圖源：Robert Neubecker|Quanta

三點(diǎn)轉(zhuǎn)彎（汽車調(diào)頭）背后的空間直覺為一個(gè)世紀(jì)以來的幾何問題提供了一個(gè)高速匝道。

作者：Patrick Honner（量子雜志特約專欄作家）2023-9-29

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-1-31

想象一下，你正坐在一輛上街行駛的無人駕駛汽車上，看到前方有點(diǎn)問題。一名亞馬遜送貨司機(jī)的貨車駛過一輛并排停放的UPS卡車時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己無法通過。現(xiàn)在他們被困住了。而你也是。

街道太窄，無法調(diào)頭（U-ey），因此你的人工智能增強(qiáng)型汽車會啟動三點(diǎn)轉(zhuǎn)彎。首先，汽車沿著一條彎曲的路徑駛向一個(gè)路邊。一旦到達(dá)之后，它就會轉(zhuǎn)向另一個(gè)方向并倒回到對面的路邊。然后，它將方向盤朝第一個(gè)彎曲路徑的方向轉(zhuǎn)回來，向前行駛并遠(yuǎn)離障礙物。

三點(diǎn)轉(zhuǎn)彎調(diào)頭

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這種簡單的中間轉(zhuǎn)彎幾何算法可以幫助你在緊張的情況下繞過。（如果你曾經(jīng)平行停車，你就會知道這種來回?cái)[動可以為你帶來什么。）

五點(diǎn)轉(zhuǎn)彎調(diào)頭

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這里有一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，你需要多少空間來讓你的汽車調(diào)頭，100多年來，數(shù)學(xué)家們一直在研究這個(gè)問題的理想化版本。它始于1917年，當(dāng)時(shí)日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一個(gè)看起來有點(diǎn)像我們的交通擁堵的問題。

假設(shè)你有一根長度為1的無限細(xì)的針。將針旋轉(zhuǎn)180度并將其返回到原始位置的最小區(qū)域的面積是多少？這被稱為掛谷針問題（Kakeya’s needle problem），數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谘芯克淖凅w。讓我們看一下使掛谷針問題如此有趣和令人驚訝的簡單幾何。

與許多數(shù)學(xué)問題一樣，這個(gè)問題涉及一些簡化的假設(shè)，使其不太現(xiàn)實(shí)，但更易于駕馭。

例如，當(dāng)你開車時(shí)，汽車的長度和寬度很重要，但我們假設(shè)針的長度為1，寬度為0。（這意味著針本身的面積為零，這對于我們解決問題起著重要作用。）此外，我們假設(shè)針與汽車不同，可以繞其前端、后端或之間的任何點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

目標(biāo)是找到允許針旋轉(zhuǎn)180度的最小區(qū)域。找到滿足一組特定條件的最小的東西可能具有挑戰(zhàn)性，但一個(gè)好的開始方法是尋找滿足這些條件的任何東西，并看看在此過程中你可以學(xué)到什么。

例如，一個(gè)簡單的答案是只需將針繞其終點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，然后將其向上滑動即可。這會將針返回到其原始位置，但它現(xiàn)在指向相反的方向，正如掛谷針問題所要求的那樣。

轉(zhuǎn)彎所需的區(qū)域是半徑為1的半圓，其面積為A=?πr2=?π(1)2=?π=π/2 。所以我們找到了一個(gè)有效的區(qū)域。

利用神奇的數(shù)學(xué)針繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的能力，我們可以做得更好。我們不圍繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它，而是圍繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它。

你可以稱之為掛屋指南針：我們的指針一開始指向北方，但旋轉(zhuǎn)后它在同一位置但指向南方。該區(qū)域是一個(gè)半徑為?的圓，因此其面積為A=πr2=π(?)2=π?=π/4 。這是我們第一次找到的區(qū)域面積的一半，所以我們正在取得進(jìn)步。

接下來該去向何處呢？我們可以從無人駕駛汽車的困境中獲得靈感，并考慮使用諸如三點(diǎn)轉(zhuǎn)向之類的指針。這實(shí)際上效果很好。

使用這種技術(shù)針掃過的區(qū)域稱為deltoid（三角旋輪線），它也滿足掛谷問題的要求。

計(jì)算其面積需要的不僅僅是我們在這里討論的基本幾何（參數(shù)曲線的知識會有所幫助），但事實(shí)證明，這個(gè)特定三角旋輪線的面積（被長度為1的線段掃過）恰好是π/8 。

