女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文討論微分方程與視覺藝術或設計作品的創作、理解或分析之間的聯系。包括放射性衰變、單參數微分方程的包絡線、擺線和懸鏈線的微分方程推導以及Whewell方程。還研究了繪畫、建筑、連線藝術、紙幣雕刻、珠寶設計、燈光設計和算法藝術的應用。

1. 介紹

藝術家從各種各樣的來源獲得靈感，包括數學。本文是探索微分方程與藝術和人文學科之間聯系的系列文章中的第三篇。本系列的第一篇探討了微分方程在文學、詩歌和電影作品中的應用[27]。第二篇論述了微分方程與音樂舞蹈作品之間的聯系[28]。本文描述了微分方程的思想如何被用于視覺藝術或設計作品的創作、理解或分析。在這三篇論文中，我們都用這個主題吸引學生參加微分方程課程，或其他感興趣的讀者，從藝術和人文學科中獲得相關和有趣的材料，并提高他們對這些學科的欣賞。

在第二節中，我們對微分方程作了簡要介紹。在第3節中，我們將介紹最簡單的微分方程模型之一，即放射性衰變的微分方程模型，并討論如何使用它來驗證繪畫和其他藝術品的來源。在第4部分，我們將討論由Mary Everest Boole首先開發的線繩藝術，并介紹線繩藝術是如何被當代藝術家、建筑師和珠寶設計師使用的。在第5節和第6節中，我們討論擺線和懸鏈線作為微分方程的解的處理。我們展示了擺線如何在建筑和紙幣雕刻中使用，以及懸鏈線如何在建筑、珠寶設計和照明設計中使用。最后，在第7節中，我們將介紹算法藝術和一些在這種媒介中進行設計的藝術家。

除了第7節中的一些材料之外，本論文中的模型和解決方案對于本科生微分方程課的學生來說是容易理解的。在第3-6節的每一節中，我們概述了相關模型的構造，并概述了如何找到解決方案或簡單地驗證解決方案是否滿足微分方程。我們沒有給出所有的細節，但是以前看過微分方程的讀者應該能夠自己完成細節。不熟悉微分方程的讀者可以跳過數學細節，仍然可以理解模型和相應藝術品之間的關系。對于這兩種類型的讀者，我們試圖提供大量的引用來了解更多。我們在論文的第8部分以一個非常簡短的概述結束，概述了這些想法在課堂上的應用方式；更多細節可以在本系列的前兩篇論文中找到[27，28]。

2.微分方程的簡要概述

這篇論文的數學根源在于對函數及其導數的研究。一般來說，導數可以被認為是某個特定時刻某個量的變化率。在這里，我們提供了一個相關定義的非常簡要的概述，并向希望了解更多關于如何求解微分方程的背景知識的讀者提供參考。

微分方程是包含一個或多個涉及函數導數的項的方程，微分方程的解是使方程成立的函數。一個微分方程和一個特定的值，稱為初始條件，在域中給定點的解決方案，被稱為初值問題。初值問題的解必須同時滿足微分方程和初始條件。

許多微分方程無法直接求解。第3-6節中出現的微分方程可以手動分析。如果我們找不到一個微分方程的封閉解，我們經常用計算機來近似求解。這些類型的基于計算機的解決方案是出現在第7節的藝術的基礎。

3.放射性衰變

放射性衰變已被用來幫助確定藝術品的來源。圖1展示了《與美國士兵通奸的女人》這幅畫，這幅畫于1945年與數千件其他藝術品一起被發現藏在奧地利的一個鹽礦里。這幅畫屬于納粹領導人赫爾曼·戈林(Hermann gooring)，并被證實是維米爾的作品。這幅畫是戈林從一位藝術品經銷商那里購買的，后者是從荷蘭畫家兼肖像畫家漢·凡·米格倫(Han van Meegeren)那里得到的。范米格倫因與納粹勾結而被捕。在等待審判的監獄里，他聲稱自己偽造了一些畫作，并以維米爾的名義出售。

由于這些畫已經被專家鑒定，范·米格倫在監獄里制作了另一幅贗品來證實他的說法。一個由化學家、物理學家和藝術史學家組成的小組檢查了這些贗品，最終在一些畫作中發現了現代顏料和化學物質。范米格倫被判偽造罪，并在監獄服刑。關于這個引人入勝的故事的更多細節，讀者可以參考Dolnick的書[16]。

圖1：尋獲的《與美國士兵通奸的女人》畫作，1945年。國家檔案館(111-SC-374666)。

然而，這幅《以馬忤斯的門徒》被認為比范米格倫聲稱是自己的其他作品質量要高得多，人們繼續懷疑這幅畫是維米爾畫的。1968年，Bernard Keisch使用放射性測年法研究了《以馬忤斯門徒》和其他藝術品的年齡[24]。在Braun等人的微分方程模型[4]中，可以找到對這一事件的基于項目的解釋。

