女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1 入口

“入口”（Entrance）是一個(gè)同形異音異義詞的絕佳例子，即一個(gè)詞擁有至少兩種不同的發(fā)音，每種發(fā)音都具有與其他發(fā)音不同的含義。在本文的語(yǔ)境中，這兩種發(fā)音和含義相互補(bǔ)充得非常完美：“入口”，作為進(jìn)入的地方，以及“登場(chǎng)”，帶來(lái)愉悅與驚奇。

許多人可能會(huì)說(shuō)，小說(shuō)是通過(guò)組合文字來(lái)喚起畫面，進(jìn)而引發(fā)讀者情感并觸動(dòng)其信念的藝術(shù)。也有人會(huì)說(shuō)，數(shù)學(xué)是通過(guò)組合公理和柏拉圖理念的具體化來(lái)表達(dá)“必然如此”的事物的藝術(shù)。這些描述使得將數(shù)學(xué)與小說(shuō)相結(jié)合的前景，如同電影中瘋狂科學(xué)家的實(shí)驗(yàn)，瘋狂地將化學(xué)物質(zhì)混合在一起，煮沸并蒸餾它們，并希望出現(xiàn)一個(gè)不可能的結(jié)果（一些批評(píng)家可能會(huì)聲稱，所有的數(shù)學(xué)都是枯燥無(wú)味的小說(shuō)，但我并不認(rèn)為我能夠說(shuō)服他們認(rèn)識(shí)到他們的錯(cuò)誤）。

要想象如何將這兩個(gè)領(lǐng)域以一種能夠充分體現(xiàn)這些人類項(xiàng)目中的藝術(shù)性、精準(zhǔn)性和深刻性的方式結(jié)合起來(lái)，實(shí)屬不易。阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯是首批嘗試如此創(chuàng)作的作家之一，也是其中最杰出的代表。博爾赫斯于1899年出生于布宜諾斯艾利斯，一戰(zhàn)期間及戰(zhàn)后曾在瑞士和西班牙生活，1921年返回他深愛(ài)的布宜諾斯艾利斯。在20世紀(jì)20年代至30年代初，他在阿根廷因其關(guān)于詩(shī)歌的宣言、詩(shī)歌作品、短篇小說(shuō)以及發(fā)表于《女士家庭期刊》阿根廷版等非傳統(tǒng)刊物的散文而嶄露頭角。博爾赫斯快40歲時(shí)，很容易將他視為一個(gè)失敗者：他未婚，與母親同住，并在布宜諾斯艾利斯的一家小型地方圖書館從事低級(jí)工作，夢(mèng)想著阿根廷草原上騎馬的牛仔和牧者，如同小神明般漫步的時(shí)代。

在這段人生時(shí)期，博爾赫斯視力逐漸衰退，他在阿根廷國(guó)家圖書館接觸到大量風(fēng)格迥異、內(nèi)容豐富的藏書的同時(shí)，他如饑似渴地閱讀并反復(fù)研讀伯特蘭·羅素關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)與實(shí)踐的著作。他的探索與研究，與我最初的動(dòng)機(jī)相似，源于對(duì)無(wú)限性的理解——既包括宏大的無(wú)限，如尼采在《永恒輪回》中對(duì)時(shí)空連續(xù)體的思考，1也包括微小的無(wú)限，如芝諾悖論中阿基里斯與烏龜所邁出的越來(lái)越小的步子。2

我們絕不能將博爾赫斯視為數(shù)學(xué)家，他自己也不會(huì)這樣稱呼自己，但正因他沉浸于原子組合的理念，以及無(wú)限在宏大與微小中的展現(xiàn)，再加上對(duì)羅素對(duì)芝諾悖論的解決以及對(duì)超限數(shù)的思考，博爾赫斯逐漸成為了一種承載排列數(shù)學(xué)與無(wú)限理念的容器。他對(duì)這些思想及其在周圍世界中的體現(xiàn)的沉思，最終在《虛構(gòu)集》中得到了表達(dá)，這是一部薄薄的短篇小說(shuō)集，標(biāo)志著他在阿根廷以外的文學(xué)聲譽(yù)的開(kāi)端。

