講數(shù)學之美，分形圖形是不可不講的。如果說有什么東西能夠讓數(shù)學和藝術(shù)直接聯(lián)系在一起，答案毫無疑問就是分形圖形。

在數(shù)學發(fā)展的過程中，很多時候提出新的數(shù)學問題，開創(chuàng)新的數(shù)學領(lǐng)域，最初的動機并不是解釋生活中的現(xiàn)象，而是因為它本身的美妙。幾乎所有的數(shù)學家都認為數(shù)學是優(yōu)美的。而普通人要如何感受數(shù)學的美呢？

數(shù)學科普大神顧森的這本《思考的樂趣》就從“生活中的數(shù)學”、“數(shù)學之美”、“幾何的大廈”、“精妙的證明”和“思維的尺度”五個維度，用了大量的案例來展現(xiàn)數(shù)學的樂趣，每一個讀過的人都會被深深吸引。這是一個熱愛思考的年輕人積攢的讓人一讀就欲罷不能的趣味書。

《思考的樂趣》出版至今，收到了十余萬的讀者的喜愛。今天就選取其中最能代表數(shù)學之美的”分形“，分享給大家。

講數(shù)學之美，分形圖形是不可不講的。如果說有什么東西能夠讓數(shù)學和藝術(shù)直接聯(lián)系在一起，答案毫無疑問就是分形圖形。

讓我們先來看一個簡單的例子。首先畫一個線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換成一座小山，得到了16條更小的線段。然后繼續(xù)對這16條線段進行類似的操作，并無限地迭代下去。圖1是這個圖形前五次迭代的過程，可以看到第五次迭代后圖形已經(jīng)相當復雜，我們已經(jīng)無法看清它的全部細節(jié)了。

圖　1

你可能注意到一個有趣的事實：整個線條的長度每一次都變成了原來的。如果最初的線段長度為一個單位，那么第一次操作后總長度變成了，第二次操作后總長度增加到，第次操作后總長度為。毫無疑問，操作無限進行下去，這條曲線將達到無限長。難以置信的是這條無限長的曲線卻“始終只有那么大”。

現(xiàn)在，我們像圖2那樣，把3條這樣的曲線首尾相接組成一個封閉圖形。這時，有趣的事情發(fā)生了，這個雪花狀的圖形有著無限長的邊界，但是它的總面積卻是有限的。有人可能會說，為什么面積是有限的呢？雖然從圖2看結(jié)論很顯然，但這里我們還是要給出一個簡單的證明。3條曲線中每一條在第次迭代前都有條長為的線段，迭代后多出的面積為個邊長為的等邊三角形。把擴大到，再把所有邊長為的等邊三角形擴大為同樣邊長的正方形，總面積仍是有限的，因為無窮級數(shù)是收斂的。很難相信，這一塊有限的面積，竟然是用無限長的曲線圍成的。

圖　2

這讓我們開始質(zhì)疑“周長”的概念了：剪下一個直徑為1厘米的圓形紙片，它的周長真的就是厘米嗎？拿放大鏡看看，我們就會發(fā)現(xiàn)紙片邊緣并不是平整的，上面充滿了小鋸齒。再用顯微鏡觀察，說不定每個小鋸齒上也長有很多小鋸齒。然后，鋸齒上有鋸齒，鋸齒上又有鋸齒，周長永遠也測不完。分形領(lǐng)域中有一個經(jīng)典的說法，“英國的海岸線有無限長”，其實就是這個意思。

上面這個神奇的雪花圖形叫做科赫雪花，那條無限長的曲線就叫做科赫曲線。他是由瑞典數(shù)學家馮?科赫（Helge von Koch）最先提出來的。

分形這一課題提出的時間比較晚。科赫曲線于1904年提出，是最早提出的分形圖形之一。我們仔細觀察一下這條特別的曲線。它有一個很強的特點：你可以把它分成若干部分，每一個部分都和原來一樣（只是大小不同）。這樣的圖形叫做“自相似”（self-similar）圖形。自相似是分形圖形最主要的特征，它往往都和遞歸、無窮之類的東西聯(lián)系在一起。比如，自相似圖形往往是用遞歸法構(gòu)造出來的，可以無限地分解下去。一條科赫曲線包含有無數(shù)大小不同的科赫曲線。你可以對這條曲線的尖端部分不斷放大，但你所看到的始終和最開始一樣。它的復雜性不隨尺度減小而消失。另外值得一提的是，它是一條連續(xù)的，但處處不光滑（不可微）的曲線。曲線上的任何一個點都是尖點。