使用放射性衰變來確定人工制品的年代是眾所周知的，它經常在微積分預科教科書中描述，而沒有解釋該理論背后的數學。衰變的數學模型假定放射性物質的衰變速率與存在的物質數量成正比。這個模型用微分方程來描述

式中N(t)為t時刻物質的量，λ > 0為衰變速率。

這個微分方程可以很容易地分解成(1/N)dN/dt =-λ，用微積分求解。兩邊對t積分，解出N，我們得到

這里c是常數。假設N(0) = N0，或者t = 0時刻存在的物質的量為N0。我們可以在式(2)中使用這些信息得到c = N0，然后我們的初值問題由式(2)求解

凱莎的分析依賴于過去2000年油畫中白鉛的使用。白鉛含有兩種放射性物質，鉛-210和鐳-226。鉛-210的半衰期是22年。這意味著22年后，一半的鉛-210將存在。我們可以把它表示為N(22) = N0/2。利用公式(3)中的信息，我們得到衰減率λ = (ln 2)/22。對半衰期為1600年的鐳-226也可以進行類似的分析。

在含鈾的礦石中可以發現鐳-226、鉛-210和其他放射性物質(注意，這種礦石中也含有穩定的鉛-206)。作為鐳- 226衰變過程的一部分，形成了新的鉛-210。在這個過程中，鉛-210會自發衰變。當鉛-210的生成速度和衰變速度相同時，我們就說鐳-226和鉛-210處于放射性平衡狀態。當鉛-210從礦石中分離出來制成油漆時，大部分(但不是全部)鐳-226被除去。因此，當白鉛涂料最初被制造出來時，鉛-210的衰變速度要比它被鐳-226所取代的衰變速度快得多。

隨著涂料的老化，鉛-210會迅速衰變，直到它再次與鐳-226達到放射性平衡。因此，現代含鉛涂料相對于鐳-226將含有更多的鉛-210，而這些物質在舊涂料中的含量將更加平衡。樣本的年齡可以用這個方程來估計

其中，N(t)是目前樣品中的鉛-210濃度(計算為每克鉛每分鐘的蛻變數)，r是樣品中的鐳-226濃度，λ = (ln 2)/22是鉛-210的衰變率，t是從礦石中提取鉛的時間，N(0)是提取鉛時的鉛-210濃度[25]。值N(0)不能通過實驗確定，這限制了等式(4)的值。它可以用所謂的分離因子N(0)/r來近似表示。Keisch使用值1-r/N(t)來比較樣品中的濃度，其中等式(4)表示

請注意，左邊的表達式僅使用當前測量值，即使樣本是舊的。

Keisch測量了《以馬忤斯的門徒》和其他由van Meegeren聲稱的作品中的鉛-210和鐳-226的濃度。他還研究了兩幅被公認為維米爾作品《花邊制作人》和《笑的女孩》中的顏料。表1顯示了Keisch在他的研究中獲得的具體數值。

表1：四幅畫中鉛-210和鐳-226的濃度(每克鉛每分鐘的崩解量)[24]。

圖2：丘馬什彩繪洞州立歷史公園的巖畫，位于加利福尼亞州圣巴巴拉市的高地。國會圖書館印刷和照片部，LC-DIG-highsm-24389。

如果畫很舊，那么鉛-210和鐳-226會更接近放射性平衡，1-r/N(t)的值會更接近零。如果1-r/N(t)的值更接近1，那么這幅畫一定是現代的。利用這些價值，Keisch確定《以馬忤斯的門徒》和范·米格倫聲稱的其他作品是偽造的。這兩個作品被認為是維米爾的《花邊制造商和微笑的女孩》，驗證是更古老的作品[24]。

其他放射性物質有助于確定洞穴藝術等其他作品的年代。例如，圖2所示的Chumash Painted Cave歷史公園的巖畫通過放射性碳測年顯示不到2000年[18]。另一個例子是，Pike等人利用鈾-釷衰變來確定西班牙洞穴中舊石器時代藝術品的年代[34]。最近的偽造檢測方法包括計算機圖像的小波分析；Daubechies很好地解釋了如何使用圖像處理技術來分析藝術[12]。

4. 包絡線

連線藝術的發展歸功于19世紀的瑪麗·埃佛勒斯·布爾[31]，它是一種戰略性地縫制線繩的藝術，使它們的交叉處形成抽象的幾何圖案。布爾在她的書《為兒童做科學準備》中這樣解釋她的發現。

我年輕的時候，各種形狀的卡片在別致的商店里成對出售，用來制作針線書和針墊。這些卡片是用來畫畫的；在邊緣有一排孔，兩張卡片可以通過這些孔縫在一起。由于我不會畫畫，于是我不由地想到，我可以在卡片上的空白處用一些絲線來裝飾。當我厭倦了讓線在中心交叉并覆蓋整張卡片時，我想到了改變一下樂趣，把線從每個孔穿過到一個不完全相對的孔，這樣在中間留下一個空白。當我發現卡片中間留下的那一小塊空白被一條對稱的曲線所包圍時，我現在還能感受到我的喜悅。這條曲線是由我的每根直絲線的一小部分組成的。[3，第91-92頁]