確實(shí)有可能，而且非常具有誘惑力，去審視那片廣袤、不斷擴(kuò)張、沼澤般的文學(xué)作品與人物的三角洲，并將博爾赫斯歸類為愛(ài)倫·坡哥特式創(chuàng)作的繼承者、魔幻現(xiàn)實(shí)主義的開(kāi)創(chuàng)者，以及科幻小說(shuō)、元小說(shuō)和超小說(shuō)等眾多作家流派的先驅(qū)。同樣可能，甚至更具誘惑力的是，提及他獨(dú)特而令人難忘的散文風(fēng)格；諾貝爾獎(jiǎng)得主加布里埃爾·加西亞·馬爾克斯和瑪麗亞·巴爾加斯·略薩，以及其他西班牙語(yǔ)文學(xué)的杰出作家，如卡洛斯·富恩特斯和胡利奧·科塔薩爾，都將博爾赫斯視為深刻的影響。

但我并非來(lái)對(duì)博爾赫斯大加贊譽(yù)，也并非作為解讀者，更非作為文學(xué)分析師或理論家。事實(shí)上，我甚至不會(huì)探討他短篇小說(shuō)中最為顯而易見(jiàn)的數(shù)學(xué)元素。3 本文的其余部分將聚焦于他《虛構(gòu)集》中一個(gè)故事《巴別圖書館》中所描繪的最大可想象迷宮。巴別圖書館的構(gòu)想基于簡(jiǎn)單的組合數(shù)學(xué)，博爾赫斯承認(rèn)自己是從庫(kù)爾德·拉斯維茨的科幻小說(shuō)《萬(wàn)能圖書館》（1901年）中借用了這個(gè)想法。

2 無(wú)限迷宮

簡(jiǎn)而言之：想象一個(gè)由25個(gè)符號(hào)組成的字母表，其中包括句號(hào)、逗號(hào)和空格。圖書館包含所有包含這些符號(hào)的可能序列的書籍，這些書籍總共410頁(yè)，每頁(yè)40行，每行80個(gè)符號(hào)。正如博爾赫斯所寫：

宇宙（有些人稱之為圖書館）由無(wú)數(shù)六面體回廊組成，其數(shù)量可能無(wú)限。中央有一個(gè)寬大的通風(fēng)井，環(huán)繞著極低的欄桿。從任何一層的六面體，都能看到上下各層，沒(méi)有盡頭。回廊的布局一成不變。二十只長(zhǎng)書架，每邊五只，排滿四邊，留下兩邊空著。它的高度與每一層的高度相等，剛好超過(guò)一個(gè)普通圖書館員的身高。空著的兩邊中，有一邊是一個(gè)狹窄的門道，通向另一個(gè)回廊，其模樣與第一個(gè)回廊和所有回廊相同。門道左右兩側(cè)各有兩間小房間。一間可供站著睡覺(jué)，另一間用于排泄。從這里，可以通向一道盤旋的梯子，往下到達(dá)無(wú)底的深淵，往上升到遙遠(yuǎn)的高處。門道里有一面鏡子，忠實(shí)地重復(fù)著映照的事物。人們總是根據(jù)這面鏡子，說(shuō)這個(gè)圖書館不是無(wú)限的。（如果真是這樣的話，為什么會(huì)有這重復(fù)的映象呢？）我寧愿作夢(mèng)，夢(mèng)中一切光亮的表面都能反照，從而達(dá)到了無(wú)限……光線來(lái)自一些球形的果子，叫做燈。每一層六面體內(nèi)有兩只，橫排。它們發(fā)出的光不充分，然而也不中斷。

每一個(gè)六面體的每一邊墻，排列著五只書架；每一只書架上插著三十二冊(cè)開(kāi)本相同的書；每一本書有四百十頁(yè)；每一頁(yè)有四十行；每一行大約有八十個(gè)黑色的字母。每一本書的書脊上也有字母；這些字母并不指明或者說(shuō)明書頁(yè)中的意思。4

