數(shù)論新理論體系的簡單提綱

自2002年春天發(fā)現(xiàn)“自然數(shù)原理”以來，我撰寫的各類數(shù)論文章已不下數(shù)百篇。其中有向數(shù)學(xué)期刊的投稿，致數(shù)學(xué)專家的信函，也有為科學(xué)雜志撰寫的科普雜文。網(wǎng)絡(luò)普及后，博客、播客、微博等平臺更是發(fā)布甚多，已難以精確統(tǒng)計，內(nèi)容覆蓋了數(shù)論研究的各個領(lǐng)域。必須承認(rèn)，這些文章既有真知灼見，也不乏疏誤之處，部分探討本就帶有學(xué)術(shù)爭鳴的性質(zhì)。

對于某些數(shù)學(xué)概念、公式乃至猜想的證明，其改進(jìn)過程也并非全然正確。不同時期賦予它們不同的名稱與表達(dá)方式，紛繁復(fù)雜的論述中必然蘊(yùn)藏著精華內(nèi)核。現(xiàn)將我二十余年的研究成果提煉精要，把最核心的要素呈現(xiàn)給大家。

一、Ltg-空間定義

這是我數(shù)論新理論體系中最核心的成果，也是古今數(shù)學(xué)家未曾觸及的概念，它如同一把開啟數(shù)論新理論體系寶庫的鑰匙，打開了數(shù)論寶庫中的一座重要大門，在數(shù)論與代數(shù)之間架起堅實的橋梁。它是整個數(shù)論新理論體系最基礎(chǔ)、最核心的基石。多年來，這個概念本身被直接剽竊的情況相對較少，直到近一兩年我才將其公之于眾。雖然我不確定它在代數(shù)數(shù)論領(lǐng)域是否遭到剽竊，但“由等差數(shù)列構(gòu)成的正整數(shù)空間，即Ttg-空間”這一概念及其數(shù)學(xué)思想，尚未發(fā)現(xiàn)被直接剽竊的現(xiàn)象。然而在奇偶數(shù)的定義與表述上，以及某些關(guān)于哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)對猜想的證明中，存在變相的剽竊。但缺乏這一理論作為支撐點，他們的定義或證明如同空中樓閣，難以立足。

Ltg-空間定義如下：

所有正整數(shù)1,2,3,…均可由一組等差數(shù)列表示。這些等差數(shù)列按序1,2,3,…構(gòu)成無限空間。選定特定等差數(shù)列空間后，全部正整數(shù)（包括素數(shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對應(yīng)唯一項數(shù)N。因此，素數(shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律，而非隨機(jī)發(fā)生。

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zk=kN+A （公式1.1）

其中：k表示維度，k=0,1,2,3…

N為各正整數(shù)對應(yīng)的項數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號，A=1,2,3…

用圖形表示如下，

二、Ltg-空間內(nèi)N+1空間的性質(zhì)及其應(yīng)用

“N+1空間”的表達(dá)式為， Z（1）=N+1 （公式2.1）

的表格，如下

因此，數(shù)列N+1涵蓋了所有正整數(shù)。同時，每個正整數(shù)——無論是素數(shù)還是合數(shù)——都對應(yīng)著數(shù)列中的一個特定項數(shù)N。

在探討正整數(shù)的規(guī)律時，使用等差數(shù)列作為研究工具是一個非常有效的方法。然而，重要的是，在開始這樣的研究之前，我們必須明確指出我們是在哪一個特定的“正整數(shù)空間”內(nèi)進(jìn)行探討。這是因為不同的正整數(shù)空間可能會導(dǎo)致不同的規(guī)律和特性。只有當(dāng)我們指定了研究的正整數(shù)空間，等差數(shù)列才能獲得其真正的指向性，并且能夠與現(xiàn)實世界中的具體問題相對應(yīng)，從而具有實際的意義。否則，如果我們忽略了這一前提，那么所討論的等差數(shù)列就可能會變得混亂不堪，缺乏明確的指向和特定的意義，最終導(dǎo)致研究結(jié)果無效，無法為現(xiàn)實世界的問題提供有價值的見解。

