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比嶗山幻術(shù)更容易：量子隧穿

在《聊齋 · 嶗山道士》故事中，書生王生前往嶗山學(xué)法術(shù)，幾個(gè)月后吃不了修行的苦，決定下山。臨行前他軟磨硬泡讓道長教他一些法術(shù)，道士將穿墻術(shù)教給了他。王生回到家中，迫不及待跟妻子顯擺穿墻法術(shù)，不曾想，頭被墻撞了個(gè)大包也沒成功。可惜王生學(xué)藝不精，又沒有天生大力，成為了口口相傳的笑話。假如王生有機(jī)會(huì)來到量子世界，會(huì)有怎樣的一番奇遇呢？

現(xiàn)在，王生已經(jīng)來到量子世界了，并且是一維的量子世界。在一維的世界，他只能沿著一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，為了方便描述，就規(guī)定他只能向左、向右走動(dòng)吧。

他向右走啊走啊，遇到了“一堵墻”，墻壁厚2a。請(qǐng)尊貴的三維讀者時(shí)刻記住，這是在一維的世界，所以該墻沒有長度，只有厚度。這堵墻具有勢(shì)能V，它的“高度”就代表著跨越這堵墻的難度，為此它還有個(gè)很高冷的名字叫“勢(shì)壘”。

小結(jié)一下，目前的情況就是：能量為E的王生從左向右運(yùn)動(dòng)，碰到了一堵勢(shì)能V，厚2a的墻。

▲在一維世界運(yùn)動(dòng)的王生（波形態(tài)）

接下來會(huì)發(fā)生什么事情呢？我們接下來分兩種情況討論：

當(dāng)E大于等于V時(shí)，這相當(dāng)于于王生有大力，能量很高，他很輕松就能穿到勢(shì)壘的右邊。在宏觀世界，從高的山坡沖下來，可以越過較低的山坡。反過來，從較低的山坡沖下，就無法越過較高的山坡。

當(dāng)E小于V，宏觀世界里王生穿不過，量子世界情況是怎樣的呢？可以列薛定諤方程求解。

勢(shì)壘把一維世界分成了3個(gè)部分，勢(shì)壘左邊，勢(shì)壘本身，勢(shì)壘右邊。3個(gè)部分的定態(tài)（不隨時(shí)間變化）薛定諤方程分別為：

是不是看到復(fù)雜的方程就雙眼一黑？

別著急，小編貼心地把求解的結(jié)果用動(dòng)畫呈現(xiàn)出來了，就不在這里咔咔寫解題過程了。

▲一維量子隧穿效應(yīng)的直觀動(dòng)畫演示

當(dāng)E小于V時(shí)，大部分波反射彈回，一部分波穿到了勢(shì)壘右邊。在這里，波指的是概率波，它和粒子出現(xiàn)的概率相關(guān)（波函數(shù)模的平方等于粒子出現(xiàn)的概率）。透射的概率、反射的概率加起來等于1，滿足概率守恒條件。

從計(jì)算結(jié)果還能總結(jié)出一些規(guī)律：

（1）E越接近勢(shì)壘V，透射概率越大；

（2）勢(shì)壘V比E越高，透射概率越小，這和直覺也是一致的，墻越高，穿越更加不易；

（3）墻越厚（a越大），透射概率越小；

（4）王生質(zhì)量m越小，透射概率越大……

不管怎樣，透射概率總是大于0，王生總有一定概率穿到墻的另一側(cè)。他是怎么穿過比自己能量還高的勢(shì)壘的？無人知曉。這個(gè)現(xiàn)象有個(gè)名字，就是量子隧穿效應(yīng)。

恭喜王生，在量子世界，他什么法術(shù)都不用學(xué)，量子力學(xué)讓他自動(dòng)具備了穿墻本領(lǐng)。幾次失敗不算啥，沒有爬不過去的山，沒有跨不過去的坎，只要嘗試次數(shù)足夠多，總有一次會(huì)過去的。如果再多花點(diǎn)心思，多多鍛煉減減體重，選不那么厚的墻，穿墻的概率還能再高一些。王生重生量子世界的故事就到這里了，是不是還品出了點(diǎn)心靈雞湯味？

言歸正傳，當(dāng)人們最初從薛定諤方程得到量子隧穿這樣反直覺的結(jié)果時(shí)，不疑惑是不可能的，這個(gè)結(jié)果有沒有物理意義呢？

有的。1928年喬治·伽莫夫就用量子隧穿效應(yīng)解釋了原子核的阿爾法衰變。

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穿透核力之墻

阿爾法衰變指的是原子核放出一個(gè)由2個(gè)質(zhì)子2個(gè)中子組成的α粒子，原子序數(shù)減2。在原子核內(nèi)，中子和質(zhì)子通過強(qiáng)相互作用緊緊束縛在核內(nèi)，強(qiáng)相互作用是四大基本力中最強(qiáng)的。在經(jīng)典力學(xué)中，核內(nèi)的質(zhì)子、中子需要超強(qiáng)的能量才能逃出強(qiáng)相互作用筑起的壁壘，經(jīng)典力學(xué)無法解釋阿爾法衰變。