博爾赫斯故事的魅力在于，他僅用幾段文字便構(gòu)建了一個(gè)專為收藏圖書館中無(wú)數(shù)書籍而存在的完整世界，5 營(yíng)造出一個(gè)包羅萬(wàn)象的圖書館所特有的陰郁氛圍，并揭示了在如此嚴(yán)苛環(huán)境中居住所帶來(lái)的形而上學(xué)、道德與心理層面的后果。故事的敘述者是一位年邁的圖書館員，他畢生都在思考這座不可捉摸的圖書館的意義與運(yùn)作方式，而困擾他的一個(gè)問(wèn)題與困擾我們的一樣：這座宏偉建筑的形狀與結(jié)構(gòu)究竟是怎樣的？在故事的開(kāi)頭，以圖書館員的口吻敘述時(shí)，博爾赫斯寫道：

現(xiàn)在,我覺(jué)得,只要重溫一下這個(gè)古典的定義就夠了:圖書館是一個(gè)球體,其完整的中心是一個(gè)任意的六面體,其周圍則無(wú)可企及。6

然后，經(jīng)過(guò)多次沉思，故事的最后幾句邀請(qǐng)我們重新審視圖書館的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：

我相信我提到了自殺，它一年一年地越來(lái)越多。也許年老和害怕蒙騙了我，可是我懷疑，人類——這唯一的種族——正在自行消滅，而這個(gè)圖書館卻會(huì)繼續(xù)存在：光亮，孤單，無(wú)限，一動(dòng)不動(dòng)，裝滿著寶貴的書籍，既無(wú)用，也不朽，保守著秘密。

剛才我寫下了“無(wú)限”兩個(gè)字。我并不是僅僅由于修辭的習(xí)慣而加上這個(gè)形容詞的；我是說(shuō)，把世界想成無(wú)限，并非不合邏輯。誰(shuí)把它判斷為有限的，那就是自以為遠(yuǎn)處的回廊和樓梯以及六面體會(huì)不可思議地停止——這是十分可笑的。誰(shuí)把它想象成為無(wú)限的，那就是忘掉了書籍可能有一定的數(shù)目。我敢于提出解決這個(gè)古老問(wèn)題的建議：這個(gè)圖書館是無(wú)盡頭的，周期性的；如果有一個(gè)永恒的游客，從任何哪個(gè)方向穿過(guò)去，經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀(jì)之后，他會(huì)得到證實(shí)：同樣的一些書籍，以同樣的雜亂無(wú)章在重復(fù)（一次一次地重復(fù)，就會(huì)構(gòu)成次序，也就是成為次序本身）。我的寂寞，由于有了這樣美好的希望，竟然變成了快樂(lè)[萊蒂西亞·阿爾瓦雷斯·德·托雷多曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：龐大的圖書館是無(wú)用的。嚴(yán)格地講，單獨(dú)一本書就已足夠。一本普通開(kāi)本的書，用九磅或十磅的字體印刷，包括無(wú)限薄的紙的無(wú)限數(shù)書頁(yè)（十七世紀(jì)初，卡瓦利埃里說(shuō)過(guò)：所有的固體，都是一個(gè)無(wú)限數(shù)平面的重疊），可是這本絲綢一樣的袖珍本讀起來(lái)很不方便。每一頁(yè)明顯的書頁(yè)，會(huì)分開(kāi)成類似的許多頁(yè)，那不可思議的中間的一頁(yè)，則是沒(méi)有反面的。7

對(duì)于圖書管理員來(lái)說(shuō)，在廣袤的宇宙中談?wù)摕o(wú)限，想象一個(gè)不受墻壁或邊界束縛的宇宙，或許令人滿足。但大多數(shù)人的思維都會(huì)對(duì)這種永恒的概念感到抗拒。（更不用說(shuō)建造和維護(hù)的成本了！）此外，我們還必須問(wèn)：“六邊形靠什么支撐？”唯一的可能答案是下面的六邊形，這又引出下一個(gè)問(wèn)題：“那么那個(gè)六邊形又靠什么支撐？” 這讓人聯(lián)想到一個(gè)老笑話：地球立于大象之上，大象立于烏龜之上，當(dāng)好奇烏龜立于何物時(shí)，笑點(diǎn)便揭曉了：從那里往下全是烏龜。如果建筑結(jié)構(gòu)真是“從那里往下全是六邊形”，那么圖書館無(wú)疑比建在沙上的城堡更糟糕。令人驚嘆的是，下文提出的圖書館建筑模型恰好為這個(gè)問(wèn)題提供了令人滿意的答案。

