女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

泰米爾許多傳統的門庭地畫都是由一個封閉的、光滑的、精細的圖案而成。對泰米爾圖案的調查表明，這些圖案不符合他們的文化標準，因為它們由兩條、三條或更多的重疊閉合路徑組成，這些設計是由單一“永不結束”的線條組成的原本更對稱的圖案的“退化”版本。可能的原始版本已經改變。

泰米爾門庭地畫設計

在瑪加利收獲月(12月中旬至1月中旬)，南印度的泰米爾婦女每天早上都會在家門口畫圖案。瑪格利節是各種傳染病都會發生的月份。他們的設計是為了安撫統治瑪加利的濕婆神。

為了準備他們的繪畫，婦女們掃一小塊大約一碼寬的土地，在上面撒上水或涂上牛糞。在干凈潮濕的表面上，他們用等距的圓點組成一個矩形參考系。然后形成設計的曲線是用手指夾住米粉，當手朝著想要的方向移動時，通過輕微的移動，讓米粉掉出一條閉合的、平滑的線。曲線以這樣一種方式繪制，它們圍繞著點而不接觸點。“理想的設計是由一條連續的線組成的”[1，第123頁;當前作者的斜體字]。圖1顯示了滿足泰米爾理想的門庭設計示例。這些圖紙顯示了一個[圖l(a)]，兩個[圖l(b, c)]或四個[圖1 (d)]雙邊對稱。然而，還有其他傳統的門庭設計不符合泰米爾標準，因為它們由兩條、三條或更多重疊的封閉路徑組成。圖2(a)顯示了一個例子，由三條獨立的閉合線組成[圖2(b-d)]。根據萊亞德的說法，這些設計“絕對代表了一種藝術發展的精神……，但在技術上退化了”[1，第149頁;當前作者的斜體字]。他們是“仿制品”；它們可能只會給人一種由一條“永不結束”的曲線構成的印象。這種退化真的是因為未能創造出更復雜的、單一的閉線設計嗎?

圖1：泰米爾門庭地畫由一條“永不結束”的曲線組成。

在本文中，將提出另一個假設：Layard分析的由“多條永無止境的線”構成的大多數設計是最初單一閉合路徑圖形的退化版本。

pavitram圖案的分析與重建

由一條“永不結束”的線組成的圖案通常被稱為pavitram，意思是“環”和“梵天之結”。“pavitram的目的是嚇走巨人、惡靈或魔鬼”[1,p. 138]。圖2(a)中的設計雖然由三條疊加的封閉路徑組成，但卻被稱為pavitram，這不是很奇怪嗎?是否有可能構造一個與圖2(a)相當相似但只由一條線組成的設計?

圖2：pavitram設計組成的三個重疊的封閉路徑。

一方面，該設計的外部顯示出90°的旋轉對稱[參見圖3(a)]，但是另一方面，內部僅顯示出180°的旋轉對稱[參見圖3(b)]。我們如何消除內在和外在之間的不一致？

圖3：pavitram設計的外部和內部。

垂直上有兩條“sinoidal”曲線繞中心旋轉[圖2(a)與圖4(a)比較]。如果在水平上發生同樣的情況[見圖4(b)]，那么就有可能完成一個設計[圖4(c)]，不僅顯示90°的旋轉對稱(從左邊或右邊看，從底部或頂部看，圖形始終保持相同)，而且類似于pavitram[圖2(a)]。而且，設計[圖4(c)]只由一條封閉的光滑路徑組成!