圖3：薩默維爾1906年出版的書[40]中的彩色板的細節。

布爾為薩默維爾1906年出版的《數學的節奏方法》(a Rhythmic Approach to Mathematics)寫了一篇文章，她在書中解釋了其他人如何利用她的發現。在這里，她將曲線拼接的想法與她多年前獲得的本杰明·貝茨(Benjamin Betts)的草圖聯系起來。這些草圖很復雜，很難理解。布爾的女兒艾麗西亞·布爾·斯托特(Alicia Boole Stott，她自己也是一位著名的數學家)小時候就復制了一些貝茨曲線。成年后，艾麗西亞讓她的孩子們用線形藝術裝飾圣誕賀卡。薩默維爾看到了其中的一些卡片，并更全面地發展了這個想法，出版了一本68頁的書來描述這個技巧。圖3顯示了書中的一個彩色板。這本書以喬治菲利普父子有限公司銷售的“布爾曲線縫紉卡”廣告結束，這是為這本書設計的(圖4)。

圖4：薩默維爾1906年著作中的廣告[40]。

雖然每一條線都形成一條直線，但人眼在交點處看到的是一條曲線。這條曲線稱為包絡線，它具有這樣的數學性質，即曲線的每個點都與單參數線族中的一個成員相切。微分方程可以用來表征一族曲線的包絡。例如，常微分方程

有一整族解是另一個解的切線。為了看到這一點，我們相對于x對等式(5)進行微分，得到

簡化：

當d2 y/dx2 = 0時，我們得到dy/dx = c對于某個實常數c，代入式(5)，我們得到c2 - 4xc + 4y = 0。因此，對于任意c，直線y = xc- c2 /4是微分方程的解。這個系列中的一些曲線如圖5所示。方程(6)的另一個解是2dy/dx-4x = 0，它的解是y = x2。這條拋物線是這個家庭的包絡線。方程(5)的所有直線解都與解y = x2相切。曲線y = x2也可以在圖5中看到，盡管拋物線本身沒有繪圖。

圖5：方程(5)的解族中的20條線。

方程(5)是克萊勞特方程的一個例子，它是一種微分方程

其中f是連續可微的。然而，并不是每個Clairaut方程都會產生包絡。保證Clairaut方程包絡存在的技術細節涉及偏導數[2]。對于感興趣的讀者，可以在Tenenbaum和Pollard[43]中找到關于如何找到包絡線的一般理論的更多細節。

在接下來的章節中，我們將展示連線藝術的一些現代應用。雖然不清楚藝術家是否使用微分方程來設計或創作他們的藝術，但了解微分方程的包絡有助于解釋為什么會出現曲線。

4.1. 現代連線藝術

雖然連線藝術的起源可以追溯到19世紀，但這項技術至今仍在蓬勃發展。蘇·富勒用木頭、線和染料制作了連線藝術作品。富勒從小和母親一起編織和鉤針[36]。她在20世紀40年代開始嘗試連線作品，作為她蝕刻作品的靈感，但后來轉向自己創作連線藝術[1]。她的作品被史密森尼博物館、現代藝術博物館、惠特尼美國藝術博物館、所羅門R.古根海姆博物館和倫敦泰特美術館永久收藏。圖6顯示了富勒的連線作品#T-220。

圖6：連線作品#T-220，?蘇·富勒，照片?Christina B Castro蘇·富勒遺產和蘇珊·泰勒畫廊，紐約

Megan Geckler是一位使用連線藝術設計的當代藝術家，她曾在各種博物館和畫廊展出過她的作品，包括猶他州當代藝術博物館、帕薩迪納加州藝術博物館和托倫斯藝術博物館。Geckler是一名數學很好的學生，他進入大學時打算學習神經科學，但卻轉到了藝術學院[11]。她的作品可以在她的網站上看到[17]，她的作品All of these points connecting one(2007)如圖7所示。加布里埃爾·道(Gabriel Dawe)是另一位在他的展覽中使用連線藝術的藝術家。他在美國、加拿大、比利時、丹麥和英國都有作品。他的作品可以在網上看到[14]。

圖7：所有這些點連接一個(2007)，梅根格克勒。

來自連線藝術的想法可以擴展到更高的維度，也可以適用于曲線而不是直線的一個參數族。從不同的角度看，查爾斯·o·佩里的棱紋雕塑展現出相似的視覺效果。他的許多雕塑作品采用彎曲的肋骨而不是直線。關于佩里工作背后的數學的更多細節可以在《哈姆林和亮片》[19]中找到。

4.2. 建筑

在本節中，我們描述了一些繩藝術在建筑作品中的應用。盡管微分方程經常用于確保建筑物的結構健全，但我們在這里不關注這些類型的應用。相反，我們研究了一些連線藝術可以幫助理解建筑作品的視覺吸引力的方式。

