在凝聚態(tài)物理學(xué)領(lǐng)域，量子摩爾材料研究正當(dāng)時(shí)。本文將從一篇物理學(xué)版《馬說(shuō)》講起，以期待讀者能夠欣賞該領(lǐng)域的新進(jìn)展：得到更大晶格長(zhǎng)度的 super-moiré 材料。我們將領(lǐng)略 super-moiré 材料所帶來(lái)的神奇物理效應(yīng)，以及該研究如何完成從理論到計(jì)算再到實(shí)驗(yàn)的完整閉環(huán)，實(shí)現(xiàn)前人開(kāi)拓卻所不及的整數(shù)磁通布洛赫態(tài)和整數(shù)BZ振蕩，一窺其為量子世界研究開(kāi)辟新路徑。

撰文|馬亞琪（香港科技大學(xué)）、黃美珍（香港科技大學(xué)）、卡洛、王寧（香港科技大學(xué)）

Super-moiré說(shuō)

世有 moiré，然后有 super-moiré。Moiré 者常有，而super-moiré 不常有。

Moiré 之 super 者，其原胞尺度可達(dá)百納米，向之作者不知其能super 而制也。

是 super-moiré 也，其成于常規(guī) moiré 之量子干涉效應(yīng)，波粒二象性之力良有以也。

以百納米之原胞，所含磁通之量亦增百倍，Brown-Zak 振蕩正比于磁場(chǎng)之現(xiàn)象，昭然于世也。

噫！Brown-Zak，侯世達(dá)諸前輩得見(jiàn)今日之?dāng)?shù)據(jù)，其必曰“微斯人，吾誰(shuí)與歸”矣。

題解

這段混搭了韓愈、范仲淹，還有幾位物理學(xué)家的《Super-moiré 說(shuō)》，讓大家看得一頭霧水，先說(shuō)一聲抱歉。但就是這樣文白夾雜古今中外的拉扯，其實(shí)包含著時(shí)下量子摩爾材料研究的新進(jìn)展[1]。下面的文章，就好像諸位看官中學(xué)時(shí)學(xué)古文一樣，可以作為對(duì)此進(jìn)展的賞析來(lái)讀。

量子摩爾材料 （quantum moiré material） 是指人造的二維超晶格材料，對(duì)于這類(lèi)材料的理論、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究，是目前凝聚態(tài)物理學(xué)和量子材料科學(xué)的研究重點(diǎn)。其具體的例子包括雙層轉(zhuǎn)角石墨烯[2]和過(guò)渡金屬二硫化物。人們?cè)谇罢咧邪l(fā)現(xiàn)了超導(dǎo)現(xiàn)象，而目前正在世界范圍內(nèi)如火如荼的分?jǐn)?shù)陳絕緣體 ——庶幾分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的無(wú)磁場(chǎng)版本——就是在后者中發(fā)現(xiàn)的。這些材料的一個(gè)共同特點(diǎn)是，通過(guò)堆疊和旋轉(zhuǎn)，材料中形成的人造 moiré 晶格的尺度可以大于其單層組分中原子晶格的尺度，如單層的石墨烯中碳原子所形成的蜂窩晶格，其鍵長(zhǎng)在埃米量級(jí)（10 -10 m），而雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的摩爾超晶格，其晶格長(zhǎng)度可以到 10 納米（10 -8 m）量級(jí)。在量子多體物理學(xué)和拓?fù)湮锢韺W(xué)中大家所追求的新奇現(xiàn)象，如二維 （狄拉克） 電子氣、莫特絕緣體、非費(fèi)米液體、非常規(guī)超導(dǎo)體、量子反常霍爾效應(yīng) （陳絕緣體） 和其分?jǐn)?shù)化的版本等等，都是因?yàn)檫@樣的長(zhǎng)度尺度和能量尺度的變化而在量子摩爾材料中涌現(xiàn)出來(lái)，并且人們可以通過(guò)精準(zhǔn)的門(mén)電壓、轉(zhuǎn)角、應(yīng)變、垂直電場(chǎng)、外磁場(chǎng)等方式進(jìn)行調(diào)控，在同一個(gè)樣品中實(shí)現(xiàn)這些新奇物態(tài)之間的相變，難怪摩爾材料變成了凝聚態(tài)物理學(xué)從理論到計(jì)算再到實(shí)驗(yàn)，老少咸宜的熱門(mén)話題。

