選自quantamagazine

作者： Joseph Howlett

機(jī)器之心編譯

三百多年前，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在書(shū)頁(yè)邊緣留下了一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻困擾了學(xué)者幾個(gè)世紀(jì)的難題——費(fèi)馬大定理。

1994 年，Andrew Wiles 的實(shí)際性證明為這個(gè)傳奇故事畫(huà)上了句號(hào)。然而，故事并未就此結(jié)束。

那場(chǎng)偉大證明的真正遺產(chǎn)，并非僅僅是攻克了一道難題，而是揭示了不同數(shù)學(xué)世界之間一條深刻的「地下通道」——模塊化定理。這個(gè)定理證明了相對(duì)簡(jiǎn)單的「橢圓曲線」總能與一種叫做「模形式」的對(duì)象一一對(duì)應(yīng)。

最近，數(shù)學(xué)界再次掀起風(fēng)浪，這條「地下通道」竟然迎來(lái)了 pro max 版升級(jí)。四位數(shù)學(xué)家將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，從一維的橢圓曲線，延伸到了結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多的高維對(duì)象——「阿貝爾曲面」上。

這一飛躍意義非凡，它朝著實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的「大一統(tǒng)理論」（即朗蘭茲綱領(lǐng)）邁出了革命性的一步，為解決更多懸而未決的數(shù)論難題提供了前所未有的強(qiáng)大工具。

讓我們一起跟隨量子雜志的腳步，開(kāi)啟這場(chǎng)奇妙的數(shù)學(xué)之旅。

從費(fèi)馬大定理到數(shù)學(xué)統(tǒng)一之夢(mèng)

1994 年，數(shù)學(xué)界發(fā)生了一場(chǎng)「大地震」。

數(shù)學(xué)家 Andrew Wiles 終于攻克了費(fèi)馬大定理 (Fermat’s Last Theorem)，這個(gè)數(shù)論領(lǐng)域的核心難題已經(jīng)懸而未決超過(guò)三個(gè)世紀(jì)。這一證明不僅讓數(shù)學(xué)家們激動(dòng)不已，甚至登上了《紐約時(shí)報(bào)》的頭版。

作為數(shù)論中一個(gè)著名的猜想，費(fèi)馬定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在 1637 年提出。它的核心內(nèi)容非常得簡(jiǎn)單，卻困擾了數(shù)學(xué)家超過(guò) 350 年。定理陳述如下：

為了攻克這一猜想，Wiles 在另一位數(shù)學(xué)家 Richard Taylor 的協(xié)助下，首先必須證明一個(gè)更為精妙的關(guān)鍵命題。這個(gè)中間命題的意義，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解決猜想的本身。

這個(gè)關(guān)鍵的證明在于揭示：一種重要的數(shù)學(xué)方程（即橢圓曲線）總是能與一種截然不同的數(shù)學(xué)對(duì)象（即模形式）緊密關(guān)聯(lián)起來(lái)。Wiles 和 Taylor 本質(zhì)上打開(kāi)了一扇連接不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的「?jìng)魉烷T」。他們揭示出，這兩個(gè)領(lǐng)域就像彼此扭曲的鏡像。

這就為數(shù)學(xué)家們提供了一種強(qiáng)大的研究方法：如果想要理解橢圓曲線的某個(gè)性質(zhì)，他們可以進(jìn)入模形式的世界，找到并研究其對(duì)應(yīng)的「鏡像」對(duì)象，然后再將得出的結(jié)論帶回到橢圓曲線的領(lǐng)域。

這種世界之間的聯(lián)系被稱為「模性」（Modularity），不僅是證明費(fèi)馬大定理的工具，它更成為數(shù)學(xué)家攻克其他難題的萬(wàn)能鑰匙。

不僅如此，模性理論還是朗蘭茲綱領(lǐng) (Langlands Program) 的基石，這一宏大的猜想體系試圖構(gòu)建數(shù)學(xué)的「終極統(tǒng)一理論」。如果朗蘭茲綱領(lǐng)成立，則各類數(shù)學(xué)方程（不限于橢圓曲線）都將與其「鏡像世界」的對(duì)象綁定。數(shù)學(xué)家們能自由穿梭于不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域，通過(guò)鏡像轉(zhuǎn)化解決更復(fù)雜的問(wèn)題。