通過項數(shù)N，我們可以構(gòu)建出一個按順序排列的、數(shù)量無限的合數(shù)項數(shù)列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數(shù)項數(shù)列公式可以寫成，Sn+K 的形式。

S 是一個素數(shù)，n 是系數(shù)，取值范圍包括 0、1、2 等等，而 K 表示合數(shù)首次出現(xiàn)的位置。

請注意，這里的“1n+0”中的“1”指的是一個素數(shù)。關(guān)于這個問題，我們暫不展開討論。至于合數(shù)出現(xiàn)的周期數(shù)，它與前面提到的第一個素數(shù)的數(shù)值相同。

現(xiàn)在，讓我們來觀察“3n+2”這一合數(shù)項數(shù)列。

當(dāng)n=0時，合數(shù)項數(shù)列“3n+2”等于2。請注意這里的“2”指的是項數(shù)，將其代入“n+1”數(shù)列中，我們得到3。隨后，數(shù)列中出現(xiàn)的合數(shù)都是以3為周期的，例如：6、9、12……

我們可以將正整數(shù)1、2、3……視為一個等差數(shù)列，但為何不直接稱之為“合數(shù)數(shù)列”，而是采用“合數(shù)項數(shù)列”這一術(shù)語呢？

這是因為當(dāng)我們引入一個新的項數(shù)N時，研究方法發(fā)生了根本性的變化。現(xiàn)在，我們關(guān)注的是“正整數(shù)空間”中的N+1維空間。

1）我們可以在數(shù)列N+1中定義“合數(shù)項”公式：

Nh = a(b+1) + b （公式2.2）

此公式需配合數(shù)列N+1的表格使用方有效，否則將失去意義。

式中，Nh代表合數(shù)項，a與b均為項數(shù)，取值范圍為自然數(shù)（包括0、1、2、3等）。

例如，當(dāng)a=1、b=5時，Nh=11，代入N+1得合數(shù)11+1=12。

當(dāng)a=3、b=4時，Nh=19，對應(yīng)N+1值為20。

a與b的取值范圍可取a≥1且b≥1。

該公式的重要意義在于揭示了正整數(shù)中全部合數(shù)的分布規(guī)律，可連續(xù)生成合數(shù)，并間接反映素數(shù)在正整數(shù)中的分布特性，這對數(shù)論研究至關(guān)重要。該公式表明，0至N區(qū)間內(nèi)所有正整數(shù)的分布規(guī)律，同樣適用于N增大后的情形。

2）我們擁有一個相對的素數(shù)項公式，

Hs = N - Nh （公式 2.3）

3）當(dāng)我們面對一個龐大的數(shù)字，如何判斷它是合數(shù)還是素數(shù)呢？這里有一個簡單的判定方法：

K=(N-b)/b+1 （公式2.4）

將數(shù)字N代入上述判定公式，如果方程存在整數(shù)解，則該數(shù)字為合數(shù)；若無解，則為素數(shù)。顯然，對于極大的數(shù)字，手動計算是不現(xiàn)實的，此時我們可以編寫程序借助計算機(jī)來完成這一任務(wù)。

這個公式我們稱它為素數(shù)合數(shù)判定式。

三、Ltg-空間內(nèi)2N+A空間的性質(zhì)及其應(yīng)用

正整數(shù)空間2N+A （A=1、2）空間。

2N+A的表格，如下

務(wù)必重視序號項數(shù)N的重要性，我與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家們在數(shù)論研究上的區(qū)別，正是在于引入了這個N的概念。