長(zhǎng)度尺度和能量尺度的變化和隨之而來(lái)的新物理現(xiàn)象，能否在摩爾之上繼續(xù)進(jìn)行呢？我們這里想要討論的進(jìn)展，是在摩爾超晶格的基礎(chǔ)上，想辦法繼續(xù)增大超晶格原胞的尺度，把原胞從 10 納米（10-8 m）增大到了 100 納米（10-7 m）量級(jí)，這樣制造出來(lái)的二維超晶格材料，就是 Super-moiré[1]。

想要把原胞尺度變得更大，依靠人工堆疊兩種具有相似晶格常數(shù)的材料形成異質(zhì)結(jié)是不可行的。異質(zhì)結(jié)的原胞尺寸由這兩層二維材料間的晶格常數(shù)差所決定，而差是有限的。對(duì)于最常見(jiàn)的石墨烯 （graphene） 和六方氮化硼 （hexagonal boron nitride，簡(jiǎn)稱(chēng) hBN） 形成的異質(zhì)結(jié)，它的最大原胞尺度也才 ~14 納米。另一方面，簡(jiǎn)單地調(diào)整同質(zhì)結(jié)中兩層相同的二維材料之間的轉(zhuǎn)角也不能實(shí)現(xiàn)更大的原胞尺度 （雖然之前有不少嘗試） 。這是因?yàn)樵趯?shí)際材料中，原子排布的不均勻性是一個(gè)很大的問(wèn)題，而且摩爾材料的雙層或者多層之間通過(guò)范德瓦爾斯力 （而不是三維材料中常見(jiàn)的化學(xué)鍵） 聯(lián)系在一起。范德瓦爾斯力不似化學(xué)鍵那么強(qiáng)，原子可以比較容易地調(diào)整位置找到局域基態(tài)，但從整體上看，這會(huì)使原子排布更加混亂，不能成為周期性的晶格。

那么如何克服這樣的問(wèn)題呢？還是那句老話，“遇事不決，量子力學(xué)”。解決問(wèn)題的辦法是把兩個(gè)已經(jīng)穩(wěn)定的 moiré 超晶格再疊加起來(lái)，并旋轉(zhuǎn)到合適的角度。當(dāng)是時(shí)也，疊加在一起的穩(wěn)定 moiré 超晶格 （其原胞大小都在 10 納米左右） ，其中電子的波函數(shù) （波粒二象性） 會(huì)發(fā)生干涉效應(yīng)：如果兩個(gè) moiré 之間相對(duì)的轉(zhuǎn)角滿足了干涉所需要的公度（commensurate）條件，也就是兩套 moiré 的倒格矢滿足特定關(guān)系時(shí)，兩個(gè) moiré 的波長(zhǎng)可以發(fā)生干涉，那么這樣干涉出來(lái)的波就可以具有更長(zhǎng)的波長(zhǎng)。如此產(chǎn)生的 super-moiré 超晶格，其晶格長(zhǎng)度可以克服上面說(shuō)的材料的不均勻性，展現(xiàn)出穩(wěn)定的更大原胞的周期性晶格結(jié)構(gòu)。正因?yàn)?super-moiré 的形成靠的是兩個(gè)穩(wěn)定的 moiré 超晶格中電子波函數(shù)的量子力學(xué)干涉效應(yīng)，而不是機(jī)械地通過(guò)旋轉(zhuǎn)讓原子密度簡(jiǎn)單地在幾何上排列出更大的周期 （遑論實(shí)際材料中原子排布天生不均勻，原子密度不能真正形成周期） ，所以說(shuō) “波粒二象性之力良有以也”。我們目前所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其實(shí)只是理論中滿足公度條件的諸多干涉波長(zhǎng)中的一種，可以預(yù)期此路一開(kāi)，還會(huì)有更多的 super-moiré 材料被制造出來(lái)，在更大長(zhǎng)度尺度上的新奇量子多體物理學(xué)現(xiàn)象和拓?fù)湮锢韺W(xué)現(xiàn)象會(huì)不斷涌現(xiàn)。