盡管證明模性對(duì)應(yīng)關(guān)系極其艱難，甚至被視為「不可能任務(wù)」。但在今年 2 月，四位數(shù)學(xué)家聯(lián)手實(shí)現(xiàn)了突破。他們將模性理論從橢圓曲線（一維方程）拓展到阿貝爾曲面（二維復(fù)雜方程）。

• 論文標(biāo)題：Modularity theorems for abelian surfaces
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.20645

團(tuán)隊(duì)成員分別為芝加哥大學(xué)的 Frank Calegari、倫敦帝國(guó)理工學(xué)院的 George Boxer 和 Toby Gee 以及法國(guó)國(guó)家科研中心的 Vincent Pilloni。他們證明了一大類阿貝爾曲面必然存在對(duì)應(yīng)的模形式。

從左到右分別為 Toby Gee、Frank Calegari 和 Vincent Pilloni。

倫敦帝國(guó)理工學(xué)院數(shù)學(xué)家 Ana Caraiani 對(duì)此興奮表示：「我們基本都相信這些猜想是對(duì)的，但親眼見(jiàn)證它被證實(shí)——尤其是在一個(gè)曾被認(rèn)為遙不可及的領(lǐng)域——實(shí)在令人震撼！」

這只是長(zhǎng)達(dá)數(shù)年探索的開(kāi)始！這些數(shù)學(xué)家們的終極目標(biāo)是證明所有類型的阿貝爾曲面都滿足模性對(duì)應(yīng)。正如當(dāng)年橢圓曲線的模性證明催生了無(wú)數(shù)新研究方向，此次突破已能直接幫助解決許多懸而未決的難題。

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)界的「禁區(qū)」

橢圓曲線是一種基礎(chǔ)方程，僅含 x 和 y 兩個(gè)變量。如果你將其解畫(huà)成圖像，會(huì)呈現(xiàn)看似簡(jiǎn)單的曲線。但是這些解之間存在極其豐富的復(fù)雜關(guān)聯(lián)，并頻繁現(xiàn)身于數(shù)論的核心難題中。

比如，數(shù)學(xué)界最棘手的未解之謎——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（百萬(wàn)美元懸賞問(wèn)題），它研究的正是橢圓曲線解的深層規(guī)律。

然而，直接研究橢圓曲線往往困難重重，數(shù)學(xué)家常需另辟蹊徑。這就是模形式的用武之地。

作為數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度對(duì)稱函數(shù)，模形式具有極強(qiáng)的對(duì)稱性（如折疊變換后形態(tài)不變），實(shí)際運(yùn)算時(shí)遠(yuǎn)比橢圓曲線容易處理。

乍看之下，橢圓曲線與模形式「風(fēng)馬牛不相及」。但 Wiles 和 Taylor 的證明揭示：每個(gè)橢圓曲線都對(duì)應(yīng)一個(gè)特定模形式，二者共享關(guān)鍵數(shù)學(xué)基因。例如，描述橢圓曲線解的特征數(shù)集，會(huì)在其對(duì)應(yīng)的模形式中重復(fù)出現(xiàn)。

因此，數(shù)學(xué)家們得以通過(guò)模形式這面「透視鏡」，窺見(jiàn)橢圓曲線隱藏的奧秘。他們認(rèn)為，上述對(duì)應(yīng)關(guān)系僅是更普遍真理的一個(gè)特例，存在一個(gè)比橢圓曲線更廣泛的數(shù)學(xué)對(duì)象類別。所有這些對(duì)象，都應(yīng)在對(duì)稱函數(shù)宇宙（如模形式所在的世界）中擁有「鏡像伙伴」。這些正是朗蘭茲綱領(lǐng)的核心主張。

橢圓曲線：僅含 x、y 兩個(gè)變量，因而它的解可以畫(huà)在二維平面上，呈現(xiàn)光滑曲線。如果增加第三個(gè)變量 z，解構(gòu)成三維空間中的彎曲曲面。這種更復(fù)雜的對(duì)象被稱為阿貝爾曲面，與橢圓曲線一樣，它的解具有數(shù)學(xué)家想要了解的精妙數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