關(guān)于當(dāng)前情況的嚴(yán)重性，需特別說(shuō)明。若宇宙與圖書館同義，且我們合理假設(shè)宇宙既不膨脹也不收縮，則自然引力場(chǎng)在任何地方都應(yīng)為零。盡管宇宙/圖書館中存在大量物質(zhì)，但其均勻分布意味著來(lái)自任何一個(gè)方向的引力效應(yīng)都會(huì)被來(lái)自相反方向的相同效應(yīng)完全抵消。由于圖書館的建造者從我們的角度來(lái)看必定是全知全能的，他們的能力中必定包括在圖書館中施加一個(gè)有用的恒定引力場(chǎng)的能力。

即使存在這些限制（或例外），是否仍有可能在宇宙這座圖書館的迷宮中找到一條優(yōu)雅的道路？換言之，是否有可能為宇宙這座圖書館找到一種恰當(dāng)?shù)拿枋觯饶茏詈玫貪M足圖書管理員的視角，又不違背“無(wú)限太大”的直覺(jué)？

拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究空間的性質(zhì)和不變量。在本論文中，空間將被視為由描述統(tǒng)一的一組點(diǎn)。推測(cè)圖書館的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以最好地反映匿名圖書管理員的智慧和秘密希望，這種推測(cè)并不無(wú)道理。

從經(jīng)典定理（CD）和圖書管理員的解決方案（LS）中提取以下屬性：

1. 圖書館是球形的。（CD）

2. 中心可以位于任何位置——存在均勻?qū)ΨQ性。（CD）

3. 周長(zhǎng)無(wú)法達(dá)到。（CD）

4. 不存在邊界。（LS）

5. 圖書館是無(wú)限的。（LS）

6. 圖書館是周期性的。（LS）

是否存在一個(gè)空間能夠同時(shí)具備這六種特性？如果存在，我們?cè)撊绾巫詈玫叵胂蟛⒗斫馑渴聦?shí)上，有一個(gè)極佳的候選對(duì)象幾乎完美地滿足了這些特性。

要理解候選空間，從最符合直觀幾何感的空間開(kāi)始是合理的：歐幾里得三維空間。這是一個(gè)具有體積的空間，它有三個(gè)方向軸，以我們自身為中心點(diǎn)，我們可以向前或向后移動(dòng)，可以向左或向右移動(dòng)，也可以向上或向下移動(dòng)。當(dāng)然，我們也可以以這些方向的組合進(jìn)行移動(dòng)。請(qǐng)注意，從這一描述中可以看出，并不存在固定的中心點(diǎn)：我們自己就是中心點(diǎn)。

事實(shí)上，笛卡爾最深刻的想法之一是在三維空間中指定一個(gè)點(diǎn)——某個(gè)點(diǎn)，任何點(diǎn)——并將其稱為原點(diǎn)。三條在原點(diǎn)相交的軸，通常稱為x軸、y軸和z軸，每條軸都與另外兩條軸成直角。它們抽象了我們天生的、直觀的空間定位感，并通過(guò)引入單位長(zhǎng)度（這自然導(dǎo)致了軸的編號(hào)），從而實(shí)現(xiàn)了空間的坐標(biāo)化。

但在歐幾里得三維空間中，沒(méi)有任何突出的點(diǎn)；事實(shí)上，從任何一點(diǎn)望去，看到的景象都與從其他任何一點(diǎn)望去時(shí)完全相同。這里沒(méi)有墻壁，沒(méi)有邊界，也沒(méi)有限制。故事的結(jié)尾，圖書管理員設(shè)想了這樣一種空間：它被劃分為六邊形，填滿書籍，無(wú)限延伸至整個(gè)三維空間的每一個(gè)角落。書籍的擺放模式沿著三個(gè)軸無(wú)限重復(fù)，就像二維空間中對(duì)稱的墻紙圖案一樣。雖然這種圖書館的構(gòu)想滿足了上述列表中的第(2)、(4)、(5)和(6)點(diǎn)，但也引發(fā)了上述描述的令人眩暈的迷失感。