那么有了更大晶格長(zhǎng)度的 super-moiré，我們用它來(lái)展示什么新的物理現(xiàn)象呢？這就需要提到引言的 《Super-moiré 說(shuō)》中嵌入的幾位物理學(xué)家“Brown-Zak，侯世達(dá)諸前輩”和電子在晶格中的周期勢(shì)場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用下，所展示的侯世達(dá)蝴蝶 （Hofstadter butterfly） 和 Brown-Zak 量子振蕩效應(yīng)了。

侯世達(dá)的蝴蝶與 Brown-Zak 的振蕩

侯世達(dá)的蝴蝶 （Hofstadter butterfly） 不是混沌現(xiàn)象中經(jīng)常提到的蝴蝶效應(yīng)，侯世達(dá)也不是中國(guó)人，而是美國(guó)物理學(xué)家 D. R. Hofstadter （不得不說(shuō)他的中文譯名很接地氣） 。他在 1970 年代通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了在二維周期性勢(shì)場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)中電子的量子運(yùn)動(dòng)的能譜圖，形如蝴蝶，故得名。他的結(jié)果也成為了現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算數(shù)據(jù)可視化的早期范例之一[3]。

圖 1. 侯世達(dá)繪制的“蝴蝶圖”，描述二維正方形晶格中的電子的能級(jí)關(guān)于外加磁場(chǎng)的函數(shù)形式，形如蝴蝶。圖片來(lái)自文獻(xiàn)[4]。

二維正方形晶格中的電子的能級(jí)關(guān)于外加磁場(chǎng)的函數(shù)形式如圖 1 所示，該譜圖在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上最顯著的特征是，在特定的磁場(chǎng)數(shù)值下 （橫軸） ，電子可以處在的能量本征態(tài) （縱軸） 可以隨著磁場(chǎng)的變化發(fā)生復(fù)雜的分裂，并產(chǎn)生迭代性的分形結(jié)構(gòu)，形如蝴蝶。后面人們發(fā)現(xiàn)蝴蝶翅膀的特征是陳整數(shù)，所以侯世達(dá)蝴蝶在后來(lái)的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)理論和拓?fù)淞孔訑?shù)理論中都有重要的作用。產(chǎn)生這樣圖案的實(shí) 質(zhì)原因是，在公度（commensurate）的條件下，即穿過(guò)晶格原胞之內(nèi)的磁通量為磁通量子（ 0 =?/ ~ 4 × 10-15 T/m 2 ）的有理數(shù)倍/0= /（ 和 是互質(zhì)的整數(shù)）時(shí)，磁場(chǎng)下在晶格上運(yùn)動(dòng)的電 子感受到的有效磁場(chǎng)為零，可以擺脫磁場(chǎng)的束縛恢復(fù)自由的狀態(tài)，這樣在周期晶體中自由運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)，稱(chēng)為布洛赫態(tài) （Bloch state） ，得名于瑞士物理學(xué)家 Felix Bloch （1905-1983） ，如圖 2.a 所示。侯世達(dá)蝴蝶能譜中的電子，在滿足磁場(chǎng)公度條件的時(shí)候，其波函數(shù)就是布洛赫態(tài)，其能量就是圖1 中有顏色的地方，此時(shí)電子可以傳導(dǎo)，考慮到此時(shí)有磁場(chǎng) （雖然電子在公度時(shí)感受不到） ，電子的波函數(shù)就被稱(chēng)為磁布洛赫態(tài)；而在不滿足磁場(chǎng)的公度條件時(shí)，電子的波函數(shù)則處于絕緣態(tài)，其能量就是圖1 中空白的地方。