建筑師在他們的設計中也使用了第4節中描述的包絡線。事實上，下面的引用出現在1905年的書《現代建筑，它們的規劃、建造和設備》中，完美地描述了具有拋物線形狀的拱的構造，該拋物線形狀平行于作為方程(5)的包絡線出現的拋物線的解釋。圖8是文本的插圖。

設AB等于跨度，畫FD在C中平分AB并垂直于它。CD是上升，CF等于CD。

圖8：從現代建筑、規劃、施工和設備中建造拋物線形拱門[32]。

在產生的AB上取一點E，使EA = AC，并連接ED和EF。將EF和ED分成1、2、3、4、5等任意方便的份數。加入6比6，5比5，4比4等等。與所有這些線相切的曲線將是拋物線。該曲線的一半用于拱門的一側...拱門有時是由垂直放置的DAF曲線所示的形狀制成的。[第32卷，第58至59頁]

圣地亞哥·卡拉特拉瓦是一位建筑師，他在各種橋梁的設計中使用了連線藝術。耶路撒冷的吊橋就是一個例子，66根鋼索以一種可以看到拋物線的方式排列在橋上。Calatrava提到橋梁設計是極簡主義的，電纜本身是主要設計元素之一[5]?？ɡ乩哌€設計了德克薩斯州達拉斯的瑪格麗特亨特山橋，使用了類似的連線藝術設計元素。圖9顯示了瑪格麗特·亨特山大橋。

圖9：瑪格麗特·亨特山橋上的連線藝術，?DiAnn L 'Roy，根據知識共享署名4.0國際許可協議提供。

4.3. 珠寶

雖然起源日期不詳，但秘魯的街頭小販出售的耳環是用串珠藝術制作的。這種風格的耳環至少可以追溯到20世紀80年代[29]。最近，這類珠寶在Etsy等網站上出現了爆炸式增長，YouTube上也有很多視頻說明如何制作串藝術珠寶。正如民間藝術傳統所預料的那樣，很難確定秘魯串珠耳環的起源。圖10顯示了一個秘魯串藝術耳環的例子。

圖10：秘魯串藝術耳環，?Amy Ruth。

5 擺線

擺線解決了約翰·伯努利在17世紀晚期提出的最速降線問題。學生通常首先在微積分中看到擺線的參數方程定義。擺線是圓沿直線無滑動滾動時，固定在圓上的點P的軌跡。圖11顯示了擺線和旋轉圓。假設圓的半徑為r，點P從原點開始。當圓轉過t弧度時，它滾動的距離為

幾何學可以用來確定擺線的參數方程，

圖11：擺線

擺線有著悠久而傳奇的歷史[45]，它的表現形式在不同時期有所不同。在某一點上，占主導地位的定義是微分方程，雖然現在在本科常微分方程教科書中很少看到擺線。事實上，在1872年，戴維斯斷言,“擺線的微分方程...比曲線方程更常用'[13，第152頁]。擺線是以下微分方程的解:

為此，微分式(7)和式(8)得到dx/dτ = r(1 - cos τ)和

dy /dτ = rsinτ。利用圖11，我們也可以寫出cos τ = (r-y)/r。然后,

所以擺線滿足方程(9)[33]。

擺線出現在一個雕塑上：圖12顯示了盧浮宮博物館展出的Pajou Augustin的布萊士·帕斯卡雕塑。帕斯卡拿著的平板電腦的仔細檢查顯示了一個擺線。在他的文章中，馬丁描述了在放棄數學轉向神學后，帕斯卡如何開始思考擺線來轉移他對牙痛的注意力[30]。牙疼消失了，帕斯卡把這件事解釋為一個神圣的信號，他應該繼續學習數學。在接下來的八天里，他集中精力研究擺線的特性。

圖12：布萊斯·帕斯卡手持帕約·奧古斯丁的擺線圖，1884年。?rmn -大皇宮/紐約藝術資源。

5.1. 建筑

擺線已被用于許多近代建筑的設計中。1972年，路易斯·卡恩在德克薩斯州沃斯堡的金貝爾藝術博物館使用了16個擺線形狀的桶形拱頂，如圖13所示?？ǘ髦允褂脭[線形狀，是因為它“有緩慢上升的側面，給人一種紀念性的印象，而不會壓倒游客”[26]。Wallace Harrison在1962年新罕布什爾州漢諾威的霍普金斯藝術中心的設計中使用擺線拱門，如圖14所示。Harrison在華盛頓特區國家科學院禮堂的設計中也使用了擺線[38]。