因此，可以看出歐幾里得三維空間蘊(yùn)含了在探索圖書館大尺度結(jié)構(gòu)過(guò)程中值得關(guān)注的一些特性。在描述一個(gè)更能協(xié)調(diào)經(jīng)典格言與圖書管理員解決方案特性的圖書館子結(jié)構(gòu)之前，有必要先概述兩個(gè)想法，一個(gè)是數(shù)學(xué)的，另一個(gè)是神秘的。

數(shù)學(xué)上的這一概念相對(duì)較新，起源于20世紀(jì)初。對(duì)于本文而言，只需說(shuō)明流形是一種在局部上是歐幾里得空間，但在全局上可能是非歐幾里得空間的空間即可。最簡(jiǎn)單的例子可能是球體或地球表面。局部而言，假設(shè)我們足夠微小以至于無(wú)法察覺(jué)曲率，球體上的每個(gè)微小區(qū)域本質(zhì)上都是一個(gè)二維歐幾里得平面（2維空間）。想象中亞的草原、美國(guó)的玉米帶、撒哈拉沙漠，或是任何廣闊平靜的水域，都能生動(dòng)地說(shuō)明這一點(diǎn)。從整體來(lái)看，盡管每個(gè)小區(qū)域本質(zhì)上是平坦的，但存在非歐幾里得行為：如果我們從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，選擇一個(gè)方向，并繼續(xù)沿著這個(gè)方向移動(dòng)，我們會(huì)繞球體一周并回到起點(diǎn)。這種情況在二維空間中是不會(huì)發(fā)生的，因?yàn)樵诙S空間中，我們永遠(yuǎn)沿著一個(gè)方向移動(dòng)，永遠(yuǎn)不會(huì)再次接近之前訪問(wèn)過(guò)的點(diǎn)。

再次，流形是局部歐幾里得空間。如果我們從空間中的任意一點(diǎn)出發(fā)，環(huán)顧四周并朝任意方向邁出幾步，我們會(huì)認(rèn)為自己處于歐幾里得空間嗎？如果答案是肯定的，那么我們所處的就是一個(gè)流形。如果我們繼續(xù)行走，并且發(fā)生了一些異常現(xiàn)象，例如回到我們的起點(diǎn)，那么我們就意識(shí)到我們處于一個(gè)非平凡的流形中；也就是說(shuō)，一個(gè)具有全局非歐幾里得性質(zhì)的流形。例如，我們的宇宙似乎是一個(gè)流形，盡管在黑洞處會(huì)出現(xiàn)一些有趣的問(wèn)題。當(dāng)然，我們無(wú)法想象站在黑洞處并朝任何方向邁出一步！

這種神秘的觀念相對(duì)古老——我將追溯其根源與綿延不絕的回響的任務(wù)，交給一位博爾赫斯式的智者。讓我們從一個(gè)熟悉的地方開(kāi)始，即我們自己的宇宙。當(dāng)我們談?wù)撚钪嬷械哪硞€(gè)物體——例如番茄、書桌或椅子時(shí)，我們將其視為嵌入更大空間之中。

因此，我們常常使用相對(duì)坐標(biāo)系來(lái)指代物體，例如當(dāng)我們說(shuō)“它在我右邊”，或“在那邊！在你身后，往左邊”，或“撓我的背……再低一點(diǎn)……再低一點(diǎn)……往右邊……現(xiàn)在往上……就是這樣！” 在漫長(zhǎng)的歲月里，主要作為導(dǎo)航工具，我們逐漸確定了一些相對(duì)不那么任意的參考點(diǎn)，例如北極星、磁北極和真北極。然而，關(guān)鍵在于，這些參考點(diǎn)、這些起源，都位于我們的宇宙之內(nèi)。“宇宙之外”是一個(gè)超出正常理解范疇的短語(yǔ)。一些理論將我們的宇宙置于一個(gè)更大的矩陣中，例如一個(gè)包含無(wú)限個(gè)無(wú)法進(jìn)入的宇宙的超熱氣體云，或一個(gè)更高維度的空間，或一個(gè)由分叉宇宙構(gòu)成的復(fù)雜體系。然而，這些理論不可避免地（應(yīng)該）提出一個(gè)問(wèn)題：

更大的宇宙之外是什么？

答案是無(wú)物；虛無(wú)；非空間；不可描述性；非物性；真空之外的虛空：所有這些無(wú)物都是宇宙的“外部”。這兩個(gè)概念，數(shù)學(xué)的與神秘學(xué)的，在這道問(wèn)題及其答案中交織在一起。