根據(jù)量子隧穿效應(yīng)，粒子不需要具有比勢(shì)壘還強(qiáng)勁的能量也能逃出原子核的束縛；粒子可以概率性地越過原子核的勢(shì)壘，逃出原子核的束縛。伽莫夫提出，原子核的勢(shì)壘由吸引的強(qiáng)相互作用與排斥的庫侖作用共同形成。在此基礎(chǔ)上，他用薛定諤方程推導(dǎo)的結(jié)果解釋了阿爾法衰變。

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觸發(fā)恒星熔爐

量子隧穿也發(fā)生在太陽內(nèi)部。太陽發(fā)出的光和熱來自內(nèi)部的核聚變，其核心的溫度高達(dá)1500萬攝氏度，但根據(jù)地球上研究核聚變的科學(xué)家的經(jīng)驗(yàn)，要讓核聚變順利發(fā)生，溫度至少要飆到1億攝氏度。在只有1500萬度的情況下，太陽是怎么讓核聚變燒下去的？

答案也是量子隧穿。

太陽內(nèi)主要發(fā)生的是質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應(yīng)，從質(zhì)子到氘到氦-3到氦-4。在太陽核心，粒子又多又密，撞來撞去。雖然量子隧穿的成功率低，但架不住粒子多、碰撞勤，每秒鐘仍能發(fā)生大約1038次核聚變，這樣一來，太陽就可以將核聚變維持下去，從而持續(xù)不斷地產(chǎn)生能量，穩(wěn)定發(fā)光。

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量子隧穿的應(yīng)用

在阿爾法衰變、質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應(yīng)中，量子隧穿的主角是質(zhì)子。前面我們提到過，在其他條件相同的情況下，質(zhì)量越小的粒子，穿越勢(shì)壘的概率越大，對(duì)于質(zhì)量遠(yuǎn)小于質(zhì)子的電子，它的穿墻本領(lǐng)更厲害，掃描隧道顯微鏡（STM）就利用了電子的“超強(qiáng)”穿墻能力。

1986 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)一半授予德國物理學(xué)家賓尼希（Gerd Binnig）和瑞士物理學(xué)家羅雷爾（Heinrich Rohrer），以表彰他們發(fā)明了掃描隧道顯微鏡（STM）。（另一半獎(jiǎng)金授予了電子顯微鏡的發(fā)明者恩斯特·魯斯卡（Ernst Ruska））。STM的探針在樣品表面移動(dòng)，針尖與樣品表面可看作兩個(gè)電極，之間的間隙相當(dāng)于勢(shì)壘。由于量子隧穿效應(yīng)，針尖和樣品之間會(huì)產(chǎn)生隧穿電流。而每個(gè)原子有一定大小，在掃描過程中間隙就會(huì)隨位置發(fā)生相應(yīng)高低變化，流過探針的隧道電流也不同。即使是百分之幾納米的高度變化也能在隧道電流上反映出來，記錄下隧道電流的變化，就可得到分辨率為百分之幾納米的 STM 圖像。

除了STM，量子隧穿效應(yīng)的應(yīng)用場(chǎng)景還有很多。1957年江崎玲于奈利用量子隧穿效應(yīng)發(fā)明了一種新型二極管，稱為“隧道二極管”，也稱為江崎二極管，目前這種二極管在微波通信電路中還有應(yīng)用。1973年，江崎玲于奈和賈埃弗（I. Giaever）因分別發(fā)現(xiàn)“發(fā)現(xiàn)半導(dǎo)體和超導(dǎo)體中的隧穿效應(yīng)”一同獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

和他們一起獲獎(jiǎng)的還有布賴恩·約瑟夫森（B. D. Josephson），他的貢獻(xiàn)是理論預(yù)測(cè)了通過隧道勢(shì)壘的超導(dǎo)電流的性質(zhì)。兩個(gè)中間隔著薄薄一層絕緣體的超導(dǎo)體，在不加外界電壓情況下，一個(gè)超導(dǎo)體中的電子可以量子隧穿到另一個(gè)超導(dǎo)體中去，形成超導(dǎo)隧道電流；在加上外界電壓之后，最大通過電流會(huì)隨磁場(chǎng)呈周期震蕩。約瑟夫森的理論出來后，很快就得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，后來人們把超導(dǎo)隧道電流現(xiàn)象稱為約瑟夫森效應(yīng)。約瑟夫森效應(yīng)是量子效應(yīng)的一種宏觀體現(xiàn)，廣泛應(yīng)用于超導(dǎo)量子計(jì)算和超導(dǎo)量子干涉儀等領(lǐng)域。

量子隧穿也會(huì)帶來一些麻煩，當(dāng)電子元器件越做越小，進(jìn)入量子力學(xué)主導(dǎo)的微觀尺度后，電子有可能通過絕緣的薄層發(fā)生隧穿，因此量子隧穿將導(dǎo)致漏電，最終讓系統(tǒng)失效。芯片不能無限小下去，量子隧穿成了經(jīng)典計(jì)算機(jī)發(fā)展的物理“天花板” ，但在量子計(jì)算領(lǐng)域，量子隧穿卻是實(shí)現(xiàn)量子比特操作和量子算法的關(guān)鍵因素。

審校：王波濤