阿貝爾曲面理應(yīng)對(duì)應(yīng)更復(fù)雜的模形式變體（如橢圓曲線的升級(jí)版鏡像）。但是新增變量 z 使其構(gòu)造難度暴增，解的求解如同在三維迷宮中尋路。證明其模性曾被視為「不可能任務(wù)」。

作者之一 Toby Gee 坦言，「這曾是學(xué)界刻意避開(kāi)的禁區(qū)，因前人屢試屢敗。」但是，他們四人想要嘗試解決這一難題。

尋找一座橋梁

這四位數(shù)學(xué)家都參與了朗蘭茲綱領(lǐng)的研究，他們希望能為「一個(gè)在現(xiàn)實(shí)生活中真正會(huì)出現(xiàn)的對(duì)象，而不是某些憑空捏造的怪東西」來(lái)證明其中一項(xiàng)猜想，Calegari 說(shuō)道。

阿貝爾曲面不僅確實(shí)出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中——當(dāng)然，是數(shù)學(xué)家眼中的現(xiàn)實(shí)生活——而且，證明一個(gè)關(guān)于它們的模塊化定理將會(huì)開(kāi)啟新的數(shù)學(xué)大門。「一旦你擁有了這個(gè)論斷，你就能做很多若非如此便毫無(wú)可能的事情」，Calegari 說(shuō)。

這幾位數(shù)學(xué)家于 2016 年開(kāi)始合作，希望能夠復(fù)刻 Taylor 和 Wiles 在證明橢圓曲線時(shí)所遵循的步驟。但是，對(duì)于阿貝爾曲面而言，其中的每一步都遠(yuǎn)比之前復(fù)雜。

因此，他們將研究重點(diǎn)集中在一種更容易處理的特殊類型阿貝爾曲面——即「普通阿貝爾曲面」上。對(duì)于任何一個(gè)此類曲面，都有一組數(shù)字可以描述其解的結(jié)構(gòu)。如果他們能證明同樣這組數(shù)字也可以從一個(gè)模形式中推導(dǎo)出來(lái)，那么大功就告成了。這組數(shù)字將作為一個(gè)獨(dú)特的標(biāo)簽，讓他們能將每一個(gè)阿貝爾曲面與一個(gè)模形式配對(duì)。

問(wèn)題在于，盡管為一個(gè)給定的阿貝爾曲面計(jì)算這些數(shù)字十分簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)家們卻不知道如何構(gòu)建一個(gè)帶有完全相同標(biāo)簽的模形式。當(dāng)要求如此嚴(yán)格時(shí)，模形式的構(gòu)建就變得異常困難。「你所尋找的那些對(duì)象，你甚至不能確定它們是否存在」，Pilloni 說(shuō)道。

作為替代方案，數(shù)學(xué)家們證明了，只需構(gòu)建一個(gè)其數(shù)字能在更弱的意義上與阿貝爾曲面的數(shù)字相匹配的模形式就足夠了。這個(gè)模形式的數(shù)字只需在所謂的「時(shí)鐘算術(shù)」范疇內(nèi)等價(jià)即可。

想象一個(gè)時(shí)鐘：如果時(shí)針從 10 點(diǎn)開(kāi)始，走過(guò) 4 個(gè)小時(shí)，它將指向 2 點(diǎn)。但時(shí)鐘算術(shù)可以用任何數(shù)字來(lái)進(jìn)行，而不僅僅是（像現(xiàn)實(shí)世界中的時(shí)鐘那樣）數(shù)字 12。

Boxer、Calegari、Gee 和 Pilloni 只需要證明，當(dāng)他們使用一個(gè)以 3 為周期的時(shí)鐘時(shí)，他們那兩組數(shù)字是匹配的。這意味著，對(duì)于一個(gè)給定的阿貝爾曲面，數(shù)學(xué)家們?cè)跇?gòu)建相關(guān)聯(lián)的模形式時(shí)擁有了更大的靈活性。

但即便如此，這也被證明是太困難了。

后來(lái)，他們偶然發(fā)現(xiàn)了一批模形式的寶庫(kù)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)字非常容易計(jì)算——只要他們根據(jù)一個(gè)以 2 為周期的時(shí)鐘來(lái)定義這些數(shù)字。但是，阿貝爾曲面需要的是一個(gè)以 3 為周期的時(shí)鐘。