圖13：金貝爾藝術博物館，照片由羅伯特·拉普雷爾拍攝。

圖14：2011年5月8日，達特茅斯福音合唱團在霍普金斯藝術中心前跳舞，宣傳他們的音樂會。?達特茅斯學院/Joseph Mehling。

5.2.藝術與安全

在這一節中，我們將討論機械雕刻的裝飾藝術。發展于19世紀的機械加工圖案被用于鈔票、股票和郵票的認證，因為藝術品很難偽造[10，21]。

這些安全雕刻中最基本的，稱為直線雕刻，是基于擺線的一種變化，稱為長擺線。在這種情況下，如果r為圓的半徑，則長擺線的路徑由半徑為b > r的固定點跟蹤，該長擺線由參數方程描述

圖15顯示了長擺線和旋轉圓的初始部分。

圖15：長擺線。

一個與擺線相似的論證表明，長擺線是微分方程的解

要了解這一點，對等式(10)和(11)求微分，得到dx/dτ = r - bcos τ = y和dy/dτ = bsinτ。因為y = r - bcos τ，所以我們有(y - r) 2 = b2 cos 2 τ。那么，

所以長擺線滿足方程(12)。

擺線劃線機是用菱形點描出擺線或長擺線的。圖16是1895年《大眾科學月刊》上的一篇文章[15]，用擺線直紋機描畫的長擺線。來自同一篇文章的圖17顯示了如何將擺線的多個雕刻成行地放置在一起，以形成一個非常復雜的圖案，這將很難用手模仿。圖18顯示了1850年新澤西工匠銀行發行的一張10美元紙幣。在1863年建立國家貨幣之前，美國的商業銀行被允許印刷自己的貨幣，機械雕刻有助于讓客戶放心，這些紙幣是有效的。圖19顯示了工匠銀行紙幣的細節，其中多個長擺線清晰可見。

圖16：擺線直紋機描畫的長擺線[15]。

圖17：多個長擺線形成一個圖案[15]。

圖18：1850年，工匠銀行發行10美元紙幣。

圖19：工匠銀行的10美元紙幣細節，1850年。

不在一條直線上的更復雜的圖案是由幾何卡盤或幾何車床構造的，圖20 [10]給出了一個例子。自20世紀60年代以來，安全模式已經由計算機繪制[21]，并且個人軟件對于想要設計他們自己的安全特征的消費者來說是容易獲得的[22]。

圖20：25c啤酒印花稅票，1867年，財政部，國家郵政博物館，斯科特目錄美國REA9P4。

6.懸鏈線

懸鏈線是由一條均勻懸掛的柔性鏈條形成的曲線，僅在其末端受到支撐，如圖21所示。該曲線看起來非常類似于拋物線，但它是不同的，如圖22所示。懸鏈線是描述作用在懸鏈線上任意點的力的微分方程的解。

圖21：懸鏈線。

圖22：拋物線用實線畫，懸鏈線用虛線畫。

作用在懸鏈線上任意一點(x, y)上的三個力如下。首先，在點(x, y)處有一個切向拉力T。其次，在原點處有一個水平拉力h。最后，有一個垂直重物W，其大小W與從原點到(x, y)的長度s成正比。因此，W = ms，其中m為鏈條的重量密度。這些力在圖21中標注。

三個力的和一定是0。因此，切向張力T = dy/dx可以用斜率來計算，由式給出

其中，

是從原點到(x，y)的弧長。代入a =h/u，我們得到

對x兩邊求導，我們得到微分方程

初始條件y(0) = 0, y '(0) = 0。式(14)給出的微分方程的解為懸鏈線曲線y = acosh (x/a) + c。求解微分方程涉及到一些代數運算和一種巧妙的代換，這種代換可以在許多微分方程教科書中找到[35]。

6.1. 建筑

西方傳統建筑中的拱形是以圓為基礎的。羅馬拱門由半圓形拱門組成。哥特式建筑引入了尖拱來更好地支撐重量。然而，建筑物和教堂最終變得太大，無法使用這些老式的支撐。

1671年，羅伯特·胡克聲稱他發現了最佳的拱形形狀：懸鏈線。如果你把懸鏈線倒過來，你就會得到一種形狀，在這種形狀中，垂直的重力變成了壓縮力，從而使拱門保持其形狀。懸鏈線拱是最穩定的自立拱。

倫敦圣保羅大教堂的首席建筑師克里斯托弗·雷恩(Christopher Wren)希望大教堂的外部圓頂是半球形的，但半球形的形狀無法支撐圓頂頂部燈籠的重量。在與Hooke咨詢后，Wren包括了一個隱藏的圓頂，通過在外部球形圓頂下旋轉懸鏈線的形狀來創建。這個隱藏的懸鏈線穹頂為可見的半球形穹頂結構提供了必要的支撐。雖然胡克不知道懸鏈線的精確數學方程，但他的數學思想是圣保羅大教堂圓頂的文字基礎[23]。

安東尼·高迪打破傳統，設計了經常使用懸鏈式拱門的建筑。Huerta認為高迪發現懸鏈線拱“在美學上令人愉悅，即使他可以使用其他類型的形狀，他也會使用它們”[20,326頁]。圖23顯示的是建于19世紀80年代末的巴塞羅那古埃爾宮(Palau Guell)入口的懸鏈式拱門。懸鏈式拱門也出現在米拉之家和圣家堂[20]。英國謝菲爾德的冬季花園被一系列鏈鏈拱門包圍，如圖24所示[37，第86頁]。該建筑由Pringle Richards Sharratt建筑公司設計，于2002年完工。

