有始有終，方得路徑

在幾何壓軸題中，點的運動路徑問題，也稱軌跡問題，屬于常見題型，即使在函數壓軸題中，與之相關的也不少，無論是在幾何背景下或函數背景下，研究路徑問題始終繞不開的思路，就是確定起點和終點，沿什么樣的線運動。在八年級階段，路徑問題基本上是一條線段的長，而到九年級，學習了圓和二次函數、雙曲線之后，則路徑可能是曲線，不過多數路徑是在圓上，畢竟初中階段拋物線上或雙曲線上一段曲線的長度，不在課標要求范圍內。

本文主要研究八年級數學中的一道路徑長度的壓軸題，其主要的突破口便在于找準動點的起始位置和終點位置，然后尋找求線段長度的方法。

題目

已知，點E是△ABC的中線AD上一動點，EF∥AC，BF∥AD交EF于點F，連接AF.

(1)如圖1，當點E與點D重合時，求證：AC=DF；

(2)如圖2，當點E與點D不重合時，延長CE交AB于點G，交BF于點H.

①判斷四邊形ACEF的形狀，并說明理由；

②如圖3，若△ACD的邊AD=5，以BF為腰作等腰直角△FBQ，連接HQ，點M為HQ的中點，當點E從點D運動到點A過程中，請直接寫出點M的運動路徑長.

解析：

01

(1)由條件EF∥AC得∠C=∠FDB，由BF∥AD得∠ADC=∠FBD，由AD是中線得CD=DB，因此得△ACD≌△DFB，如下圖：

所以AC=DF；

02

(2)①當點E與點D不重合時，不妨先觀察前面得到的全等三角形是否依然存在，即△ACE與△FEH，兩組平行線得到的兩對同位角依然相等，∠ACE=∠FEH，∠AEC=∠FHE，由點D是BC中點且DE∥BH，可知DE是△BCH的中位線，所以點E是CH中點，即CE=EH，因此△ACE≌△FEH，如下圖：

我們可得AC=FE，于是AC與FE平行且相等，所以四邊形ACFE是平行四邊形；

②在圖中，點E是源動點，當點E在邊AD上運動時，由BF∥AD可知BF的位置不變，但長度發生改變，因此等腰直角△FBQ的大小也隨之改變，那么，點M到底是沿什么樣的路徑運動？

學生答題時沒有幾何畫板這等利器，因此我們采用控制起點和終點的辦法，找到運動過程中的特殊位置，當E與D重合時，點M的位置作為起點，點E與A重合時，點M的位置作為終點，如下圖：

為了方便我們找到點M的運動路徑，我們在同一張圖中分別作出起點和終點，如下圖：

在上圖中，F'、Q'、M'均為起始位置，對應的F、Q、M為終點位置，當點E從D點運動至A點時，由平行四邊形ACEF得AC=EF即點A成為CF中點，而由前面已證的全等三角形可得AE=FH即點F'成為BH中點，這樣在圖中BF'=AD=BQ'=5，而對于△BHQ，MQ'是中位線，因此MQ'∥BH且MQ'=5，這樣在Rt△MM'Q'中，我們可以利用勾股定理求出MM'=5√5/2.

解題反思

在初中階段的運動路徑問題，通常情況下分為直線型和曲線型(圓弧型)，八年級則只涉及到直線型，因此求路徑長多數情況下是求線段長，因此確定線段的端點是首要任務，對學生而言，必須明確動點沿哪條線段運動，起點和終點分別在何處，這是通法。

本題前兩小問一脈相承，這種階梯式設置問題，對學生比較友好，實質也是對學生深入研究問題的一種引導，若是兩個問題之間毫無關聯，就有拼湊嫌疑了。這種命題設置也是對新課標背景下的數學教學進行有效引導，從簡單問題開始，逐步加深，考查學生知識遷移的能力。我們在教學中其實也是如此，課堂上的內容永遠是面對全體學生，難度并不會很高，但數學問題本身卻不會止步于課堂，必然有所拓展，于是在課堂上，除了教會學生最基本的知識和技能之外，需要注重課堂的延展性，也就是俗話說的“讓學有余力的學生吃飽”。

第三問“直接寫”，則是明顯讓學有余力的學生不再糾結于書寫過程，更加看重數學思維，若是對動點問題沒有一定認知，再多刷題也是無用，相應的，若是達到一定認知程度，對于這部分學生而言，確實可以秒殺。

動點問題的研究過程中，作圖是十分有效的方法，學生作圖的準確性，不是一蹴而就的事，學生用繪圖工具作出準確的圖，這要在課堂上經常進行，熟練使用繪圖工具，并理解繪圖步驟背后的推理，這有助于培養學生幾何直觀，當這種幾何直觀達到一定程度，無圖便勝有圖了，甚至不用動手，腦海中自動作圖，這便是秒殺的秘密。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）

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