會兒，使得游泳的距離盡可能短。你的另一位同伴顯然也想到了這一點，于是他選擇了路線 2，使得游泳的距離最短，他也已經準備好了。

路線 2 示意圖

此時你的心里隱隱有些不安：路線 2 就是最佳的嗎？雖然游泳的距離變短了，但我犧牲了跑步的距離，這種犧牲到底在多大程度上才算值得呢？

幸好你有著扎實的數學基礎，于是你開始定量計算。你知道，你們三個人游泳的速度都是 v，跑步的速度會快一些，是 1.33v。并且最佳路徑一定是在路線 1 和路線 2 之間。我們先假設最終的答案是路徑 ACB，接下來我們來證明它確實是時間最短路徑（對推導不感興趣的朋友可以直接跳過下一部分）。

最佳路線 ACB 示意圖

part 1

數學證明

首先，如果 ACB 確實是最短路徑，那么取任何別的路徑所需的時間都會更長，因此若以所需的時間對河岸上點的位置作圖，將得到類似下面這條曲線——時間 t 在C 點處應該取極小值。

最佳點 C 應該位于極小值處

這就是說，如果我們將 x 移到鄰近 C 的各點，一級近似下時間基本不變（曲線底部的斜率為零）。因此，我們就有了證明 ACB 是時間最短路徑的一個關鍵點——把位置做很小的移動，而時間基本不變！

于是我們把 D 點取在離 C 點很近的地方，現在我們要列出等式：

做出垂線 、 ，在 D 點離 C 點很近的情況下，可以看作 、 ，也就是說，現在的 ADB 路線使得在岸上跑的距離少了EC的長度，但是在水中游泳的距離多出來DF的長度。

兩條路線在一級近似下應耗時相同

既然在一級近似下兩條路線所用時間一樣，那么應該有： ，也就是說 。

利用三角形的正弦定理，可以知道： 、 ，而 、 ，進行替換之后，很容易得到：

part 3

斯涅耳折射定律

對于這個式子，你突然覺得非常熟悉……這里的 1.33 是我們跑步的速度除以游泳的速度得到的值，是一個特定情形下的，那么如果要考慮更加普適的情況，我們完全可以用 n 來代替 1.33。這樣，上面的式子就變成：

沒錯，這正是斯涅爾提出的著名的折射定律！

斯涅耳與折射現象 | 圖源：blog.sciencenet.cn

相信很多人都經歷過，當光線從空氣穿過液面到達水中，從側面可以看到它并不是沿著直線行駛，而是彎折一個角度，也就是說入射角 不等于出射角 ，兩個角滿足的是前面說的公式 ，其中 有一個專門的名字——

水的折射實景 | 圖源：jingyan.baidu.com

對于不同的介質，折射率有不同的特定值， 反映的是真空中光速與在該介質中的光速的比值。例如，水的折射率正是 1.33（看來你和光的速度雖然不一樣，但“折射率一樣”），水晶的折射率是 1.5，鉆石的折射率是 2.4 等等。

于是你恍然大悟，光所選擇的的路徑，就是你應該走的路徑。而女子身上處于水中的鞋子恰好帶有一圈反光能力很強的裝飾品，于是你順著它所發射出的到達你眼里的光線，成為第一個到達美女身邊的人！

救上岸之后，女子很快清醒過來，她對你十分感激，一定要報答你！于是她說道：“好孩子，你這個暑假的物理作業可以不做了！”

你看著你的這位美麗的物理老師誠懇的眼神，義正言辭：“不，老師！物理幫助我進步，使我快樂！我一定要好好做物理暑假作業！”

（故事情節部分純屬編撰，請勿當真。）

continuing

費馬時間最短原理

物理老師知道你的解題思路，對你大加贊賞。她看向天邊的落日，說道：“斯涅爾在 1621 年是通過實驗數據歸納出折射定律，1650 年費馬對這個定律進行了解釋，提出著名的‘費馬最短時間原理’——在從一點行進到另一點的所有可能的路徑中，光走的是需時最短的路徑。你剛才所應用的正是費馬最短時間原理。

費馬皮埃爾·德·費馬畫像 | 圖源：kelionline.com

“這是一個偉大的成就，也在斯涅爾的基礎上更進一步，成功預言出新的東西。

“例如，我們有三個介質：空氣（1）、水（2）、水晶（3），空氣的折射率可以看作 1，空氣對水的折射率 ，空氣對水晶的折射率 。那么，光線從水入射到水晶，應該怎么偏折呢？也就是說，水對水晶的折射率應該是多少？從費馬最短時間原理出發，這個問題很好解決，答案就是光在水和水晶這兩種介質之間的速度的比值： 。

“而只用斯涅爾定律，我們就無法直接得到這類預言，除非引入新的假定條件（在一種物質的表面上加一層另一種物質，不會改變光在后一種物質中最終的折射角）。事實上，實驗觀測確實表明這種折射率之間的‘傳遞’是正確的。”

你的同學 B 發現物理老師始終注視著夕陽，覺得很好奇，不禁仔細思索了一番，突然恍然大悟：“老師，我們雖然能看到落日，但實際上，它是不是可能已經在地平線以下了！因為地球的大氣高處稀薄，低處稠密，所以，按照費馬最短時間原理，如果光選擇在高處多走一會，以使得低處通過的距離更少，那樣的話所用時間就會更短了！”

表觀看到的落日實際位于地平線以下

物理老師對 B 同學露出了贊賞的表情，A 同學也不甘示弱，提出了一個問題：“折射率描述的是真空光速與介質光速的比值，而光速不能超過真空光速，所以折射率應該大于等于 1 才對。可是為什么我看到有的材料折射率小于 1呢？比如金的折射率就是 0.47。”

“這是一個很好的問題！實際上，在一個特定的頻率下，折射率可以大于 1 也可以小于 1，從傳送信號的角度，折射率告訴我們的是波節傳播的速率，數學上的波節確實可以比光速傳播快，但這并不意味著信號傳播的實際速率比光速快。這個問題很復雜，如果想知道的話，以后一定要學好物理！”物理老師露出了贊賞和鼓勵的美麗笑容。

最后，你們四人在“地平線以下的”夕陽的照耀下離開河邊，只覺物理果真讓人如癡如醉、興致盎然。

（讀者朋友們如果對折射率小于 1 這一現象感興趣，可以閱讀光學相關書籍，也可以參考《費曼物理學講義》第一卷第 48 章的內容。）

參考資料：

1. 《費曼物理學講義》第一卷第 26 章

編輯：紫竹與

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