基于三角形角平分線的綜合與實踐

2024年南通中考數學第26題

三角形的角平分線概念，在初中階段分兩步教學，首先是在七年級上冊175頁，角的比較與運算第2課時，類比線段中點，給出角的平分線定義；然后在八年級上冊第5頁，三角形的高、中線與角平分線中，明確了三角形的角平分線定義，如下圖：

三角形的角平分線是一條線段，它將對邊分成兩條線段，再加上原有角的兩條邊，更加豐富了三角形的邊角關系，尤其是在特殊三角形例如等腰三角形中，頂角平分線同時也是底邊上的中線和高，即大家熟悉的“三線合一”。

以三角形的角平分線為情境，從特殊等腰三角形出發，探究兩腰和與兩腰積與其中一個特殊角間的數量關系，再到一般三角形與一般角，得出一般性結論，再利用這個結論來解決問題，這正是綜合也實踐活動的一般流程。

題目

解析：

01

(1)解題前如果對特殊直角三角形邊角關系非常熟悉的話，則本小題會很輕松，一般而言，等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，三邊關系分別滿足1:1:√2和1:√3:2，與特殊三角函數值正好對應，填表如下：

對照條件作出圖形，如下圖：

這里需要注意的是讀懂題目要求，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB·AC之間的數量關系，不要將參數α給消元了.

02

(2)和前面相比，角平分線AD=1不變，它所平分的角為60°，按要求作圖如下：

我們在等腰三角形中探索出來的規律依舊可用，但此時的△ABC并不是等腰三角形，所以優先考慮構造一個等腰三角形，從而可以直接運用前面的結論，我們可過點B作AD的垂線，交AD于點E，交AC于點F，如下圖：

很顯然，△ABF是等邊三角形，且AE是其頂角平分線；

利用這個等邊三角形，我們可以非常順利地建立AB、AE與∠BAE的關系，但這離我們的結論還差一點，因此需要建立AE與AC間的關聯，所以過點F繼續作BF的垂線，交BC于點G，過點G作FG的垂線，交AC于點H，如下圖：

我們很容易得到一組平行線GH∥BF，利用相似三角形推導如下：

我們還可以將前面的結論與本小題結論進行對比，可發現 2cos30°=√3，即在本小題條件下，前面的結論依然成立：(AB+AC)/AB·AC=2cosα；

仍然基于以上思路，還有更多方法，如下圖：

過程類似，不再重復.

03

(3)先按要求作圖，如下圖：

在等腰△ABC中，AD=BD=BC，不妨設∠A=y，則∠ABD=y，∠BDC=2y，∠C=2y，∠ABC=2y，∠DBC=y，利用內角和定理可求出y=36°；

圖中BD為△ABC內角平分線，同時它也是△BMN的內角平分線，這樣我們可以利用前面已經探究出來的結論，在△BMN中，BE是其內角平分線，則(BM+BN)/BM·BN=2cos36°，即1/BM+1/BN=2cos36°，顯然cos36°是定值.

解題反思

我們在第一小題中，完成了等腰三角形中從特殊角到任意角結論的推導，也證實了(AB+AC)/AB·AC=2cosα對于等腰三角形中的任意角α是成立的；

在第二小題中，從一般三角形中構造等腰三角形，借助前面的結論完成了特殊角的結論(AB+AC)/AB·AC=2cos30°，在推導過程中，30°角起到的作用是建立了參數x與AB、AC間的關系，即我們用含x的代數式表示出了AB、AC的長度，那么30°角能完成的關聯，45°角同樣能完成，60°角也能完成，這就回到了第一小題的探究方法了，因此對于任意角α，我們都能建立起AB、AC間的關系，即可用含x、α的代數式表示出AB、AC，雖然我們沒有在一般三角形中就任意角α下的結論進行驗證，但它依然成立；

部分學生在經歷特殊到一般的過程中，對于本題沒有驗證任意角α一直很疑惑，其實是沒有必然的，但為了讓結論更加嚴密，不妨在一般三角形中，我們用任意角度的角平分線來驗證一下：

由于E是BF中點，可得DE是△BFG中位線，FG=2DE，推導如下：

通常情況下，三角形內角不超過180°，故α應該為銳角，利用銳角三角函數恰好能進行上述推導，這就完美遵循了猜想-驗證的思想方法，形成了邏輯閉環；

其實在上面的驗證過程中，我們對比第二小題的過程，“幾乎一樣”，這也說明了結論在前面已經被證實過可用；在第三小題中，真正理解了前面研究結論的學生，就非常容易理解定值的含義了.