近年來，連續體機器人憑借其高柔順性、靈活運動能力及輕量化和小型化結構，在醫療、工業檢測、人機交互等領域展現出巨大應用潛力。然而，如何實現精準的路徑跟蹤仍是各類應用普遍面臨的關鍵技術難題。

目前，主流的路徑跟蹤方法依賴于逆運動學求解，即通過數學模型求解末端執行器期望運動路徑下驅動器的對應運動路徑，并尋找多解以避開環境障礙物碰撞。然而，和剛性機械臂不同的是，連續體機器人多采用分段等曲率模型，該模型缺乏逆運動學求解理論，傳統數值方法依賴初值，也難以找到多解。部分研究采用模型預測控制（MPC），通過在線優化調整控制策略，但該方法無法保證全局最優性。

受剛性機械臂研究的啟發，有學者提出在執行器空間規劃全局最優軌跡，作為前饋控制信號以提高跟蹤精度。然而，連續體機器人的高度非線性特性使得其任務空間、配置空間和執行器空間之間的映射關系更為復雜。數值逆運動學算法通常只能提供單一解，且對初始值敏感，難以滿足全局軌跡優化的需求。

因此，如何突破逆運動學求解的局限性，發展高效、多解、不依賴初始值的解算和規劃方法，是提升連續體機器人路徑跟蹤性能的關鍵。

▍提出最優路徑跟蹤框架，實現運動控制突破性優化

面對上述挑戰，浙江大學工業控制技術國家重點實驗室熊蓉教授團隊聚焦"連續體機器人能否在執行器空間構建最優全局軌跡" 這一問題展開系統研究，并提出了一套完整的驅動器空間最優路徑跟蹤框架。

研究團隊首先基于四元數理論，建立了分段常曲率運動學的緊湊參數化模型，為后續研究奠定了簡化的理論基礎。在此基礎上，研究團隊通過嚴謹的數學推導，創新性地提出了降維解析條件，成功將復雜的三段式逆運動學問題轉化為等效一維問題。通過引入近似處理實現維度遍歷，并結合解析計算方法，構建出高效的逆運動學求解器。該求解器不僅顯著提升了計算效率，還能準確獲取配置空間中的多個可行解，為后續研究提供了關鍵技術支持。

進一步地，研究團隊創新性地建立了連系配置空間與執行器空間的線性驅動模型。基于該模型，研究團隊在執行器空間中實現了距離最優規劃這一關鍵技術突破，并通過結合執行器動力學約束進行時間最優分配，成功生成了連續軌跡。基于上述系列創新成果，研究團隊最終構建了融合離線最優軌跡規劃和在線前饋-反饋控制的路徑跟蹤框架。

為充分驗證所提方法的有效性，研究團隊專門搭建了三段式肌腱驅動連續體機器人樣機。實驗結果表明：所提出的逆運動學求解器在求解效率（提升3.2倍）、成功率（提高28%）和多解獲取能力等方面均表現出顯著優勢；執行器空間規劃展現出突出的最優特性；路徑跟蹤精度相比反饋控制提升達42%，并在復雜障礙環境應用中充分證明了其實用價值。

該研究不僅在連續體機器人運動控制方面提供了創新性優化方案，更通過算法層面的重大突破，顯著拓展了該類機器人的應用邊界。前不久，相關研究的論文成果已以"An actuator space optimal kinematic path tracking framework for tendon-driven continuum robots: Theory, algorithm and validation"為題發表在機器人領域頂級期刊《The International Journal of Robotics Research (IJRR)》上。

▍四元數理論助力，描繪機器人運動軌跡

分段等曲率模型是目前被廣泛使用的連續體機器人運動學模型。但由于方程的非線性，逆運動學解析表達式難以獲得，且傳統的數值迭代方法容易發散或陷入局部極值。

為了簡化求解過程，獲取解析表達式，研究團隊引入了四元數這一數學工具。四元數是一種特殊的數，它由一個實數部分和三個虛數部分組成，可以簡單理解為一種擴展的復數，它能夠方便地表示三維空間中的旋轉。想象一下，機器人在空間中做各種復雜的動作，其實就相當于一系列的旋轉和平移組合。而四元數就像是一把精準的“尺子”，能夠準確地衡量這些旋轉的角度和方向。

研究團隊首先從機器人單段情況入手，利用四元數對機器人的末端位置和方向進行了更加簡潔的描述。他們發現，機器人單段的末端位置和方向信息，其實只和四元數的三個元素之中（因為第四個元素在這種情況下恒為零）。這一發現大大簡化了對機器人單段形變的分析。

隨后，研究團隊將這一方法推廣到多段機器人。對于由多段組成的機器人，每一段都可以看作是一個獨立的運動單元，有自己的位置和方向。通過為每一段分配一個四元數，研究團隊能夠準確地計算出整個機器人的末端位置和方向，就像是用多個小箭頭組合成一個大箭頭，精確地指向目標位置。