圖23：帕勞格爾的懸鏈線拱門。

圖24：托馬斯·米漢謝菲爾德冬季花園。

6.2. 珠寶

項鏈最簡單的形式大概是懸鏈的形狀。許多不同的文化都有包含多個垂鏈的傳統項鏈設計。印第安人的胸甲通常包括多股珠子，圖25中Yakama部落的首領Frank Seelatse和首領Jimmy Noah Saluskin就佩戴了其中的兩個例子。19世紀，歐洲和美國也出現了類似設計的花飾項鏈。圖26顯示了1810年德國的一個例子，圖27顯示了紐約藝術家Thomas Seir Cummings設計的一條項鏈。在19世紀的印度也有花飾項鏈的例子[44]。

圖25：雅卡馬部落的印第安酋長弗蘭克·西拉茨和酋長吉米·諾亞·薩魯斯金擺出全身肖像，面朝前方站立，身后是美國國會大廈，1927年，美國國家攝影公司收藏，印刷品和照片部，國會圖書館，編號:sc - usz62 -111354。

圖26：項鏈，1810年，大都會藝術博物館，阿爾弗雷德·所羅門-珍妮特·斯隆捐贈基金，2012年。

圖27：母親的珍珠，托馬斯·塞爾·卡明斯，1841年，理查德·b·哈特向夫人和范妮·s·卡明斯小姐的禮物，1928年。

6.3. 吊燈

雖然枝形吊燈長期以來一直是一種照明光源，但1767年鉛水晶的發展顯著地改變了照明設計。鉛晶體是高度透明和折射的。從18世紀開始，吊燈經常加入水晶滴或水晶花，既裝飾吊燈本身，也影響吊燈照亮房間的方式[6]。圖28展示了一盞18世紀晚期的15盞吊燈，上面懸掛著多條水晶鏈。類似的照明裝置至今仍在設計中。

圖28：十五燈吊燈，約1785-1790年，查爾斯·賴特斯曼夫婦贈予，1985年。

7. 計算機藝術

在本節中，我們將討論三位藝術家，他們使用計算機來創作根植于微分方程思想的藝術。這三位藝術家都使用計算機模擬微分方程模型來創作他們的藝術。

David Chappell根據所謂的自然方程(即Whewell方程)創作藝術。一個自然方程指定了一條與坐標或參數化的任何選擇無關的曲線?；萃柗匠淌怯没￠Ls和切角φ表示平面曲線的方程。圖29說明了這種關系。如果s是從A點到P點的長度，則Whewell方程將角φ與s聯系起來。在另一個方向上，我們可以將dy/dx = tan φ視為微分方程，其中x和y是s的函數，并積分得到

圖29：Whewell曲線。

例如，式13表示了懸鏈線在笛卡爾坐標系下的微分方程

式中a = h/m。通過定義φ為T與水平線之間的夾角，我們可以將懸鏈線方程改寫為tan φ = s/a，現在它被表示為Whewell方程。

Chappell用Whewell方程定義為

其中Ai為振幅，λi為波長，以創造算法藝術[7,8]。他用中點法則和辛普森法則進行了數值積分。他的意圖是“探索嚴格的數學對稱性和有機變化的“游戲性”之間的緊張關系”[7]。他的作品名為《Meander #6》，如圖30所示。

圖30： Meander #6, 2012, ? David Chappell.

在Chappell最近的論文[8]中可以找到更多的例子，以及產生藝術的λi和Ai的具體值。Chappell的YouTube頁面[9]顯示了式(15)中n = 2改變振幅和頻率所產生的圖形動畫。

我們以兩個藝術品的例子來結束，它們的解釋遠遠超出了本文的范圍。Nathan Selikoff將算法藝術描述為“一種伙伴關系，不是通過畫筆或鉛筆，而是通過軟件的共享語言來調解的”[39]。圖31展示了他的作品之一《幻影顯形》。他沒有使用一個微分方程，而是從一個微分方程系統開始。一般來說，如果有一個以上的變量依賴于時間，我們可以使用微分方程系統來模擬數量如何隨著時間的推移而相互作用[2,35,42]。在這種情況下，解是滿足系統中所有方程的一組函數。然后，Selikoff用四個系數的離散迭代函數近似他的模型；換句話說，微分方程組變成了計算機可以近似的東西。作品《幻影顯形》描繪了一個奇怪的吸引子。一個奇異吸引子上的動力學是復雜的，最好用統計思想來描述，而不是試圖用數值方法來計算單個的解。