處在磁布洛赫態(tài)中的電子，因?yàn)椴皇艽艌?chǎng)的束縛，可以保持彈道輸運(yùn)，好像金屬中的自由電子在能帶中一樣 （圖 2.c） ；如果調(diào)節(jié)磁場(chǎng)，把電子的狀態(tài)調(diào)節(jié)到圖 1 中空白的地方，此時(shí)電子就好像進(jìn)入能帶中間的能隙而被約束，不能參與導(dǎo)電 （圖 2.b） 。如果可以測(cè)量侯世達(dá)蝴蝶 （就是在二維周期性晶格勢(shì)場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)中的電子） 的輸運(yùn)性質(zhì)，并觀察其電導(dǎo)隨著磁場(chǎng)的關(guān)系，那么可以看到隨著磁場(chǎng)的變化，

穿過(guò)晶格原胞的磁通在“滿足—不滿足”公度條件的狀態(tài)之間變化；

電子的行為也就在對(duì)于磁場(chǎng)的“自由—約束”狀態(tài)之間變化；

其電導(dǎo)也就會(huì)出現(xiàn)隨著磁場(chǎng)“導(dǎo)電—不導(dǎo)電”的振蕩行為。

這樣的振蕩行為被稱(chēng)為 Brown-Zak 振蕩 （簡(jiǎn)稱(chēng) BZ 振蕩） ，如圖 2. d, e, f 所示，得名于美國(guó)物理學(xué)家 Edmond Brown[5]和以色列物理學(xué)家 Joshua Zak[6]。這二位理論物理學(xué)家在 1960 年代就曾考慮過(guò)均勻磁場(chǎng)對(duì)于布洛赫電子運(yùn)動(dòng)的影響，可以說(shuō)侯世達(dá)在 1970 年代的工作是建立在 Brown-Zak 的基礎(chǔ)之上的，只是 Brown-Zak 更多討論的是磁平移群的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而侯世達(dá)則把計(jì)算所得的蝴蝶能譜，還有能譜的分形結(jié)構(gòu)挖掘了出來(lái)。

圖 2. 晶格原胞尺寸和磁場(chǎng)的公度條件及 BZ 振蕩。a. 沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)，電子在晶格勢(shì)場(chǎng)中自由運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為布洛赫波。b. 有磁場(chǎng)但不滿足公度條件時(shí)，電子運(yùn)動(dòng)受到束縛。c. 滿足公度條件 /0 = /時(shí)，即穿過(guò)晶格原胞的磁通量為磁通量子的 / 倍，電子感受到的有效磁場(chǎng)為零，電子恢復(fù)磁布洛赫波的自由狀態(tài)。a,b,c, 來(lái)自文獻(xiàn)[8]。d. 當(dāng)晶格原胞（灰色六邊形）較小時(shí)，需要多個(gè)原胞才能承載一個(gè)磁通量子。藍(lán)色六邊形表示在一定磁場(chǎng)強(qiáng)度下承載一個(gè)磁通量子需要的面積，灰色箭頭表示一個(gè)磁通量子。即一個(gè)晶格原胞只能穿過(guò)分?jǐn)?shù)個(gè)磁通量子，也就是 /0 =1/( = 1,2,3, … ) 。那么實(shí)驗(yàn)上可以看到隨 1/ 做周期性變化的分?jǐn)?shù) BZ 振蕩，如圖 e 所示。當(dāng)晶格原胞變大時(shí)，在同樣的磁場(chǎng)下一個(gè)原胞（super-moire 原胞，紅色六邊形）能承載整數(shù)個(gè)磁通量子，即/0 = ( = 1,2,3, … )。那么實(shí)驗(yàn)上可以看到隨 做周期性變化的整數(shù) BZ 振蕩，如圖 f 所示。