▍逆運動學求解器：從目標反推執行器動作

現在，研究團隊已然明確機器人末端期望抵達的位置與方向，那么該如何精準推算出機器人每一段應如何動作才能達成這一目標？這便是逆運動學問題。

對于機器人每一段而言，它擁有兩個可調節的“自由度”，恰似兩個能夠靈活轉動的旋鈕。然而，當機器人僅有兩段時，便會浮現出一個棘手問題：即便固定了末端的位置或者方向，機器人依舊存在一個“多余”的可調節旋鈕，這便是所謂的冗余自由度。而當機器人擴展至三段時，其自由度總數達到六個，恰好與三維空間中位置和方向所需的自由度完美匹配。正因如此，三段機器人能夠精準地抵達研究團隊所期望的末端位置與方向，不存在自由度冗余。

逆運動學問題牽扯到眾多非線性方程，為了解決這一問題，研究團隊決心從簡化問題入手，先從兩段機器人展開研究。經過一系列嚴謹的數學推導，他們發現，當末端方向固定時，第一段機器人的四元數必須滿足一個線性方程；而當末端位置固定時，第一段機器人的四元數又需滿足另一個方程。如此一來，原本復雜的逆運動學問題便被巧妙地簡化為尋找滿足這兩個方程的四元數。

對于三段機器人，研究團隊同樣運用類似的方法，成功推導出每段機器人的四元數必須滿足的方程。但相較于兩段機器人，此次的方程復雜程度大幅增加。為了更直觀地理解三段機器人的逆運動學問題，研究團隊借助圖示進行分析。但由于需要尋找的是滿足所有約束條件的四元數解，這一過程極具難度，因此研究團隊為了更高效找到解，開發了逆運動學求解器。

逆運動學求解器構建流程圖

在求解器的設計過程中，研究團隊首先通過理論推導對原問題進行降維處理，同時嚴謹地證明了降維前后問題的等價性，確保簡化后的問題依然能夠準確反映原問題的本質。接著，針對低維問題，研究團隊采用近似估計方法進行簡化，并證明所使用的近似方法只會引入有界的誤差，為后續的求解提供了堅實的理論基礎。最后，研究團隊對低維近似問題的解空間進行全局搜索遍歷，并通過少量迭代對結果進行修正，從而消除誤差，最終得到原問題的多個解。

該逆運動學求解器不僅能夠高效求解逆運動學問題，還能同時獲取多個解，具備分辨率完備的優勢。仿真實驗結果表明，針對工作空間中隨機給定的末端位置與姿態，研究團隊所提出的算法在求解效率方面較傳統數值方法有了顯著提升，平均求解時間大幅縮短約80%。同時，該算法的求解成功率更高，具備強大的多解獲取能力，能夠很好地適應存在障礙物的復雜環境。

▍軌跡規劃器：精準規劃機器人行動路徑

在通過逆運動學求解算法對給定路徑求解后，能得到機器人完成路徑的所有可能配置方式，也就是將工作空間目標點映射至狀態空間中的多個點。然而，要在驅動器層面開展有效規劃，狀態空間到驅動器空間的映射問題亟待解決。

軌跡規劃器構建流程圖

研究團隊經過深入的理論推導，成功構建了軌跡規劃器，實現了機器人狀態與驅動量之間雙向線性映射關系的建立。在獲取路徑采樣點處的逆運動學多解后，借助該模型，可準確計算出驅動器空間中的對應值。隨后，團隊以每個解作為節點，計算相鄰節點間的驅動距離，構建出加權圖，并運用動態規劃方法在其中搜索具有最短執行距離的路徑，該路徑即為執行器移動距離最短的機器人配置序列。

確定最優路徑后，為機器人經過每個路徑點分配時間成為關鍵環節。這需要充分考慮驅動器硬件約束，例如速度和加速度不能超過最大值等。研究團隊采用一系列拋物線混合的線性多項式對離散的機器人配置進行插值，依據執行器的速度和加速度限制合理分配時間。最終得到的軌跡呈現梯形特征，包含加速、勻速和減速三個階段，在滿足約束條件下，實現了時間最優。

▍跟蹤控制框架：實現穩定準確路徑跟蹤控制

現有基于模型的連續體機器人路徑跟蹤控制框架大多基于微分運動學構建。為加快控制收斂速度、提升路徑跟蹤精度，亟需構建新的框架融合前述運動學解算和規劃結果，以實現對連續體機器人的穩定、精準路徑跟蹤控制。