圖31：幻影，2008年，?Nathan Selikoff。

Mark J. Stock是一位藝術家，他使用軟件來模擬物理力并創作視覺藝術作品。例如，流體的流動可以通過稱為Navier–Stokes方程的六個偏微分方程系統來描述。這些方程的近似解涉及復雜的計算技術。斯托克利用他和其他科學家開發的算法，在尖端科學研究的基礎上創造藝術。一臺臺式計算機需要幾個月的時間來完成這些工作所需的計算。圖32顯示了一個例子，在善與惡的浴缸中的午夜。斯托克對這項工作描述如下。

《善惡澡盆中的午夜》是一部用數學術語描述的經典戰爭片。流體大軍在戰場上對峙。隨著時間的推移，計劃被制定并付諸實施。不可避免的是，所有的計劃在第一次與反對派接觸時就都泡湯了。許多戰士最終會遭遇向相反方向移動的敵人，并被轉移到旋轉的舞蹈中。在隨后的混亂中，大大小小的結構被創造出來，并且沒有顯示出對任何一方的偏好。這是向同質性的緩慢級聯式前進嗎？從這種簡化論的表述中，我們失去了什么或得到了什么？集體自由意志和自然的非道德進步之間似乎存在相似之處[41]。

圖32：《善惡澡盆中的午夜》，

8. 課堂教學

對于教師讀者來說，這里所涵蓋的主題也可以作為微積分或常微分方程課程的補充材料。除了第7部分的內容外，本文中描述的微分方程對于第一學期常微分方程課程的學生來說也是可以使用的。事實上，這篇論文中的一些內容可以在微積分課程中討論。特別是，第3節中的指數衰減模型經常出現在標準微積分教科書中。即使沒有涉及模型的推導，學生也可以驗證擺線和懸鏈線滿足第5節和第6節中描述的微分方程。

我已經在課堂和作業中討論了第3-6節的主題。我讓學生調查與微分方程模型相關的藝術，作為獨立和小組項目。因為這篇論文的主題有如此精彩的視覺效果，所以小組報告變得特別有趣和具有挑戰性。演示者必須在適當的水平上發展精確的數學，并引入視覺藝術的主題。許多數學專業的學生發現平衡這兩個標準很有挑戰性。另一方面，研究過這些主題的學生似乎對使用微分方程來思考數學和一般科學以外的領域的前景感到驚訝和好奇。關于將藝術主題融入微分方程課程的更多細節可以在本系列的前兩篇論文中找到[27，28]。

參考文獻

[1] R. Alley, Catalogue of the Tate Gallery’s Collection of Modern Art, Other Than Works by British Artists, Tate Gallery, London, 1981.

[2] H. Bear, Differential Equations: A Concise Course, Addison-Wesley Series in Mathematics,

Dover Publications, 2013, https://books.google.com/books?id=afZAAQAAQBAJ.

[3] M.E. Boole, The Preparation of the Child for Science, Clarendon Press, London, 1904.

[4] M. Braun, The Van Meegeren art forgeries, in Differential Equation Models, M. Braun,

C. Coleman, and D. Drew, eds., Modules in Applied Mathematics, Springer, New York, 1983,

pp. 71–80.

[5] S. Calatrava, Light rail train bridge (2008). http://www.arcspace.com/features/santiago-calatrava/light-rail-train-bridge/; [Online; accessed 25 June 2015].

[6] Chandeliers - a short history (2011). http://www.adrianalan.com/resources/articles; [Online; accessed 8 June 2016].

[7] D. Chappell, Sinuous meander patterns in natural coordinates, in Bridges: Towson 2012, R. Bosch, D. McKenna, and R. Sarhangi, eds, Tessellations Publishing, Phoenix, AZ, 2012,

pp. 183–190. Available at http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-183.html.

[8] D. Chappell, Sinuous meander patterns: A family of multi-frequency spatial rhythms, J. Math. Arts 9 (2015), pp. 63–76.

[9] D. Chappell, Sinuous meander pattern (2017). https://www.youtube.com/channel/UCRJgTFAoaO2EObQ9Shd2_9Q; [Online; accessed 12 March 2017].

[10] R. Craig, The mechanical drawing of cycloids, The Geometric Chuck, in Bridges London: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, R. Sarhangi and J. Sharp, eds., Tarquin Publications, St. Albans, 2006, pp. 203–210.

[11] S.N. Dambrot, The art of math, LA Canvas (2011), pp. 16–17.

[12] I. Daubechies, Developing mathematical tools to investigate art, in Bridges: Towson 2012, R. Bosch, D. McKenna, and R. Sarhangi, eds., Tesselation Publishing, Phoenix, AZ, 2012, pp. 9– 16.

[13] C. Davies and W.G. Peck, Mathematical Dictionary and Cyclopedia of Mathematical Science: Comprising Defifinitions of all the Terms Employed in Mathematics-An Analysis of Each Branch, and of the Whole, as Forming a Single Science, AS Barnes & Co., New York, 1855.