現(xiàn)在我們有一個(gè)更小的區(qū)域可以扭轉(zhuǎn)掛谷的局面，你可能會認(rèn)為這是我們能做的最好的。掛谷自己也認(rèn)為可能是這樣。

但當(dāng)俄羅斯數(shù)學(xué)家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）發(fā)現(xiàn)你可以做得更好時(shí)，這個(gè)針問題發(fā)生了巨大的轉(zhuǎn)變。他想出了一個(gè)程序來削減該區(qū)域不必要的部分，直到它像他想要的那樣小。

這個(gè)過程技術(shù)性強(qiáng)且復(fù)雜，但基于貝西科維奇想法的一種策略依賴于兩個(gè)簡單的想法。首先，考慮下面的等腰直角三角形，高為1，底為2。

此刻我們忘記完全轉(zhuǎn)動針，而只關(guān)注一個(gè)簡單的事實(shí)：如果我們將一根長度為1的針放在三角形頂部頂點(diǎn)，則三角形足夠大到讓針旋轉(zhuǎn)完整的90度，即從三角形的一條（直角）邊到另一條（直角）邊的度數(shù)。

由于三角形的面積為A=?bh ，因此該三角形的面積為A=?×2×1=1 。

現(xiàn)在，這有第一個(gè)重要的想法：

我們可以在保留90度旋轉(zhuǎn)的同時(shí)減少該區(qū)域的面積。策略很簡單：我們將三角形從中間切開，然后將兩半推到一起。

這個(gè)新圖形的面積必定小于原圖形，因?yàn)楝F(xiàn)在三角形的一部分重疊了。實(shí)際上，很容易計(jì)算這個(gè)圖形的面積：它只是邊長為1的正方形的四分之三，因此面積是A=? ，小于我們剛開始的三角形面積。

我們?nèi)匀豢梢詫⑨樦赶蚺c以前相同的方向。只有一個(gè)問題：原來的角已被分成兩部分，因此這些方向現(xiàn)在被分為兩個(gè)單獨(dú)的區(qū)域。

如果指針位于新區(qū)域的左側(cè)，我們可以將其在正南（正下方）和東南（右下方）之間旋轉(zhuǎn)45度；如果它在右側(cè)，我們可以將其在正南（正下方）和西南（左下方）之間旋轉(zhuǎn)45度。但由于這兩個(gè)部分是分開的，我們似乎無法像以前那樣將其旋轉(zhuǎn)完整的90度。

這就是第二個(gè)重要想法的用武之地：

有一種偷偷摸摸的方法可以將針從一側(cè)移動到另一側(cè)，并且不需要太多的面積。在象棋中，你可能知道馬的走法是L字形。好吧，我們的針將以N字形（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的Z字形）移動。

這是如何完成的方法：

首先，指針沿著N的一側(cè)向上滑動。然后它旋轉(zhuǎn)到沿對角線的指向，然后向下滑動。然后它再次旋轉(zhuǎn)，并通過沿著N的另一側(cè)向上滑動來完成其行程。

起初，這種N字形移動看起來可能不多，但是它非常有用。

它允許針頭從一條平行線“跳”到另一條線，這將有助于我們將針從一個(gè)區(qū)域轉(zhuǎn)到另一個(gè)區(qū)域。

更重要的是，它不需要很多面積。實(shí)際上，你可以使它需要盡可能小的面積。原因如下：

回想一下我們的針的寬度為零。因此，針頭向前或向后移動的任何線段將具有零面積。這意味著將針頭向上，向下或沿對角線在N字形上移動的區(qū)域?qū)⒂闪忝娣e的部分組成。

這樣就只剩下N字形角上的旋轉(zhuǎn)。

這些移動確實(shí)需要面積。你可以在每個(gè)角上看到圓形中的一個(gè)小扇形。但這里有一個(gè)隱秘的機(jī)關(guān)：你可以通過拉長N字形來縮小這些區(qū)域。

圓扇形面積的公式為A=(θ/360)πr2 ，其中θ是扇形角度。無論N字形有多高，扇形的半徑始終為1：因?yàn)檫@是針的長度。

但隨著N字形變高，角度θ會縮小，這會減少扇形的面積。因此，你可以根據(jù)需要通過拉伸N字形來使額外面積盡可能小。

請記住，我們可以通過將三角形區(qū)域分成兩部分并使各部分重疊來減少面積。問題在于，這將90度角分成了兩個(gè)獨(dú)立的部分，導(dǎo)致我們無法將針旋轉(zhuǎn)完整的90度。現(xiàn)在我們可以通過添加適當(dāng)?shù)腘字形來解決這個(gè)問題，以確保針有從一條邊到達(dá)另一條邊的路徑。