球體的中心在哪里？

如果將球體視為嵌入三維空間中的日常物體，答案可能以“兩條直徑的交點(diǎn)”的形式呈現(xiàn)，或者，指著它戲劇性地說(shuō)道，特別強(qiáng)調(diào)地說(shuō)：“就在那里！在中間，在內(nèi)部！”

然而，如果我們將球面的表面視為一個(gè)流形，即一個(gè)自成一體的空間，那么問(wèn)題和答案就更加微妙了。就像我們的宇宙一樣，如果我們把自己視為球面本身上的點(diǎn)，那么就無(wú)法合法地指代球面表面之外的任何點(diǎn)。只有球面本身存在；其他一切皆為虛無(wú)。球面的中心在哪里？如果將其視為一個(gè)流形，答案是

無(wú)處不在，又無(wú)處可尋。

每個(gè)點(diǎn)都具有這樣的性質(zhì)：在局部范圍內(nèi)，它看起來(lái)像歐幾里得空間，并且無(wú)論選擇哪個(gè)方向，持續(xù)沿著該方向移動(dòng)都會(huì)使勇敢的旅行者回到起點(diǎn)。沒(méi)有任何一個(gè)點(diǎn)在任何方面被特別區(qū)分出來(lái)。

要為圖書館提供一個(gè)令人滿意的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，還需要一個(gè)額外的想法。上面提到的流形示例是一個(gè)二維球面。嚴(yán)格定義二維球面的方法有多種。歐幾里得可能會(huì)這樣寫：“給定3維空間中的一個(gè)點(diǎn)p，以p為中心的球面是所有與p保持指定均勻距離的點(diǎn)的集合。”標(biāo)準(zhǔn)單位球面的解析幾何方程是

圖1 中，歐幾里得3維空間的坐標(biāo)軸被觀察到在2維球面內(nèi)部但不屬于該球面的一點(diǎn)相交。

圖2 一個(gè)圓盤從歐幾里得2維空間卷曲出來(lái)，當(dāng)邊界收縮為一點(diǎn)時(shí)，形成一個(gè)2維球面。

圖2中，通過(guò)文字和圖片展示了2維球面的拓?fù)錁?gòu)造。

首先在歐幾里得平面上取一個(gè)圓盤，在保持圓盤內(nèi)部結(jié)構(gòu)不變（僅進(jìn)行彎曲和拉伸）的前提下，將整個(gè)邊界圓圈從2維空間中折疊出來(lái)，然后將邊界收縮為一點(diǎn)。這一點(diǎn)，即邊界的收縮點(diǎn)，成為北極點(diǎn)，并在構(gòu)造過(guò)程完成時(shí)消失于球面之中。

一個(gè)有趣的點(diǎn)：從描述的方式以及圖片展示的過(guò)程來(lái)看，可能會(huì)讓人覺(jué)得一個(gè)圓盤正在隨時(shí)間推移而發(fā)生變化。然而，實(shí)際上，我們只需說(shuō)：“將圓盤的邊界確定為一個(gè)點(diǎn)。”因此，從某種意義上說(shuō)，球體的形成是一個(gè)無(wú)時(shí)間性的步驟，它“瞬間完成”。

三維球面在過(guò)去一個(gè)世紀(jì)中推動(dòng)了拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的諸多進(jìn)展，而由于近期解決的龐加萊猜想，它仍是一個(gè)充滿活力的研究課題。三維球面是一維球面（圓）和二維球面的推廣。歐幾里得可能會(huì)這樣寫：“給定四維歐幾里得空間中的一點(diǎn)p，以p為中心球面是所有到p距離相等的點(diǎn)的集合。”標(biāo)準(zhǔn)單位三維球面的解析幾何方程是

對(duì)于三維球面，類似的拓?fù)錁?gòu)造難以想象，但通過(guò)拓展對(duì)該領(lǐng)域的理解，許多內(nèi)容或許可以直觀地領(lǐng)會(huì)。