圖4：重建pavitram設計

這兩種設計，Layard報道的設計[圖2(a)]和作者重建的設計[圖4(c)]僅在兩個細節上不同，如圖5所示。當在圖4(c)中曲線段在P和Q中如此接近，以至于它們幾乎接觸時，它們可能產生P和Q構成交點的錯誤印象，如圖5(a)所示。

圖5：區別

圖4(c)的單閉合線設計可能是原始設計。所報道的多條閉合線圖案[圖2(a)]是圖4(c)的退化，是由例如不清楚的繪圖或不精確的記憶引起的一代代傳承不足的結果。因為“沒有試圖保存圖案。地畫被踐踏后就找不到了”[1，第123頁]，非常容易失傳。

第二個例子

圖6(a)所示的未命名門庭設計由五條閉合曲線組成[圖6(b)]，顯示了90°的旋轉對稱性。人們可能會認為這種圖案的原型是由一條封閉的線構成的，并且顯示出同樣的旋轉對稱性。通過在每一側消除一個“假”結，如前面的例子(結P和Q)，四個設計變成可能的原始圖案(見圖7)。

圖6：由五條閉合曲線組成的未命名門庭設計。

圖7：四種可能的原始圖案。

轉換規則

在推進其他傳統泰米爾門庭設計的重建之前，似乎應該分析一下當引入或消除連接時，從一種圖案傳遞到另一種圖案時，閉合線的數量會發生什么變化。由于連接點可以通過連接兩條不同的曲線來引入，也可以通過連接同一條線的兩個部分來引入，因此必須區分兩種情況。在第一種情況下，行數減少了1。在另一種情況下，這個數字增加了1。由于連接點可能由同一曲線的兩個交叉部分構成，也可能由兩條不同的交叉曲線構成，當考慮到連接點的消除時，還會出現另外兩種(相反的)情況。現在，行數在第一種情況下增加了1，但在后一種情況下減少了。表1總結了轉換規則。

在重建pavitram設計的例子中，我們應用了規則4兩次。在第二個示例中，同樣的規則被使用了四次，將總行數從五行減少到一行。

重建“玫瑰花灑”和“搖擺板”設計

我們現在給出變換規則1的兩個應用。“玫瑰花灑”設計[見圖8(a)]由四條閉合曲線組成[圖8(b-e)]。通過在垂直軸上的P、Q和R中引入接合點，可以獲得非常相似的設計(圖9)，僅由一個閉合路徑組成。

圖8：“玫瑰水灑”設計，由四條封閉曲線組成。

圖9：重建“玫瑰花灑”設計。

圖10所示的“搖擺板”門庭設計由三條疊加的“無止境”線構成。當人們現在在水平對稱軸上的S和T中創建連接時，由單個閉合曲線構成的可能的原始圖案出現(見圖11)。

圖10：“搖擺板”設計。

圖11：重構“搖擺板”設計。

圖12：重構“搖擺板”設計。第二種可能

重現PAVITRAM設計

如圖6(a)所示，我們將未命名的門庭設計轉換為一個封閉的線條圖案，通過應用規則4消除了四個連接點。“逆”過程也是可以實現的：規則1可以引入四個新的結點。如圖13和14所示，有兩種可能性，以這種方式，最終的設計顯示出與圖6(a)相同的90°旋轉對稱，并且僅由一條“永無止境”的線形成。圖14(b)中的閉合路徑構成了這種未命名門庭設計的另一個可能的原型[圖6(a)]，因為兩種圖案仍然相當相似。令人驚訝的是，圖13(b)與我們的鋪層設計[圖2(a)]的重建圖[圖4(c)]相同，但沒有邊緣裝飾。在這種形式下，該圖案可以很容易地被擴展，正如在簡要提及泰米爾設計傳統中固有的擴展概念后所顯示的那樣。

圖13：通過引入P Q R和S中的連接進行轉換。

圖14：通過U, V, W和Z的連接進行轉換。

門庭設計的擴展

圖15所示的由單一閉合曲線制成的泰米爾門庭設計在結構上非常相似。兩者都可以被認為是“矩形”圖案(見圖16 ),在不是矩形頂點的那些邊界點處具有“圓形”裝飾。在這個意義上，圖15(b)可以被稱為圖15(a)的可能擴展或概括。圖17構成了下一步。

圖15(a) (b)：兩個相關的門庭設計。

圖16：“矩形”圖案。

圖17：擴展的下一步。

圖18(a)是圖15(a)所示泰米爾設計的另一種可能的擴展。反過來，這種圖案已被用作“搖籃”門庭設計的一個組成部分，如圖18(b)所示。我們之前分析過的精心制作的“搖擺板”圖案(圖10-12)可以被認為是圖19所示的單個閉合線元素的并置和部分疊加，因此是其延伸。

