----------- （但愿）適用于有高中理科程度知識的人

如果你要問的是教科書式的答案，那我記得應該是這幾條：

1、“態”構成希爾伯特空間；

2、“可測量”由希爾伯特空間上的厄米算符表示；

3、態的“時間演化”滿足薛定諤方程；

4、“測量”相關：態之間的內積（波函數）的模平方等于坍縮概率。

沒有翻書，如果有遺漏歡迎補充。

那么怎樣通俗地理解呢？

當然我不贊成向廣場舞大媽科普量子力學，所以我所說的“通俗”至少是建立在高中理科物理知識基礎上。

很多科普都會向你解釋量子力學的理論，每個人思路不同，我也只是提供一種思路，未必適合所有人，但我希望可以啟發一些人。

（你也許用到的知識包括并不僅限于：函數、向量空間、概率與平均值、牛頓力學）

*** 經典力學回顧 ***

首先，讓我們仔細看看非量子力學是什么樣的。原則上，到了大學學習分析力學才能系統地了解經典力學，我們這里只是大概描述一下框架。

任何力學里都有一個概念：相空間。相空間里的元素是“物理狀態”，簡稱“態”。在經典力學里，相空間由質點的位置和動量描述，意思就是當你知道一個質點的位置和動量，你就完整地知道了它的狀態。同理，如果你有很多質點組成系統，那么相空間就由每個質點的位置和狀態描述，自由度就多了很多，但基本思路還是這樣的。

有了“態”的概念，我們就考察它怎么變化。由于“態“涵蓋了所有可能的物理信息”，所以它的變化率應該已經確定了。也就是說，我們知道了所有質點的位置和動量，我們就應該能夠知道它們的加速度，否則我們的相空間就沒有定義好。

怎樣通過“狀態”知道“狀態的變化率”呢？就是通過各種力的公式，比如胡克定律，庫侖定律，牛頓引力定律，磁力（洛倫茲力，依賴于速度），它們結合牛頓第二定律，就能告訴你在特定狀態下所有質點的加速度。

所有這些力的公式，它們的信息可以隱含在一個量里，叫哈密頓量，你暫時不用明白它怎么來的。你需要知道的是，經典力學運作的框架就是：你知道一個相空間長什么樣，然后你知道一個叫哈密頓量的東西，這個量能夠告訴你在相空間里任意一處狀態會隨時間怎樣變化。

*** 向量空間與波函數 ***

那么量子力學的理論有哪些本質上的不同呢？在以上的圖像里，有一點對于“經典力學”尤為重要，那就是相空間的結構（余切叢）。量子力學主要就是相空間的結構不同，量子力學里的相空間是個線性空間，也就是中學學的向量空間。

我們來看看量子力學的相空間怎樣描述狀態的。作為一個向量空間，中學知識就可以告訴你，可以選取一組互相垂直的基向量，然后任何一個向量都可以用這些基向量的組合來表示。量子力學里，我們可以這樣選基向量：質點在位置A是一個態|A>，質點在位置B是另一個態|B>，由于這兩件事是互斥的，我們定義這兩個態在相空間里是互相垂直的向量，那么我們可以把所有有確定位置的態定義為基向量。這樣定義后，相空間就是一個無限維的線性空間了。

既然是向量，就可以相加。于是我們有了一個“疊加態”：a*|A>+b*|B>。量子力學相空間的結構表明了這樣的態是存在的。這就是科普書里說的，既在A地又在B地的狀態。而這里的系數a, b就是波函數。這是一個位置的函數，位置A的函數值是a，位置B的函數值是b（此處有歸一化問題，不嚴格）。這里只給兩個位置賦了函數值，你可以給所有位置都賦一個值，就可以得到一個連續的函數，比如高斯函數，正弦函數等等。

如果你擅長向量空間，那么我們可以把一個向量用不同的基向量下的坐標表示（高中有學么？沒有的話百度百科一下，不難）。上面我們用的基向量是有確定位置的態（術語是位置本征態），你也可以用別的基向量，比如有確定動量的本征態。用群論可以證明，這兩個本征態之間的變換就是傅里葉變換，這句話的意思就是說，有確定動量的態的波函數是一個簡諧波（正弦波余弦波這種）。你現在也許沒法證明，事實上本科生也基本上是把這個當結論。這個波，就是德布羅意說的波粒二象性的波。一個粒子以確定的動量運動，它同時也是一個簡諧波。

*** 疊加態與可測量 ***

說了這么多波函數，那么“疊加態”究竟是什么意思呢？為什么質點可以同時存在于兩個地方呢？理解量子力學，這一步很重要。我們要重新審視一些命題，比如說“質點在位置A”。在量子力學的語境里，質點的位置是個可測量，而一個可測量的值并不總是確定的。

在經典力學里，你可以構造一個相空間的函數，對于每一個狀態，輸出它的位置，這個位置對于該狀態來說是確定的。在量子力學的相空間，只有位置本征態有確定的值，而它們的疊加沒有。一個任意的態，它的位置，或任何其它可測量，只有“平均值”，做平均的權重就是波函數的平方。你可以證明，這樣取的平均值，是符合經典力學的方程的，也就是說經典力學里我們理解的可測量，其實都是量子里的“平均值”。那么用“平均值”來描述理論，是否不嚴謹呢？不，事實上，如果你不做特定可測量的測量，疊加態的演化是可以嚴格寫出的，不需要任何的取平均，我們取平均，只是為了能和經典的結論作比較，應該說在量子的級別上，取平均是一件多余的事，是為了使用一些經典概念而強加于這個理論的操作。這就是“可測量”這個概念在量子世界的糾結之處。進而，“測量”這個過程也變得糾結起來，這個后面說。