[14] G. Dawe, Gabriel dawe + mixed media and installation artist (2014). http://www.gabrieldawe.com/index.html; [Online; accessed 22 October 2014].

[15] C. Dickinson, Copper, steel, and bank-note engraving, Popular Sci. Monthly 66 (1895),

pp. 597–613.

[16] E. Dolnick, The Forgers Spell: A True Story of Vermeer, Nazis, and the Greatest Art Hoax of the Twentieth Century (PS), Harper Collins, New York, 2008.

[17] M. Geckler, Megan Geckler site specific installation artist (2014). http://www.megangeckler.com/; [Online; accessed 22 October 2014].

[18] C. Grant, The Rock Paintings of the Chumash: A Study of a California Indian Culture, University of California Press, Berkeley, 1965.

[19] J. Hamlin and C.H. Sequin, Computer generation of ribbed sculptures, J. Math. Arts 4 (2010), pp. 177–189.

[20] S. Huerta, Structural design in the work of Gaudi, Architect. Sci. Rev. 49 (2006), pp. 324–339.

[21] A. Hurle, Abstractions of value, Numismatist 127 (2014), pp. 30–36.

[22] A. Inc., Guilloche patterns and secure printing (2017). http://artlandia.com/products/SymmetryWorks/solutions/guilloche_patterns_secure_printing; [Online; accessed 12 March 2017].

[23] R. Interactive, Designs for the dome, c.1687–1708, https://www.stpauls.co.uk/history-collections/the-collections/architectural-archive/wren-office-drawings/5-designs-for-the-domec16871708 [Online; accessed 12-March-2017].

[24] B. Keisch, Dating works of art through their natural radioactivity: improvements and applications, Science 160 (1968), pp. 413–415.

[25] B. Keisch, R. Feller, A. Levine, and R. Edwards, Dating and authenticating works of art by measurement of natural alpha emitters, Science 155 (1967), pp. 1238–1242.

[26] Kimbell art museum – architecture – Kahn building (2015). https://www.kimbellart.org/architecture/kahn-building; [Online; accessed 25 June 2015].

[27] L. Koss, Differential equations in literature, poetry and fifilm, J. Math. Arts 9 (2015), pp. 1–16.

[28] L. Koss, Differential equations in music and dance, J. Math. Arts 10 (2016), pp. 53–64.

[29] C. Ladine, Creations by Carol Ladine (2009). http://carol-ladines-blog.blogspot.com/2009/08/peruvian-thread-earrings.html; [Online; accessed 17 June 2016].

[30] J. Martin, The Helen of geometry, Coll. Math. J. 41 (2010), pp. 17–28.

[31] K.D. Michalowicz, Mary Everest Boole (1832–1916): An erstwhile pedagogist for contemporary times, MAA Notes (1996), pp. 291–302.

[32] G. Middleton, Modern Buildings: Their Planning, Construction and Equipment, The Caxton Publishing Company, London, 1905.

[33] Y. Nishiyama, The brachistochrone curve: The problem of quickest descent, Int. J. Pure

Appl. Math. 82 (2013), pp. 409–419.

[34] A.W. Pike, D. Hoffmann, M. Garc?a-Diez, P.B. Pettitt, J. Alcolea, R. De Balbin, C. GonzalezSainz, C. de las Heras, J.A. Lasheras, R. Montes, and J. Zilhao, U-series dating of paleolithic art in 11 caves in Spain, Sci. 336 (2012), pp. 1409–1413.

[35] J. Polking, A. Boggess, and D. Arnold, Differential Equations with Boundary Value Problems, Pearson Higher Ed, Upper Saddle River, 2006.

[36] C.S. Rubinstein, American Women Artists: From the Indian to the Present, Avon GK Hall, New York, 1982.

[37] P. Sassi, Strategies for Sustainable Architecture, Taylor & Francis, Abingdon, 2006.

[38] P. Scott and A.J. Lee, Buildings of the District of Columbia, Oxford University Press, Oxford, 1993.

[39] N. Selikoff, Nathan Selikoff (2009). http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges2009/selikoff.html; [Online; accessed 20 June 2016.].

[40] M.E.L. Somervell, A Rhythmic Approach to Mathematics, G. Philip & Son, Limited, London, 1906.

[41] M.J. Stock, Mark J. Stock Midnight in the bathtub of good and evil (2015). http://markjstock.com/p69.html; [Online; accessed 25 June 2015].

[42] S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology and

Chemistry, Perseus Publishing, Boulder, 2001.

[43] M. Tenenbaum and H. Pollard, Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering, and the Sciences, Harper & Row, New York, 1963.

[44] B. van Gelder, F. Damman, and N. Viguurs, Van Gelder Catalogue, Van Gelder Indian

Jewellery, ’s-Hertogenbosch, 2011.

[45] E. Whitman, Some historical notes on the cycloid, Am. Math. Monthly 50 (1943), pp. 309–315

[46] Lorelei Koss, Visual arts, design, and differential equations

青山不改，綠水長流，在下告退。

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