取一個(gè)實(shí)心球體，在保持球體內(nèi)部不壓縮的情況下，將整個(gè)邊界二維球面“向上”折疊，然后簡(jiǎn)單地將邊界二維球面收縮到一點(diǎn)。就這樣！但這怎么可能做到呢？至少困難之處不難理解，因?yàn)闃?gòu)造二維球面時(shí)，我們是從二維物體（圓盤）出發(fā)，將其彎曲到三維空間中以收縮邊界。而從三維空間中的實(shí)心球體開(kāi)始，我們必須先將球體“彎曲”到四維空間中，才能收縮邊界。

在此關(guān)頭，數(shù)學(xué)變得難以想象；最好的希望是，通過(guò)冥想想象力所能觸及的低維例子，可以獲得一些可能的感覺(jué)。從二維球體的類比出發(fā)，下面介紹兩種將三維球體形象化的方法。

如果我們?nèi)∫粋€(gè)二維球面的二維歐幾里得切片，得到的幾何對(duì)象要么是一個(gè)點(diǎn)——在北極和南極——要么是一個(gè)球面。

將《平面國(guó)》中的一個(gè)想法輕度升級(jí)，想象一個(gè)平面切片從北極移動(dòng)到南極的影片。畫面顯示一個(gè)點(diǎn)逐漸擴(kuò)大為一個(gè)單位圓，然后又縮小為一個(gè)點(diǎn)（圖4左）。類似地，想象一下從一個(gè)三維球體上切下一個(gè)三維歐幾里得切片。在這種情況下，得到的幾何物體要么是一個(gè)點(diǎn)（位于“頂部”或“底部”），要么是一個(gè)二維球體。如果我們把這個(gè)大切片從頂部移動(dòng)到底部的過(guò)程拍成電影，觀眾就會(huì)看到一個(gè)點(diǎn)逐漸變成一個(gè)單位球體，然后又縮小成一個(gè)點(diǎn)（圖 4，右）。

圖3 二維球體的平面切片在南北兩極產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)，在其他地方產(chǎn)生一個(gè)圓

圖4 在左側(cè)，平面切片從二維球體的北極切到底部，而在右側(cè)，類似地，體積切片從三維球體的“北極”切到“南極”。

將這一想法擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，假設(shè)我們被迫將二維球體縮小到二維空間中，而二維球體的自然歸宿是三維空間。由于二維球體可以看作是由兩個(gè)極點(diǎn)組合而成的堆疊圓的集合體，因此可以把它看作是由兩個(gè)點(diǎn)分別代表南北兩極的相交圓的集合體的平面化描述。

與此相關(guān)的問(wèn)題是，在將三維球體縮小到三維空間后，如何表示三維球體。把三維球體看作“堆疊”的二維球面——就像二維球面是堆疊的一維球一樣--類似的三維空間表示法就是相交的二維球體的集合。

所有框架的梁和支撐結(jié)構(gòu)現(xiàn)已就位，即將完成對(duì)宇宙拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和宇宙學(xué)的組裝，而這個(gè)宇宙就是圖書館。三維球面是一個(gè)三維流形；在三維球面的每個(gè)點(diǎn)上，一個(gè)居民都會(huì)說(shuō)——在局部范圍內(nèi)——空間是歐幾里得空間。如果一群旅行者沿著他們認(rèn)為是直線的方向行走，他們可能在無(wú)數(shù)個(gè)時(shí)代后回到起點(diǎn)；因此，三維球面可以被視為周期性的。這里沒(méi)有邊界，沒(méi)有墻壁可撞擊；三維球面是無(wú)限的。此外，在博爾赫斯那篇光輝的短篇小說(shuō)《小徑分岔的花園》中，他讓那位富有同情心的漢學(xué)家斯蒂芬·阿爾伯特說(shuō)道：“我曾好奇一本書如何能是無(wú)限的。我能想到的唯一方式是，它是一本循環(huán)的、或圓形的書籍，一本最后的頁(yè)面與第一頁(yè)相同的書籍，這樣人們就可以無(wú)限地繼續(xù)下去。” 盡管阿爾伯特在《小徑分岔的花園》中否定了這種推理，但這段引文，加上博爾赫斯對(duì)尼采“永恒輪回”思想的興趣，表明博爾赫斯愿意將循環(huán)或重復(fù)的結(jié)構(gòu)視為無(wú)限的象征，或與無(wú)限同義。

