一

先發優勢

有一個蘋果，兩個人拋硬幣來決定誰吃這個蘋果，先拋到正面者吃。問先拋的人吃到蘋果的概率是多少？

讓我來一步步解決這個概率問題。

1. 設先拋的人吃到蘋果的概率為 P

2. 分析可能的情況：

• 第一次拋正面(概率 1/2) → 先拋者吃蘋果

• 第一次拋反面(概率 1/2)且第二次拋反面(概率 1/2) → 繼續新一輪，相當于重新開始

• 第一次拋反面(概率 1/2)且第二次拋正面(概率 1/2) → 后拋者吃蘋果

1. 寫出概率方程：P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P

解釋：

• 1/2 是第一次就拋到正面的概率

• (1/2 × 1/2) × P 是雙方都拋到反面后重新開始的概率乘以重新開始后先拋者獲勝的概率

1. 求解方程： P = 1/2 + (1/4)P

   3P/4 = 1/2

   ?P = 2/3

因此，先拋硬幣的人吃到蘋果的概率是 2/3 (約66.67%)。

這個結果是符合直覺的：先拋的人有更大的機會，但優勢并不是壓倒性的。后拋的人仍有 1/3 的機會吃到蘋果。

很多時候，先下手為強啊。???????????

二

遞歸概率

在上面的計算里，P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P還是有點兒奇怪，難道不用計算雙方都一直沒有拋到正面，后續新一輪繼續拋的可能性嗎？

讓我們仔細思考一下為什么這個方程是完整的：

當我們寫出 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 時，這個方程實際上已經包含了所有可能的后續回合。因為：

• P 本身就代表了"先拋者最終獲勝的概率"

• 當雙方都拋到反面時，整個游戲相當于重新開始，此時先拋者獲勝的概率依然是 P

在這種“無限往復”的拋硬幣問題中，確實不用顯式地列出后續所有拋的可能性，因為在“雙方都拋到反面”之后，整個過程會“回到原點”，也就是回到了最初的情形——先拋的人仍舊先拋。

這就涉及到概率的遞歸性質。

舉個例子來說明后續回合是如何被包含的：

1. 第一輪：P = 1/2 + (1/4)P

2. 將第一個 P 展開：P = 1/2 + (1/4)(1/2 + (1/4)P)

3. 繼續展開：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)P

4. 再展開：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)(1/2 + (1/4)P) ...

（請忽略上面括號的混亂）

如果我們把這個無限展開的級數加起來，最終會得到相同的結果：P = 2/3

這就是為什么一個簡單的方程 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 就能完整描述這個問題--

它是一個遞歸方程，通過 P 自身就隱含地包含了所有可能的后續回合。

這就是遞歸概率的核心：用一個方程把“無限回到初始”的情形壓縮進一個簡單的表示里。

這種思維方式在很多概率問題中都很有用，尤其是在處理可能無限持續的過程時。

接下來我們看一道有趣的題目，也就是這篇文章的主題：賭徒破產問題。

三

賭徒破產

賭徒破產問題是一個經典的概率遞歸問題，它不僅具有有趣的數學結構，更蘊含著深刻的現實意義。

這個問題描述的是：一個賭徒帶著初始資金去賭場，目標是贏到某個金額。每次賭博贏的概率為p，輸的概率為1-p，每次賭注為1元。

問題是：這個賭徒能贏到目標金額的概率是多少？

讓我們用數學語言來精確描述這個問題：

• 初始資金：i元

• 目標金額：M元

• 單次賭博勝率：p

• 單次賭注：1元

• 待求：從i元開始贏到M元（包含本金）的概率P(i)

用遞歸思路分析，考慮賭徒第一次賭博后的情況：

• 贏了（概率p）：資金變為i+1

• 輸了（概率1-p）：資金變為i-1

?因此可以寫出遞歸方程：

P(i) = p·P(i+1) + (1-p)·P(i-1)

邊界條件為：

• P(0) = 0 （破產）

• P(M) = 1 （達到目標）

以下會有兩種情況，去的是公平賭場，和不公平賭場。

1. 公平賭場（p=0.5）

當p=0.5時，遞歸方程變為：

P(i) = 0.5·P(i+1) + 0.5·P(i-1)

整理得：P(i+1) - 2P(i) + P(i-1) = 0

這是一個等差數列方程，結合邊界條件可解得（這里略去二階差分方程的計算過程）：

P(i) = i/M

這個解的物理意義是：

• 在公平賭場中

• 從i元開始

• 贏到M元（包含本金）的概率??