數(shù)學(xué)家們對(duì)于如何大致地橋接這兩個(gè)不同的時(shí)鐘體系有了一些想法，但他們不知道如何使這種聯(lián)系變得嚴(yán)絲合縫，以便在模形式的世界里為阿貝爾曲面找到一個(gè)真正的匹配。就在這時(shí)，一項(xiàng)新的數(shù)學(xué)成果出現(xiàn)了，而它恰好就是他們所需要的。

意外的援手

Lue Pan 在數(shù)論這個(gè)看似不同的領(lǐng)域的工作被證明是必不可少的。

2020 年，一位名叫 Lue Pan 的數(shù)論學(xué)家發(fā)表了一篇關(guān)于模形式的證明，起初看來(lái)與這四人組的問(wèn)題并無(wú)關(guān)聯(lián)。但他很快意識(shí)到，他所發(fā)展的技術(shù)有著驚人的相關(guān)性。「我當(dāng)時(shí)完全沒(méi)想到」，Pan 說(shuō)道。

經(jīng)過(guò)數(shù)年主要通過(guò) Zoom 進(jìn)行的定期會(huì)議，數(shù)學(xué)家們?cè)诨?Pan 的技術(shù)方面開(kāi)始取得進(jìn)展，但主要的障礙依然存在。然后，在 2023 年夏天，Boxer、Gee 和 Pilloni 將德國(guó)波恩的一場(chǎng)會(huì)議視為一次完美的聚首機(jī)會(huì)。

Gee 為團(tuán)隊(duì)在 Hausdorff Research Institute 的地下室爭(zhēng)取到了一間房間，在那里他們不太可能被過(guò)路的數(shù)學(xué)家打擾。他們?cè)谀抢锘苏恢艿臅r(shí)間研究 Pan 的定理，日復(fù)一日地工作 12 個(gè)小時(shí)，只是偶爾才到地面上來(lái)補(bǔ)充點(diǎn)咖啡因。「喝完咖啡后，我們總會(huì)開(kāi)玩笑說(shuō)，我們得『回到礦井』去了」，Pilloni 說(shuō)。

辛苦的付出終有回報(bào)。「后來(lái)還有很多曲折」，Calegari 說(shuō)，「但在那一周結(jié)束時(shí)，我認(rèn)為我們或多或少已經(jīng)搞定了。」

又花了一年半的時(shí)間，他們才將 Calegari 的信念轉(zhuǎn)化為一篇長(zhǎng)達(dá) 230 頁(yè)的證明，并于今年 2 月將其發(fā)布在網(wǎng)上。他們將所有部分拼接在一起，證明了任何普通阿貝爾曲面都有一個(gè)與之相關(guān)聯(lián)的模形式。

他們這個(gè)新的門戶有朝一日可能會(huì)像 Taylor 和 Wiles 的結(jié)果一樣強(qiáng)大，揭示出關(guān)于阿貝爾曲面的、超乎任何人想象的更多信息。但首先，團(tuán)隊(duì)必須將他們的結(jié)果擴(kuò)展到非普通的阿貝爾曲面。他們已經(jīng)與 Pan 合作，繼續(xù)這場(chǎng)探索。「十年后，如果我們還沒(méi)能找到它們中的絕大部分，我會(huì)感到很驚訝」，Gee 說(shuō)。

這項(xiàng)工作也讓數(shù)學(xué)家們得以提出新的猜想——例如 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想的一個(gè)類比，其中涉及的是阿貝爾曲面而非橢圓曲線。「現(xiàn)在我們至少知道，對(duì)于這些普通曲面，這個(gè)類比是講得通的」，麻省理工學(xué)院 (MIT) 的數(shù)學(xué)家 Andrew Sutherland 說(shuō)。「在此之前，我們并不知道這一點(diǎn)。」

「由于這個(gè)定理，許多我曾夢(mèng)想有一天能夠證明的東西，現(xiàn)在都變得觸手可及了」，他補(bǔ)充道。「它改變了一切。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/the-core-of-fermats-last-theorem-just-got-superpowered-20250602/