本月主題：

1. 烏鴉能數到四

2. “當代數讓你微笑時”

3. 等號的含義

作者：Tony Phillips教授 2024-9-11

譯者：zzllrr小樂（數學科普微信公眾號）2024-9-13

1. 烏鴉可以數到...四

圖源：pete beard via Flickr under CC BY 2.0 DEED

黛安娜·廖（Diana Liao）和她在圖賓根的同事能夠訓練烏鴉在視覺和聽覺提示下發出特定次數的叫聲。他們在《科學》雜志上發表的文章 https://www.science.org/doi/10.1126/science.adl0984 于5月28日被Audubon奧杜邦協會轉載 https://www.audubon.org/magazine/crows-can-count-aloud-much-toddlers-new-study-finds ，29日被《Smithsonian 史密森尼安》雜志轉載 https://www.smithsonianmag.com/smart-news/crows-can-count-up-to-four-like-human-toddlers-study-suggests-180984420/ 。

參與這項研究的三只雄性烏鴉是從大學鳥舍借來的。它們屬于西歐常見的小嘴烏鴉（拉丁學名：Corvus corone ，英文名：Carrion crow https://www.inaturalist.org/guide_taxa/282218 ）。

烏鴉經過一年多的訓練，學會了通過叫一聲、兩聲、三聲或四聲來對提示做出反應，然后在十天內被做評估測驗。在一個典型的視覺模式測驗中，烏鴉會看到一個彩色數字：紫色的1、橙色的2、藍綠色的3或粉色的4。（在這種情況下，這些印度-阿拉伯數字可能只是充當了四種不同的形狀）。然后它有10秒鐘的時間叫一定的次數，并啄食“回車鍵”以表示它已經完成。如果叫聲次數與提示相匹配，烏鴉將獲得一條面粉蟲或一粒鳥食作為獎勵。失敗則暫停測驗。

受試烏鴉反應的分布與它們對底層數字概念的實際互動相一致。例如，正如作者所觀察到的，誤差通常為正或負一個單位，并且當目標數字增加時，誤差往往會更大。作者報告的另一個重要觀察結果是，對于較大的目標數字，反應時間（刺激和第一次發聲之間的延遲）系統性地更長；正如他們所說，這“表明烏鴉在運動發生之前計劃即將發出的所有發聲次數?！贝送?，正如他們所報告的，第一個“嘎嘎”的音質可以相當準確地預測發聲的總數。

7月18日，NPR的Ari Daniel對此做了報道。這場四分鐘的廣播 https://www.npr.org/2024/07/18/g-s1-9773/crows-count-out-loud-human-toddlers-animal-intelligence 包含了四個聽覺提示和其中一個聽覺提示測驗的錄音，最后引用了與該項目無關的生物學家Chris Templeton的話：“動物在很多方面都很聰明，這些方面可能和我們一樣，也可能不一樣?！?Daniel補充道：“這意味著如果烏鴉給我們一個智力測試，我們可能通過不了?！?/p>

2. “當代數讓你微笑時。”

塔夫茨大學的兩位教授 Barbara Brizuela 和 Susanne Strachota 在《 學習與教學 Learning and Instruction》雜志（2024年5月17日）上發表了一篇文章，題為“當代數讓你微笑時：早期代數練習的趣味互動” https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2024.101933 。

Brizuela和Strachota跟蹤了對69名兒童（四個教室）的數學教學兩年半。這些孩子的受教育水平是早期代數、2、3和4年級，學生年齡在7-10歲。作者希望追蹤“學生在參與數學練習時可以體驗到的快樂”。正如他們所解釋的那樣，大多數關于學生對數學教學的情緒反應的研究都集中在消極方面。即使是關于如何最好地支持自驅的“好玩的”學習的研究，也旨在防止無聊和“數學恐懼癥”（math phobia）。沒有人考慮過孩子們實際上可以享受數學的可能性，或者體驗作者所說的“積極的認知情感”（positive epistemic affect，本質上是理解的樂趣）。

作者著手描述已故數學家詹姆斯·卡普特（James Kaput，1942 - 2005 https://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2008b-james-j-kaput.pdf ）所確定的此階段學生特征的下列四種實踐，所對應的學生們表現積極認知情感的實例：

• 概括數學結構

• 表示數學結構

• 推理數學結構

• 辯護這些概括的合理性

課堂被記錄下來，Brizuela和Strachota確定了與學生的享受愉悅度相關的可觀察行為：明顯的言語、身體姿勢和動作、面部表情（例如微笑或假笑）和凝視。正如他們所說：“我們確定快樂的標志，并描述它們如何與學生參與早期代數中的具體數學練習同時發生。”在該論文中，他們挑選了三個涉及不同數學任務的案例，分析了這些任務的教學方式以及學生參與的方式。

一個很好的例子來自一堂關于數軸的課。教師兼研究員提出了一個開放式問題，即數軸會延伸多遠。作者復制了隨后的對話記錄，并進行了注釋以記錄所代表的實踐和表現出的情感標記。有一次，其中一名學生塔利克提到了“無窮大”。老師問他：“那是什么，塔利克？”他面帶微笑地解釋道：“數軸就是不斷延伸?！边^了一會兒，老師重復了塔利克所說的話：“它應該不斷延伸，”并問：“我們什么時候會停下來？”一位身份不明的學生說：“它是無窮大。我們永遠不會停止。”老師注意到費利佩想說話，于是叫了他。他主動說：“我們會停在無窮大并超越無窮大 - 飛向宇宙，浩瀚無垠?！崩蠋熤貜土怂f的話，并問：“那是什么意思？”費利佩以陳述命題的形式面無笑容地回答道：“巴斯光年?！?/p>