分形圖形有一種特殊的計算維度的方法。我們可以看到，在有限空間內(nèi)就可以達到無限長的分形曲線似乎已經(jīng)超越了一維的境界，但說它是二維圖形又還不夠。1918年，數(shù)學家費利克斯?豪斯道夫（Felix Hausdorff）提出了豪斯道夫維度，它就是專門用來對付這種情況的。簡單地說，豪斯道夫維度描述了對分形圖形進行縮放后，圖形所占空間大小的變化與相似比的關(guān)系。例如，把正方形的邊長擴大到原來的2倍后，正方形的面積就將變成原來的4倍；若把正方形的邊長擴大到原來的3倍，則其面積就將變成原來的9倍。事實上，兩個正方形的相似比為1:a，它們的面積比就應該是1:a2，那個指數(shù)2就是正方形的豪斯道夫維度。類似地，兩個立方體的相似比為1:a，它們的體積比就是1:a3，這就告訴了我們，立方體的豪斯道夫維度是3。然而，一條大科赫曲線包含了4條小科赫曲線，但大小科赫曲線的相似比卻只有1:3。也就是說，把小科赫曲線放大到原來的3倍，所占空間會變成原來的4倍！因此科赫曲線的豪斯道夫維度為。它約等于1.26，是一個介于1和2之間的實數(shù)。直觀地說，科赫曲線既是曲線，又非曲線，它介于線與面之間。

很多分形圖形的維度都介于1和2之間。比如說謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形：像圖3那樣，把一個三角形分成4等份，挖掉中間那一份，然后繼續(xù)對另外3個三角形進行這樣的操作，并且無限地遞歸下去。每一次迭代后整個圖形的面積都會減小到原來的，因此最終得到的圖形面積顯然為0。因而和科赫曲線正好相反，它已經(jīng)不能算二維圖形了，但說它是一維的似乎也有些過了。事實上，它的豪斯道夫維度是，也是一個介于1和2之間的圖形。

圖　3

謝爾賓斯基三角形的另一種構(gòu)造方法如圖4所示。把正方形分成四等份，去掉右下角的那一份，并且對另外3個正方形遞歸地操作下去。挖幾次后把腦袋一歪，你就可以看到一個等腰直角的謝爾賓斯基三角形了。

圖　4

謝爾賓斯基三角形還有一些非遞歸的構(gòu)造。1983年，斯蒂芬?沃爾夫勒姆（Stephen Wolfram）發(fā)現(xiàn)，在一個網(wǎng)格中，從一個黑色格子開始，不斷按規(guī)則生成下一行的圖形（見圖5），也能得到謝爾賓斯基三角形。這種圖形生成方法有一個很酷的名字，叫做“細胞自動機”。

圖　5

謝爾賓斯基三角形有一個神奇的性質(zhì)：如果某一個位置上有點（沒被挖去），那么它與原三角形頂點的連線上的中點處也有點。這給出了一個更為詭異的謝爾賓斯基三角形構(gòu)造方法：給出三角形的3個頂點，然后從其中一個頂點出發(fā)，每次隨機向任意一個頂點移動的距離（走到與那個頂點的連線的中點上），并在該位置作一個標記；無限次操作后所有的標記就組成了謝爾賓斯基三角形。

楊輝三角與謝爾賓斯基三角形之間也有不可思議的關(guān)系。如圖6，把楊輝三角中的奇數(shù)和偶數(shù)用不同的顏色區(qū)別開來，你會發(fā)現(xiàn)由此得到的正是謝爾賓斯基三角形。也就是說，二項式系數(shù)（或者說組合數(shù)）的奇偶性竟然可以表現(xiàn)為一個分形圖形！這相當于給出了謝爾賓斯基三角形的第五種構(gòu)造方法。利用簡單的代數(shù)方法生成如此優(yōu)雅的圖形，實在是令人嘆為觀止。請記住謝爾賓斯基三角形這個最經(jīng)典的分形圖形，因為在未來的某個時刻，我們將會在某個出人意料的地方用到它。

大家或許已經(jīng)看到了數(shù)學的奇妙之處：一個如此簡單的公式，竟能形成如此美觀精細的圖形。說到這里，我們不得不提另一個奇跡般的分形圖形。

圖　6

考慮函數(shù)。固定的值后，我們可以通過不斷地迭代算出一系列的值：,,, …。比如，當時，我們可以依次迭代出：

可以看出，值始終在某一范圍內(nèi)，并將最終收斂到某一個值上。

但當時，情況就不一樣了。幾次迭代后我們將立即發(fā)現(xiàn)值最終會趨于無窮大：

經(jīng)過計算，我們可以得到如下結(jié)論：當屬于時，值始終不會超出某個范圍；而當小于或大于1.5后，值最終將趨于無窮。

現(xiàn)在，我們把這個函數(shù)擴展到整個復數(shù)范圍。對于復數(shù)，取不同的值和值，函數(shù)迭代的結(jié)果不一樣：對于有些，函數(shù)值始終約束在某一范圍內(nèi)；而對于另一些，函數(shù)值則將發(fā)散到無窮。我們把滿足前一種情況的所有初始值所組成的集合稱為朱利亞集，它是以法國數(shù)學家加斯頓?朱利亞（Gaston Julia）的名字命名的。