作為一個(gè)三維流形，三維球面的中心無(wú)處不在又無(wú)處可尋。此外，如果三維球面如此龐大，以至于無(wú)論我們?nèi)绾我苿?dòng)，都無(wú)法環(huán)繞它一周，那么說(shuō)它的周長(zhǎng)不可達(dá)也就不無(wú)道理。（最后，這回答了關(guān)于六邊形“依托于何處”的問(wèn)題。通過(guò)形成大圓——即球體的赤道——六邊形彼此支撐，最終支撐自身，因此無(wú)需依賴一個(gè)不可能存在的“外部”基礎(chǔ)來(lái)支撐圖書館8）。

如果圖書館是宇宙，而宇宙是一個(gè)三維球體，那么圖書館就是一個(gè)球體，其精確中心是任何一個(gè)六邊形，其周長(zhǎng)是無(wú)法達(dá)到的；此外，它還是無(wú)限的和周期性的。也就是說(shuō)，三維球體的圖書館同時(shí)滿足了經(jīng)典格言和圖書管理員的珍貴希望。

3 出口

在經(jīng)典的迷宮或迷陣中，只有一個(gè)入口和一個(gè)出口。在初學(xué)者的數(shù)學(xué)觀念中，一個(gè)問(wèn)題只有一個(gè)入口，即問(wèn)題本身，而問(wèn)題也只有一個(gè)出口，即正確的解決方案。一位更有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)實(shí)踐者知道，好的問(wèn)題有許多起點(diǎn)和許多解決謎題的方法，成功地將它留在過(guò)去。事實(shí)上，入口越多，解決方法越多，問(wèn)題的含義就越豐富，它就越有可能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外產(chǎn)生共鳴。

在博爾赫斯的圖書館中，以及在他對(duì)宇宙的構(gòu)想中，這種構(gòu)造是一個(gè)由相互連接的層層迷宮組成的迷宮，這種形式暗示著一個(gè)入口對(duì)應(yīng)一個(gè)出口。但博爾赫斯在尊重傳統(tǒng)觀念的同時(shí)，也引導(dǎo)我們超越了這些傳統(tǒng)觀念。他故事中的圖書館是一個(gè)與宇宙同義的迷宮。同時(shí)，既沒(méi)有入口，又有許多入口，因?yàn)槿魏文軌蛟杏膶?shí)體，都為另一個(gè)生物提供了進(jìn)入圖書館的入口。

同樣，從作為宇宙的圖書館中，既沒(méi)有出口，同時(shí)又存在著許多出口，盡管每個(gè)出口都面臨著死亡這一殘酷的事實(shí)。或許這樣的出口能夠通向一個(gè)清晰的世界，讓所有迷宮都留在身后，但這并非我們所能知曉的，博爾赫斯的虛構(gòu)圖書館員也無(wú)法知曉。

從外部觀察，數(shù)學(xué)為我們提供了一種處理無(wú)限概念的方法，使我們能夠?qū)D書館視為一個(gè)巨大的三維球體，一個(gè)規(guī)模超出人類理解范圍的多維空間，一種組織眾多書籍的宇宙結(jié)構(gòu)。從故事內(nèi)部向外看，虛構(gòu)的圖書館員只掌握了足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解自己被開(kāi)了一個(gè)深刻的玩笑，但又不夠多到能夠笑對(duì)它。

參考文獻(xiàn)

1. A.M. Barrenechea, Borges: the Labyrinth Maker. Translated by Robert Lima. New York University Press, 1965.

2. W.G. Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel. Oxford University Press, New York, 2008.

3. J.L. Borges, Ficciones. Emece Editores, Buenos Aires, 1944. ′

4. J.L. Borges, Collected Fictions. Translated by Andrew Hurley. Penguin Classics, New York, 1998.

5. K. Lasswitz, The Universal Library. Translated by W. Ley in: C. Fadiman (ed.), Fantasia Mathematica. Copernicus, New York, 1997.

6. J. Munkres, Topology. Prentice-Hall, New Jersey, 1975.

7. J. Weeks, The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional, Manifolds. Dekker, New York, 1985.

8 William Goldbloom Bloch，Lost in a Good Book: Jorge Borges’ Inescapable Labyrinth

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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