圖18：建筑的“搖籃”門庭設計。

圖19：單個閉合線元素

圖20所示的梵天結的原始形狀，由四條閉合的光滑曲線構成，可以很容易地重建。如圖21所示，在其中心附近拉長曲線段是足夠的。如果我們將這個重建的梵天結與圖22所示的傳統泰米爾門庭設計進行比較，我們的假設就更加可信了。兩者都“服從”相同的幾何算法。圖23(b)顯示了這兩個圖案的進一步擴展，這次每個正方形邊有8個點。這些閉合曲線是由四個“分支”以這樣一種方式建立起來的，兩個連續的分支相對于水平或垂直軸是對稱的。

圖20：梵天結。

圖21：重建梵天結。

圖22：另一種泰米爾傳統設計。

圖23：(a)幾何算法的說明。(b)進一步延伸。

重建的pavitram設計的擴展

還原重建的pavitram[圖13(b)]的圖案可以很容易地擴展，如圖24中p = 9和p = 17的情況所示，其中p表示方形參考系一側的點數。如圖25所示，在p = 13的情況下，設計的1 / 4的圖紙非常清楚地表明，乍一看，相當復雜的設計的基礎是一個相對簡單的幾何算法。完成每個四分之一后，轉過拐角，重復畫。這解釋了最終設計[圖13(b)和24(a,b)]顯示的90°旋轉對稱。不只是擴展的正方形圖案是可能的。圖26顯示了非正方形擴展17 x 9，其中17表示第一行中的圓點數量，9表示第一列中的圓點數量。一般來說，設計可以擴展到所有矩形參考系(4m + 1)x (4n + 1)，其中m和n表示任意自然數。所有擴展版本都可以被認為是由部分重疊的“單元”構建而成的。細胞為無邊框裝飾的重構pavitrarn設計[圖13(b)]。部分重疊的意思是兩個相鄰的單元格有一個共同的點行(或列)。圖27顯示了重建的9 x 9的pavitraman設計的擴展部分，包括邊界裝飾。

圖24：(a) 9 × 9擴展。(b) 17 × 17擴展。

圖25：幾何算法以13 × 13為例說明

圖26：17 x 9擴展

圖27：重建的pavitram設計的延伸

梵天結

“梵天結”通常只指由單一“永不結束”的線條構成的某些設計。而圖28所示的梵天結，是由五條疊加的閉合曲線構成的(見圖29)。此外，由于這五個點中有兩個穿過點P和點Q，而不是包圍它們，我們在這里很可能不處理原來的圖案。重新發現原始泰米爾設計的線索似乎在于外圍封閉曲線[圖29(a)]。是否有可能修改這條曲線，使其也能“填充”點正方形網格的內部?

圖28：梵天結

圖29：(a)周邊良好。(b)同一曲線兩次。第一個穿過P，第二個穿過q (c)相同的曲線兩次，在設計的頂部和底部。

在外圍線的每一側，相同的“環”(見圖30)重復三次。如果每個“邊”上只有一個或兩個這樣的環會發生什么？在第一種情況下(圖31)，單一的“永無止境”曲線“填滿”參考正方形。雖然在第二種情況下沒有發生這種情況[圖32(a)]，但是通過引入四次與回路非常相似的元素，正方形網格可以被“填充”[圖32(b)]，并且我們已經在圖6(c，d)中遇到過。現在，如果在S、T、U和V中應用變換規則1，則獲得具有圖32(d)所示的水平和垂直對稱軸的設計，該設計僅由一條平滑的閉合路徑組成。由這些連接引入的分支[圖32(e)]對泰米爾傳統來說并不陌生，因為我們以前在“玫瑰花灑”設計中見過它們(圖8)，它們也出現在重建和擴展的pavitram圖案中(特別參見圖25)。在每邊有三個環的情況下，使用相同的幾何算法，可以得到圖33的雙對稱圖案，這可能是最初的梵天結。