由于復數(shù)對應了平面上的點，因此我們可以用一個平面圖形直觀地展現(xiàn)出朱利亞集。我們用黑色表示所有屬于朱利亞集的；對于其他的，我們用不同的顏色來區(qū)別不同的發(fā)散速度，顏色越淺表示發(fā)散速度越慢，顏色越深表示發(fā)散速度越快。難以置信，由此得到的圖形竟然是一個看上去非常復雜的分形圖形（見圖7）。

圖　7

這個美麗的分形圖形就是時的朱利亞集。如果我們把換成別的數(shù)，比如呢？這將會帶來另一個完全不同的分形圖形，圖8就是所對應的朱利亞集。

圖　8

事實上，對于復數(shù)函數(shù)，每取一個不同的復數(shù)，我們都能得到一個不同的朱利亞集分形圖形，并且令人吃驚的是，每一個分形圖形都是那么美麗，其中有些經(jīng)典的朱利亞集甚至有它自己的名字。圖9就是時的朱利亞集，俗稱“飛機”。

圖　9

圖10則是所對應的朱利亞集。它也有一個形象的名字——杜瓦地兔子。這是以法國數(shù)學家阿德里安?杜瓦地（Adrien Douady）的名字命名的。

圖　10

你甚至會不相信，這種簡單而機械的過程可以生成如此美麗的圖形。

不過，并不是所有的復數(shù)都對應了一個連通的朱利亞集。圖11所示的就是時的朱利亞集。這仍然是一個漂亮的分形圖，但它和前面的圖像有一個很大的區(qū)別——圖像里不再有連通的黑色區(qū)域了。這是因為，真正屬于朱利亞集的點都是一個個離散的點（分布在圖中的各個白色亮斑中），我們已經(jīng)無法從圖像上直接觀察到了。我們能看到的，都是那些將會導致函數(shù)值發(fā)散到無窮的點，只是它們的發(fā)散速度有所不同。

圖　11

于是，我們自然想到了一個問題：哪些復數(shù)對應著連通的朱利亞集呢？數(shù)學家貝努瓦?曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）是最早對這個問題進行系統(tǒng)研究的人之一，因此我們通常把所有使得朱利亞集形成一塊連通區(qū)域的復數(shù)所組成的集合叫做曼德爾布羅特集。注意，曼德爾布羅特集也是一個由復數(shù)構(gòu)成的集合，它也能表現(xiàn)在一個平面上。神奇的是，曼德爾布羅特集本身竟然又是一個漂亮的分形圖形（見圖12）！

圖　12

有一個重要的定理指出，一個朱利亞集是連通的，當且僅當在這個朱利亞集里。換句話說，為了判斷一個朱利亞集是否連通，我們只需要測試一下時的迭代結(jié)果即可。因此，我們有了曼德爾布羅特集的一個等價的定義，也就是所有不會讓零點發(fā)散的復數(shù)組成的集合。圖12其實就是依據(jù)這個原理制作的，其中黑色的區(qū)域表示曼德爾布羅特集，即那些不會讓零點發(fā)散的復數(shù)；其他的點所對應的復數(shù)都將會讓零點發(fā)散，淺色代表發(fā)散慢，深色代表發(fā)散快。

前面說過，分形圖形是可以無限遞歸下去的，它的復雜度不隨尺度減小而消失。曼德爾布羅特集中大小兩個主要圓盤相接處所產(chǎn)生的深溝叫做“海馬谷”（sea horse valley）。圖13展示了它的一個局部大圖。它的細節(jié)非常豐富，你會看到很多像海馬尾巴一樣的鉤子以一種分形的方式排列開來。

圖　13

圖14則展現(xiàn)了曼德爾布羅特集最右邊那個深溝的景觀，它也有一個名字，叫做“大象谷”（elephant valley）。

圖　14

曼德爾布羅特集里值得放大的地方太多了。仔細看看曼德爾布羅特集最上方的白色觸須里，是不是有一些小黑點？讓我們放大一下，看看它們究竟是什么吧（見圖15）。

圖　15

你會發(fā)現(xiàn)，它們竟然是曼德爾布羅特集本身的形狀！此時，你應該能體會到曼德爾布羅特集的深遂與神秘了吧。

如果有人提到了數(shù)學之美，我首先想到的便是曼德爾布羅特集，簡單的函數(shù)迭代竟能產(chǎn)生如此令人震撼的結(jié)果，壯觀到了讓人敬畏的地步。

如果你整天都被各種數(shù)學公式折磨，并且因此厭惡數(shù)學的話，不妨在網(wǎng)上找些曼德爾布羅特集的圖片來看看。曼德爾布羅特集完美地詮釋了我非常喜歡的一個比喻：數(shù)學不只是一堆公式，正如天文學不只是一堆望遠鏡（見圖16）。

圖　16

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—THE END—