• 等于初始資金占目標金額的比例

這個簡潔的結果完美地反映了"公平賭場"的特性：

獲勝概率與初始資金成正比，與目標金額成反比。

這意味著什么？

即使在公平賭場（p=0.5）：

• 獲勝概率隨目標金額線性下降

• 賭場資金遠大于賭徒，相當于M趨近無窮

• 最終獲勝概率趨近于零

即使你是一個理性的賭徒，也不能例外。???????

我們用數字來一個個推演一下。

根據P(i) = i/M，i是你帶入賭場的錢，M是你帶走的錢。

所以，假如你進了賭場，根本不賭，晃悠一圈，觀察一下概率如何在人間被極少數人類用于操縱如此一大群人，然后離開。?????

這樣的話，你的i等于M，并且實現的概率是100%。???????

你也許會說：這個100%太無聊了吧！?????????

也許只有虧過錢的人，不管是在賭場里，還是在失敗的投資中，以及借錢出去收不回來，才能理解，i等于M，是一件多么幸福的事情。?????

事實上，格雷厄姆的投資思想的第一原則，也許就是讓i小于等于M。??

繼續代入數字：

• 如果賭徒目標是翻倍（M=2i），那么獲勝概率是0.5

• 如果目標是翻三倍（M=3i），概率降到0.33

• 如果想贏取巨額獎金（M>>i），概率就會趨近于0

越貪心，輸得越多，

所以，即使是在理論上完全公平的賭場（p=0.5），賭徒的處境也是不利的，因為：

• 只要目標收益率大于100%，獲勝概率就小于0.5

• 想贏得越多，獲勝概率越低

• 賭場的資金優勢確保了長期來看賭徒必輸

對于一個資金有限的小賭徒，想要無限追求“掙到特別高的目標金額”，獲勝概率當然幾乎為零。

并且，世界上哪里有完全公平的賭場呢？

2. 不公平賭場（p<0.5）

如果是不公平賭場（ p < 0.5 ），或者賭場額外抽水（莊家在每次賭注里占更大優勢），那么賭徒的獲勝概率更低。這時更能凸顯“長期開賭必然破產”的結局。

這涉及到另一條公式，在 p≠0.5時，賭徒最終達成目標 M的概率會變為：

如上公式所示，在不公平賭場（p<0.5）上，賭徒獲勝概率隨目標金額增加呈指數下降。

不用說，結果更慘。

賭徒在不同目標金額下的獲勝概率

注：假設初始資金1000元，橫軸表示目標金額是初始資金的倍數，縱軸表示獲勝概率

四

小結

本文從有趣的概率遞歸問題出發，闡明了"回到原點"或"狀態遷移"的思想如何用遞歸方程來簡潔地計算無限過程的概率。

在賭徒破產問題中，結論尤其值得關注：

1、即使在理論上完全公平的賭場（p=0.5），賭徒想要獲得遠超初始資金的收益，概率都會線性下降并最終幾乎為零。

2、如果是"不公平賭場"（p<0.5）或莊家抽水，則情況更糟糕，賭徒的贏面會呈指數加速走向微乎其微。

雖然類似于拋硬幣的游戲是對不確定性現實世界的簡單化模擬，但考慮到絕大多數人世間的勝率還遠不如賭場，所以不妨用相關公式來理解隨機性是如何愚弄人的。??????????????????????

畢竟，我們無法與物理定律對抗，也不能欺騙數學公式。?????????

對于公平賭場的P(i) = i/M，我們能獲得如下啟發：

• 完全遠離賭博，這是最佳選擇

• 保持"i=M"心態，珍惜已有資產

• 投資替代賭博，讓時間和復利成為朋友

• 量力而行，避免過高的"翻倍"目標

• 降低投資預期收益率，提高獲勝概率

• 保持充足的資金儲備

此外，采用止損和分散投資策略，避免在單一機會中壓上全部資本。

當目標遠大而資金有限，面對不利或不公平的規則，失敗是大概率事件。

真正的智慧在于——把自己放在“正期望”的環境中，讓時間站在自己這邊，不要在負期望或虛幻好運的迷霧中越陷越深。

這，才是為什么賭徒必然破產。

投資最重要的事情是：做概率和時間都站在你這邊的事情。

（精確的說法是大量重復做期望值為正的事情。）

數學會說話，而它告訴我們的是一個永恒的真理 ——在概率對我們不利的事情上，越快全身而退越好。