在這個(gè)更新過的區(qū)域中，針頭仍然可以像以前一樣旋轉(zhuǎn)整個(gè)90度，只不過現(xiàn)在分兩個(gè)階段進(jìn)行。首先，針頭旋轉(zhuǎn)45度，并與左側(cè)的垂直邊緣對齊。接下來，它沿著N字形（下圖綠色虛線）移動到另一條邊。一旦到達(dá)（右側(cè)邊緣頂點(diǎn)）之后，它就可以自由轉(zhuǎn)動另一個(gè)45度。

這樣移動會讓針頭旋轉(zhuǎn)90度（45度+45度），并且為讓它保持轉(zhuǎn)動，你只需添加該區(qū)域的旋轉(zhuǎn)副本（見下圖綠色）即可。

通過添加適當(dāng)?shù)腘字形，針可以從一個(gè)三角形半島跳到另一個(gè)三角形，然后一點(diǎn)一點(diǎn)地轉(zhuǎn)動，直到它轉(zhuǎn)完一周，就像一輛執(zhí)行三點(diǎn)轉(zhuǎn)彎調(diào)頭的汽車一樣。

細(xì)節(jié)中還有更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，但這兩個(gè)想法 —— 我們可以通過切割和移動來不斷減少原始區(qū)域的面積，同時(shí)確保我們可以使用任意小的N字形從一個(gè)部分到達(dá)另一個(gè)部分 —— 幫助我們在不斷縮小的區(qū)域中移動針頭，最終可以達(dá)到所想要的小區(qū)域。

建立這類區(qū)域的一種更標(biāo)準(zhǔn)的方法始于等邊三角形，并使用“Perron樹”，這是將三角形切成薄片伸展并將薄片放回原處的巧妙方法。結(jié)果非常令人驚嘆。

最近，數(shù)學(xué)家在這個(gè)老問題的新變體上取得了進(jìn)展 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ，這些變體設(shè)置在更高的維度和不同的大小概念（測度measure）上。

我們可能永遠(yuǎn)不會看到人工智能驅(qū)動的汽車走出掛谷針尖般的轉(zhuǎn)彎軌跡，但我們?nèi)匀豢梢孕蕾p它近乎虛無的美麗和簡單。

練習(xí)（繼續(xù)下滑查看答案）

1. 用作掛谷針集的最小等邊三角形的面積是多少？

2. 通過使用“魯洛Reuleaux三角形”，你可以比練習(xí)1中的等邊三角形做得更好一點(diǎn)，“魯洛三角形”是由三個(gè)重疊的圓扇形形成的區(qū)域。有效的最小魯洛三角形的面積是多少？

答案

練習(xí)1答案：

一個(gè)高為1的等邊三角形的空間足以容納在頂點(diǎn)上的針頭，可以從一條邊擺動到另一條邊。一旦在邊上，它可以滑到另一個(gè)頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)并繼續(xù)其旅程，直到返回其起始位置并指向相反方向。

邊長s的等邊三角形的面積為A=√3s2/4，你可以使用三角學(xué)或勾股定理來確定高為1的等邊三角形的邊長為2/√3 。

因此，所求面積A=√3/4×(2/√3)2 = √3/4×4/3 = √3/3。

或者使用三角形面積公式

A=?bh=1/2 × 2/√3 × 1 = 1/√3 = √3/3

練習(xí)2答案：

取三個(gè)扇形，每個(gè)扇形的半徑為1，角度為60度，然后排列它們，使它們均重疊一個(gè)邊長為1的等邊三角形。

該區(qū)域允許長度為1的針完全旋轉(zhuǎn)。將三個(gè)扇形的面積相加就使得重疊三角形面積被算了3次，因此總面積是三個(gè)扇形面積之和減去兩倍重疊三角形的面積：3(?π12)–2(√3/4×12)=π/2–√3/2≈0.705 。

提示：其中在計(jì)算三個(gè)扇形面積之和時(shí)，也可以直接將三個(gè)（60度）扇形面積之和看成半圓面積?π12=π/2 。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——新證明穿針引線到一個(gè)粘性幾何問題上——譯自Quanta Magazine量子雜志

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

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