行文至此都是理論和計(jì)算物理學(xué)家的游戲，在真實(shí)的二維材料中，能否觀察到侯世達(dá)蝴蝶和 BZ 振蕩呢？一如地球上的很多事情，理想和現(xiàn)實(shí)的差距就是那么大，那么不遂人意。這是因?yàn)檎鎸?shí)材料中原子晶格的尺度在埃米量級(jí)（10-10 m），比如石墨烯的晶格長(zhǎng)度是 = 2.46 × 10-10 m，那么它的原胞面 積就是 ~ 5 × 10 -20 m 2 。這意味著如果需要滿足公度條件 /0 = / , 此時(shí)通過(guò)晶格原胞的磁場(chǎng) = / = 0 / ~ 10000 T（當(dāng) / = 1 / 2 ），1 萬(wàn)特斯拉這么大的磁場(chǎng)在地球上的實(shí)驗(yàn)室中是不能實(shí)現(xiàn)的。也就是說(shuō)，如果想要在真實(shí)的物理材料中觀察到 BZ 振蕩，需要盡量地增大晶格原胞的面積 （就是原胞的尺寸） ，這樣才能在一個(gè)原胞中盡可能多地囊括磁通量子的 / 倍，才能看到系統(tǒng)的電導(dǎo)隨著磁場(chǎng)，以/ 為周期的 BZ 振蕩行為。圖 2. d, e, f 就是這樣現(xiàn)象的示意圖。

直到近些年，侯世達(dá)蝴蝶和 BZ 振蕩才在二維量子材料中被實(shí)現(xiàn)。2013 年，通過(guò)將 hBN 和石墨烯的晶軸對(duì)齊，英國(guó)曼徹斯特大學(xué)的 Fal'ko 和 Geim （2010 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)石墨烯而聞名） 得到了 Graphene/hBN （縮寫(xiě)為 G/hBN） 摩爾超晶格，其波長(zhǎng)在 10 納米左右。這個(gè)數(shù)值比石墨烯的晶格常數(shù)大了將近 40 倍，意味著原胞面積增大了 1500 多倍。在實(shí)驗(yàn)室磁場(chǎng)（ ~ 20 T）下，他們成功達(dá)到了公度條件 /0 = 1/（ = 1,2,3, …），即每個(gè)原胞內(nèi)有 1/（分?jǐn)?shù)）個(gè)磁通量子，進(jìn)而首次在實(shí)驗(yàn)上觀察到了分?jǐn)?shù) BZ 振蕩[7]，如圖 2. e 所示。進(jìn)一步，2018 年，F(xiàn)al’ko 和 Geim 組在同樣的 Graphene/hBN 摩爾超晶格中實(shí)現(xiàn)了高階的分?jǐn)?shù) BZ 振蕩，其中 = 1,2,3,4 ，但是仍然/ < 1[8]。

然而，分?jǐn)?shù)磁通并沒(méi)有組成完整的侯世達(dá)能譜，也就是沒(méi)有看到 = 0/， 其中 = 1， = 1,2,3, … 時(shí)的整數(shù)磁通 BZ 振蕩，如圖 2.f 所示。在原胞尺度為 ~10 納米的 G/hBN moiré 結(jié)構(gòu)中，要達(dá)到最小的整數(shù)磁通，即 /0 = 1，需要的磁場(chǎng)是 ~ 50 T；如果要達(dá)到 /0 = 2，則需要 ~ 100 T。這仍然是實(shí)驗(yàn)上難以達(dá)到的磁場(chǎng)強(qiáng)度。也就是說(shuō)，如 G/hBN 這樣的普通 moiré 材料中的原胞面積 仍然不夠大。只要把 增大，比如原胞的線性尺度從 10 納米增大到 100 納米，原胞的面積就可以再增大了 100 倍，所需要看到同樣 BZ 振蕩的磁場(chǎng)就可以減小 100 倍——這就是 super-moiré 材料發(fā)揮作用的地方。如前所述，我們的 super-moiré 提供了一種創(chuàng)造周期為幾十個(gè)納米的結(jié)構(gòu)，這為研究侯世達(dá)能譜和整數(shù) BZ 振蕩提供了一個(gè)良好的平臺(tái)。