2N+A空間表格里面的一些性質(zhì)：

1）在奇數(shù)數(shù)列2N+1中，存在與N+1空間類似的性質(zhì)。

存在一個“合數(shù)項公式”：

N = a(2b + 1) + b （公式 3.1）

存在一個“素數(shù)項公式”（同2.3）。

存在一個“素數(shù)合數(shù)判定式”：

K = (N - b) / (2b + 1) （公式 3.2）

2）所有正整數(shù)均可由等差數(shù)列{2N+1}和{2N+2}表示；

3）2N+1是所有奇數(shù)，囊括除2以外的全部素數(shù),

數(shù)列2N+2包含所有偶數(shù)，其中2既是素數(shù)，也是最小的偶數(shù)；

4）在數(shù)學(xué)中，1被定義為單位元，但在不同的語境下，它既可能被視為素數(shù)，也可能被歸為合數(shù)。

5）數(shù)列2N+2中的每個偶數(shù)，在數(shù)列2N+1中均可找到一組首尾之和等于該偶數(shù)的數(shù)對，其數(shù)量為該偶數(shù)所在項數(shù)N的一半。例如，12=1+11=3+9=5+7，其中至少存在一對由兩個素數(shù)相加構(gòu)成的情況。

6）選定“正整數(shù)空間”后，素數(shù)便擁有了固定位置，其出現(xiàn)并非隨機(jī)現(xiàn)象。因此素數(shù)與合數(shù)的變化規(guī)律，從起始點到無窮遠(yuǎn)處始終遵循同一規(guī)律，不存在突變；

7）隨著數(shù)字增大、項數(shù)N增加，素數(shù)在總體中所占比例（濃度）降低，但其總數(shù)仍在增加；

8）隨著偶數(shù)增大，素數(shù)兩兩相加的情況并未減少或消失，而是持續(xù)增加，只是增速有所放緩。

9）任意選取表格中的一個項N，均可表示為它前方若干項的首尾相加之和。例如N=7時，可表示為0+7=1+6=2+5=3+4。

在2N+A（其中A=1或2）的空間中，我們擁有一個“素元分解基本定理”。

該定理表述為：全部正整數(shù)中的偶數(shù)均可表示為兩個素數(shù)（包括素元1）之和，其公式如下：

q + p = 2N + 2 （3.3）

該定理的證明如下：

1）在數(shù)列2N+1中任意選取兩個素數(shù)q和p，其對應(yīng)的項數(shù)分別為m和n。這是可行的。

2）它們的項數(shù)之和為K，即m+n=K，且這些項數(shù)均為固定值。

3）觀察表格，K對應(yīng)一個偶數(shù)，從而構(gòu)成閉區(qū)間[0, K]。

4）注意，項數(shù)N總是由其前項項數(shù)首尾兩兩相加的結(jié)果構(gòu)成。例如，當(dāng)N=6時，0+6、1+5、2+4及3+3均等于6，整個序列中每一項均具此特性。

5）因此，在閉區(qū)間[0,K]內(nèi)，m+n=K表明項數(shù)N具有普遍性，即項數(shù)可由前項首尾兩兩相加得到，位置不再固定，故可將閉區(qū)間改寫為[0,N]。

因此，q+p=(2m+1)+2(n+1)=2(m+n)+2=2N+2

結(jié)論：q+p = 2N+2

對于任意偶數(shù)對應(yīng)的項數(shù)N，均可表示為兩個素數(shù)項數(shù)m與n之和。這一表述將兩素數(shù)項數(shù)相加的位置固定問題，轉(zhuǎn)化為整個區(qū)間內(nèi)任意兩項數(shù)相加的問題。由于兩個素數(shù)的項數(shù)是任取的，因此兩素數(shù)項數(shù)之和等于偶數(shù)的規(guī)律適用于整個閉區(qū)間[0, N]。即使項數(shù)N趨向無窮大，該規(guī)律依然成立。

上述定理在設(shè)定特定條件后，即為哥德巴赫猜想的證明。

設(shè)定條件為：m≥1，n≥1，偶數(shù)≥6（偶數(shù)4可單獨考慮）。

后續(xù)內(nèi)容不勝枚舉，如素數(shù)等差數(shù)列、素數(shù)級數(shù)等。其中每個kN+A空間各具獨特性質(zhì)，各有其用途，本文至此告一段落。以上內(nèi)容是我多年來研究取得成果中最精華的部分。

2025年6月19日星期四