圖源：百度圖片搜索

作者指出， 《玩具總動員2》中的巴斯光年屬于“相關且熟悉的背景”，是“以有趣的方式學習”的標準之一。（巴斯光年的口頭禪“飛向宇宙，浩瀚無垠！To infinity … and beyond ”曾被評為史上最佳電影臺詞）。

3. 等號的含義

6月16日，克萊爾·沃森在《科學快訊 Science Alert》上向公眾發布了凱文·巴扎德（Kevin Buzzard）在ArXiV 上發表的一篇文章 https://www.sciencealert.com/mathematician-reveals-equals-has-more-than-one-meaning-in-math ：“數學家揭示‘等號’在數學中不止一個含義?！边@個標題可能讓人想起蒙提·派森（Monty Python）的短劇，彼得·庫克（Peter Cook）問約翰·克里斯（John Cleese）：“你使用‘是（yes）’的意思是肯定的嗎？”或者比爾·克林頓（Bill Clinton）在陪審團上辯護說：“這取決于‘是’這個詞的含義。” https://www.washingtonpost.com/wp-srv/politics/special/clinton/stories/bctest092198_4.htm 但這是嚴肅的。當我們試圖讓計算機處理數學論證時，例如檢查證明是否正確，就會出現問題。事實證明，我們對“等號”的使用遵循人類的慣例，通常是心照不宣的，這會導致機器無法理解的命題。

巴扎德的帖子重點介紹了著名代數幾何學家亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014） 作品中相當晦澀的例子，但還有更多基本的例子。多邊形的對稱群是一組將該多邊形變回自身的剛性運動（旋轉和反射）。例如，如果多邊形是等邊三角形，則順時針或逆時針旋轉120°會使其回到自身。這是一種對稱性。同樣，通過其任何一條邊平分線（中線）反射三角形會使其回到自身。這會產生另外三個對稱。將集合稱為群（group）意味著存在一個乘法，將任意兩個元素合成起來得到第三個元素。對于多邊形的對稱性，“乘法”運算就是合成：執行第一個運動，然后執行第二個運動。下面的頂部表格顯示了這種“乘法”對于等邊三角形的工作原理。例如，旋轉120°然后旋轉240°將我們帶回到開始的地方。（使一切保持不變的對稱被標記為，即恒等元）。

谷歌搜索“等邊三角形的對稱群”會跳轉到此維基百科頁面 https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6 ，你可以在其中看到“二面體群 ? 是等邊三角形的對稱群”和“在數學中，? ... 等于對稱群 ?”。在另一個頁面上，你會發現 ? 是可對3個符號執行的置換群。這兩個群“相等”是什么意思？

下圖顯示了等邊三角形的對稱性。左側，三角形被分成三個部分，顏色分別為紅色、藍色和黃色。箭頭右側描繪了這些彩色區域在應用旋轉和反射時如何改變位置。右側的圖表顯示了群乘法表，其中群運算是變換的合成。

等邊三角形的對稱性包括恒等對稱、旋轉120°、旋轉240° 和三種反射（每種反射分別固定其中一個不同的頂點）。下表說明了群定律：列指定第一個操作，行指定第二個操作。圖片由 Tony Phillips 提供。

對稱群S?的乘法表，其中群運算為合成（composition）。

符號序列的置換（permutation）是對該序列的重新排序。上表說明了三元組 ,, 的排列。一共有 6 個（包括恒等重新排序 ）；一種方便的標記方法是“循環符號”，如右圖所示：<> 將 轉換為 ，將 轉換為 ，將 轉換為 ，而 <> 將 轉換為 ，將 轉換為 ，并將 保留不變。群定律同樣是合成定律，如表所示。圖片由 Tony Phillips 提供。

當我們說兩個集合相等時，我們的意思是它們具有相同的元素。群 ? 和 ? 顯然不具有相同的元素，但比較兩個乘法表表明，將 120° 旋轉與置換 <> 匹配，將240°旋轉與置換 <> 匹配，以此類推，沿著兩個列表，將乘積轉化為乘積，并表明這些群在符號上確實是“相同的”。這可能是“? 等于 ?”的含義嗎？問題是機器需要知道哪個元素與哪個元素匹配，而這里給出的識別不是自動的。

一個等邊三角形，其頂點分別標記為（從左下方開始順時針）a、b 和 c。

我們認為的 ? 和 ? 相等相當于對三角形頂點進行標記。不同的標記可能會導致截然不同的相等。圖片由 Tony Phillips 提供。

實際上，我們的匹配相當于用符號 ,, 標記三角形的頂點，按逆時針方向讀取。但我們也可以按順時針標記它們；那么 120° 旋轉將對應于排列 <>，等等；這兩個群結構仍然會完美匹配，但方式不同。

巴扎德解釋說，在談論結構和“相等性”時這種不精確性并沒有導致數學中的任何錯誤，但要將數學形式化到計算機達到可用的程度，就必須澄清這一點。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-june-2024/

https://www.science.org/doi/10.1126/science.adl0984

https://www.audubon.org/magazine/crows-can-count-aloud-much-toddlers-new-study-finds

https://www.smithsonianmag.com/smart-news/crows-can-count-up-to-four-like-human-toddlers-study-suggests-180984420/

https://www.inaturalist.org/guide_taxa/282218

https://www.npr.org/2024/07/18/g-s1-9773/crows-count-out-loud-human-toddlers-animal-intelligence

https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2024.101933

https://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2008b-james-j-kaput.pdf

https://www.sciencealert.com/mathematician-reveals-equals-has-more-than-one-meaning-in-math

https://www.washingtonpost.com/wp-srv/politics/special/clinton/stories/bctest092198_4.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6

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