*** 時間演化 ***

量子態的時間演化，沒什么好說的，就是薛定諤方程。這個方程和經典力學里的哈密頓方程非常非常相似，區別幾乎就是對相空間結構和哈密頓量的本質做了重定義。這個你暫時不會有體會。

值得一提的是，薛定諤方程是“酉”的，意思就是在演化過程中沒有信息丟失；換句話說，你能從更早的時間的態推導出較晚時間的態，由于沒有信息丟失，通過該方程，你也可以反著推，從較晚的態推導出更早的態，和經典力學里一樣。這個特征杜絕了“隨機性”，因為如果隨機事件發生了，那么就會有信息丟失，你就不可能進行反推。

沒有隨機性？你一定認為我瘋了。但這就是薛定諤方程的結論。那么人們說的隨機性是哪來的？下面就說。

*** 量子測量 ***

之前說到了“平均值”，既然有平均值就有概率分布，那么這個概率是什么呢？

如果我們讓一個態按薛定諤方程做演化，它不會管你可測量有什么值，你永遠只能算平均值，即使知道一個用于計算的概率分布，你似乎也無法檢測那個概率，畢竟這個態永遠不會演化成有某個特定測量值的態。也就是說這個概率分布只是用來計算出一個平均值以擬合經典結果用的，沒有概率本身的意思。

但是，有一種過程，叫測量，它可以強行告訴你一個態的測量值。為什么呢？因為它可以讓這個態坍縮到某一個測量值的本征態（就像向量的投影）。坍縮到哪個本征態呢？按照之前說的概率——波函數的平方，此時才把它當做一個概率來用。因此你會得到，這樣一個測量過程能夠得到的值，的平均值，正是我們之前算的那個符合經典力學的平均值。注意：這兩個平均值的含義不同。測量的平均值是只有測量的時候才能得到的測量結果的平均值；而之前算的平均值是測量不測量都存在的，每個態都有的性質，并且其變化遵守經典力學。

是的！有兩種不同的過程。一種是演化，它遵循薛定諤方程，它沒有隨機性；一種是測量，它以波函數的平方為概率進行態的坍縮，有隨機性。

這就是哥本哈根學派的量子力學詮釋。實驗證實了這種詮釋，如果你看過很多量子力學的科普，也許會看到“貝爾不等式”，那個就是對它的實驗證實。

那么兩種過程的界限是什么呢？意識。很多人認為，只有人的意識參與了過程，才產生測量。比如薛定諤的貓，如果人不看一眼盒子里，貓是出于生與死的疊加態的；只有用人的意識觀測過，貓的態才會坍縮到生死確定的態。

哈哈，這種觀點出來后，可算讓民眾多了不少茶余飯后的談資。多新鮮，原來科學最后也變成了唯心主義。

后續的發展，我不能很確定的說，因為我不是這個方向的（量子信息），而且你現在的知識儲備就更難理解了。只能告訴你，以上對“測量”的看法作為談資可以，嚴肅的科學應該已經不采取這個思路了。

*** 關于名字“量子” ***

講了這么多理論基礎，怎么都沒有講到“量子”的意思？不是說量子力學里什么都是一份一份的嘛？其實這么說不準確。如果單看非相對論量子力學，有很多東西都是非量子化的，只有“束縛態”有量子化現象。束縛態就是粒子在一個勢里面，由于能量的不足，空間上受到束縛。這樣的狀態下，解微分方程可以得到的解往往是離散的，就好像兩端固定的弦有離散的可取的波長一樣，或者像四周固定的鼓有特定的一些離散的頻率一樣。量子化這個現象本身，是微分方程理論就可以得出的，只是量子力學引入了“波函數”概念，把態的方程變成了波函數的微分方程，因此才“變出了”量子化。

到了相對論量子力學——量子場論后，你會發現“粒子”這樣一個離散的概念也是一種量子化的產物。早期愛因斯坦發現的光量子就是一個例子，只是當時還沒有理論可以描述它。這后面的理論就真的不是你現在可以懂的了。

--------- High-Level 內容的分割線 （以下內容需要學過量子力學的本科生才適合閱讀）---------

但是如果你想知道構造新的量子理論時所遵循的規則，比如弦論也必須遵循的基本游戲規則，我想表述會很不一樣。具體的我也還沒有總結，但我有以下幾個體會：

首先我認為測量公理應該不是一個基本公理，或者說它即使是對的，對一個理論來說也沒有框架級的重要性，應該說是一個當人類面臨測量的時候可以采用的一個有效定理。

然后，態的“時間演化”不會被單獨強調，因為1、時間只是時空的一個分量，從狹義相對論的角度來說它沒有單獨的重要性；2、演化其實只是“時間平移操作”，從對稱性的角度來說，它和“把時間平移生成元定義為能量”是等價的。即如果你把能量（哈密頓量）定義為時間平移生成元，自然就有薛定諤方程。

由上一點你也可以看出，也許對稱性會扮演很重要的角色。但是對稱性應該說不屬于“框架”，而是“內容”，即你可以在理論中加入或拿走各種對稱性，只要理論自洽就行，任何對稱性的存在都不是原則性的。

另外，所謂“可測量”，其實就是對稱性的諾特荷和諾特流，對于酉對稱性（溫伯格在第一冊證明了量子態的對稱性只能是酉且線性的或反酉且反線性的，且后者貌似只有時間反演這個離散對稱性，因此這不是一個很特殊的要求），它自然是厄米的，所以也無需多言。

這樣算下來，至少這個框架在外觀上會很不一樣。如果有人有看過類似的整理的比較好的規則，歡迎請教。