圖30：一個環。

圖31：每個“邊”都有一個環。

圖32：相反的圖案

圖33：重建梵天結。

靈感的來源

圖29(a)的外圍閉合曲線具有垂直和水平對稱軸。可以改變兩個相對側上的環的方向，使得新的外圍線出現(圖34)。這個顯示了90度的旋轉對稱。圖35顯示了每側一個環路的情況。圖36和37示出了在每側有兩個和三個環的情況下，當“填滿”內部時可以獲得的延伸。所有這些曲線都是平滑的、單一的“永無止境”的線。

圖34：顯示90°旋轉對稱的新外圍線。

圖35：每“側”一個環。

圖36：第一次延伸

圖37：第二次延伸

讓我們回到圖14(b)，用a表示這個設計。通過這個圖案在其垂直對稱軸周圍的反射，我們可以得到如圖38(b)所示的設計(表示形式-A)。如果一個元素現在按照方案連接兩個A和兩個-A元素

這樣，兩個相鄰的“單元格”有一個共同的點行(或列)邊界，你會發現有趣的單封閉路徑設計，如圖39所示，具有水平和垂直對稱軸。如果將它的5 × 5中心“隔離”，就會得到另一個“永不結束”的單線圖[圖40(a)]。設B表示這個設計。通過B在其對角線周圍的反射，可以得到圖40(B)(表示BT)。通過根據以下方案構造類似的設計

你會發現圖41中的單線圖案。5 × 5中心的隔離使我們再次回到圖案A。

圖38：(a) A. (b) -A。

圖39：根據以下方案構造的單閉合曲線

圖40：(a)B. (b) B T。

圖41。根據該方案構建的單閉合曲線

許多其他變化是可能的。

總結

Layard的研究所基于的大多數門庭地畫設計都于1923年在馬德拉斯出版。當時，在瑪加利收獲月期間，泰米爾人在自家門前畫圖案的傳統正在衰落。我們分析的設計，由多個“永無止境”的曲線組成，是最初單一封閉線條圖案的“退化”版本。這些圖案不是“從天上掉下來的”；它們不是“偶爾”被發現的。恰恰相反。系統分析導致了他們的發明。已經發現了變換規則和幾何算法。雙邊對稱和旋轉對稱的概念變得根深蒂固。它們的發明者發展了(或拋棄了)清晰的擴展和概括思想。他們構建的設計必須滿足特定的選擇標準，如“單一性”、連續性、平滑性和對稱性。

我們的分析揭示了導致泰米爾門庭設計的傳統的高度數學潛力。進一步研究它的起源和對印度(或其他地方)數學(和藝術)發展的可能影響似乎是必要的。此外，造成上述“退化”的社會、教育和技術因素，即不符合單一閉合線圖案文化標準的設計的發展，值得進一步研究。在某些情況下[例如圖6(a)]“退化”可能有助于記憶。

參考文獻

1. J. Layard, Labyrinth ritual in South India: threshold and tattoo designs. Folk-Lore 48, 115-182 (1937).

2. P. Gerdes, Zum erwachenden geometrischen Denken. Eduardo Mondlane Univ., Maputo (1985).

3. P. Gerdes, Reconstruction and extension of lost symmetries: examples from the Tchokwe of North-East Angola. Eduardo Mondlane Univ., Maputo (1988).

4. P. Gerdes, Ethnogeometrie: kulturanthropologische Beitriige zur Genese und Didaktik der Geometrie. Franzbecker Verlag, Bad Salzdetfurth 0988).

5. P. Gerdes, On possible uses of traditional Angolan sand drawings in the mathematics classroom. Educ. Stud. Math. 19, 3-22 (1988).

6. P. Gerdes, RECONSTRUCTION AND EXTENSION OF LOST SYMMETRIES: EXAMPLES FROM THE TAMIL OF SOUTH INDIA

青山不改，綠水長流，在下告退。

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