研究團隊構建了一個包含離線最優軌跡規劃和在線前饋與反饋控制的框架。

路徑跟蹤框架的架構

離線最優軌跡規劃聚焦于預先為機器人規劃出最優運動路徑：首先，基于給定期望末端路徑選取采樣點并獲取位置與方向信息；接著運用逆運動學求解算法找出各采樣點所有可能的機器人配置，并進行碰撞檢測以規避障礙物；隨后借助驅動器空間規劃算法挑選出執行器空間移動距離最短的配置序列；再依據硬件約束為采樣點分配合理時間；最后通過插值處理得到連續軌跡，確定執行器空間運動軌跡與笛卡爾空間參考軌跡，為機器人后續運行提供精準的運動指引。

在線前饋與反饋控制著重于機器人運行過程中實時保障其精準跟蹤規劃軌跡：控制由前饋與反饋兩部分構成，前饋控制依據規劃軌跡預測機器人配置變化率并轉換為執行器速度指令，使機器人提前預知動作；反饋控制則借助運動捕捉系統獲取機器人實時位置與姿態信息，與期望值對比后計算反饋補償量并轉換為執行器速度指令，在機器人偏離軌跡時及時調整，確保其始終沿著正確軌道運行。

作為研究案例，研究團隊為機器人末端指定了一條期望跟蹤的路徑。采用所提出的規劃器，依次完成求解、碰撞檢測、路徑選取與時間分配等步驟，成功實現了驅動器空間的最優軌跡規劃。同時，研究團隊還對完整流程進行了可視化展示，直觀地呈現了規劃與控制的過程。

▍樣機搭建：進行算法及框架有效性驗證

為驗證所提算法及框架的有效性，研究團隊搭建了三段式肌腱驅動連續體機器人樣機，并開展了一系列針對性實驗。

三段式肌腱驅動連續機器人示例配置圖

該機器人原型由三段固定長度部分構成，每段內部以超彈性鎳鈦合金棒為骨架，外部等距分布碳纖維盤，增強結構剛性與穩定性。其驅動采用九根獨立控制的不銹鋼絲繩（肌腱），每三根肌腱控制一段，通過拉動或釋放實現彎曲動作，確保動作精準靈活。測量系統方面，在機器人尖端安裝反射標記，借助實時運動捕捉系統（如OptiTrack）跟蹤位置和姿態信息，為控制算法提供反饋。

連續機械臂機械設計圖

在驗證實驗中，研究團隊從多個維度展開：

逆運動學求解器性能驗證：該實驗主要隨機生成目標位姿，用不同算法求解逆運動學問題，記錄成功率、平均迭代次數和運行時間，并在自由空間與含障礙物空間分別實驗。結果顯示，所提求解器在效率和成功率上優于基準算法，尤其在含障礙物空間能快速找到無碰撞解，且無需初始值，避免陷入局部極小值，提高了求解可靠性。

多種解決方案驗證：該實驗主要針對特定末端旋轉和平移應用求解器，記錄多個解并評估碰撞情況。結果表明，求解器能找到多個解，部分可能碰撞障礙物，但通過迭代校正可找到無碰撞解，驗證了其多解求解能力。

執行器空間最優性驗證：該實驗主要構建不同形狀路徑，用數值方法和所提算法進行運動規劃，計算執行器總行程距離并應用時間分配算法，多次重復實驗評估統計數據。結果顯示，所提算法能給出執行器最短總行程距離，在求解效率和結果最優性上優于數值方法。

路徑追蹤實驗：該實驗主要通過構建含途經點的路徑并指定尖端方向，應用框架進行軌跡規劃和在線控制，研究團隊設置了四組不同設置評估前饋和時間分配效果，記錄誤差并評估統計數據。實驗表明，引入前饋控制可顯著減少跟蹤誤差，最優時間分配算法能根據機器人構型與執行器約束變化分配合適時間，進一步降低誤差，前饋與最優時間分配協同作用效果更佳。

案例研究-跟蹤 IJRR 形路徑：案例研究該實驗主要設計IJRR 形狀路徑并放置障礙物，應用框架進行軌跡規劃和在線控制，記錄跟蹤性能。結果顯示，框架能生成無碰撞軌跡，機器人精準跟蹤路徑，平均位置誤差和方向誤差均較低，驗證了框架在跟蹤復雜路徑并避免碰撞方面的能力。

通過上述實驗，研究團隊證實了三段式肌腱驅動連續機器人原型及其控制算法的有效性。其機器人原型結構靈活、驅動精準、測量準確，能在復雜環境中實現高效精準的運動控制。控制算法在求解逆運動學問題、生成最優軌跡以及提高跟蹤精度方面表現優異，跟蹤精度較傳統反饋控制器有明顯提升，平均末端位置誤差降低50%至80%，為連續機器人的應用提供了有力支撐。

參考文章：

https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/02783649241290525