世有 moiré，然后有 super-moiré

構(gòu)建 super-moiré，就是要構(gòu)建尺度為 ~100 納米的周期性勢(shì)場(chǎng)。正如前文中所提到的，在量子摩爾材料的構(gòu)建方法中，異質(zhì)結(jié)中原胞尺寸有限，小于需要的長(zhǎng)度；大尺度周期性結(jié)構(gòu)在極小轉(zhuǎn)角的同質(zhì)結(jié)中是可能的，但是在現(xiàn)實(shí)中結(jié)構(gòu)弛豫會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的不均勻性。直到現(xiàn)在，整數(shù)磁通的 BZ 振蕩只在非常有限的系統(tǒng)中被實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，在這些系統(tǒng)中，電荷捕獲中心 （charge trap centers） 、雜質(zhì)、角度不均勻性和層間耦合引起的電子能帶變化都會(huì)阻礙整數(shù)磁通布洛赫態(tài)的實(shí)現(xiàn)。

我們的解決辦法，是通過(guò)兩個(gè)穩(wěn)定的 moiré 超晶格的堆疊和旋轉(zhuǎn)，讓當(dāng)兩套 moiré 的倒格矢滿足公度關(guān)系，此時(shí)電子波函數(shù)發(fā)生量子力學(xué)干涉效應(yīng)，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn) super-moiré 的更大周期[1]。如圖 3.a 所示，通過(guò)把單層石墨烯和 1.0° 的轉(zhuǎn)角六方氮化硼 （twisted hBN，簡(jiǎn)稱(chēng) t-hBN） 對(duì)齊，我們創(chuàng)造了兩個(gè)小尺度的摩爾結(jié)構(gòu)：一個(gè)是 14.4 納米的 t-hBN moiré，另一個(gè)是 13.0 納米的 G/hBN moiré。這兩個(gè)摩爾結(jié)構(gòu)會(huì)相互干涉從而形成一個(gè) 63.2 納米的 super-moiré 結(jié)構(gòu)，在主狄拉克點(diǎn) （Main Dirac point，單層石墨烯的本征電阻峰，對(duì)應(yīng) tot = 0 ） 附近出現(xiàn)的電阻峰證明了這一點(diǎn) （圖 3.c） 。如此構(gòu)造簡(jiǎn)潔干脆，卻效果顯著。通常使用的 hBN 晶體是自然堆疊的 AA’結(jié)構(gòu)，通過(guò)小角度堆疊兩個(gè)奇數(shù)層的 hBN 晶 體，可以創(chuàng)造一個(gè)平行堆疊的界面。這樣的堆疊方式會(huì)在界面處產(chǎn)生第一個(gè) t-hBN moiré 圖案 （圖 3.a的右邊） ，其中對(duì)稱(chēng)性破缺會(huì)產(chǎn)生一個(gè)周期性勢(shì)場(chǎng)[9]。這個(gè)勢(shì)場(chǎng)是靜電性的，并且可以在沒(méi)有直接接 觸的情況下影響相鄰的材料。同時(shí)，當(dāng)單層石墨烯進(jìn)一步和t-hBN 對(duì)齊，石墨烯和 hBN 之間的晶格常數(shù)差可以產(chǎn)生第二個(gè) G/hBN moiré 圖案 （圖 3.a 的左邊） 。在 t-hBN 和 G/hBN 界面處產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)擁有不同的周期和幅度 （示意圖如圖 3.b） 。通過(guò)控制 G/hBN 和 t-hBN 中的轉(zhuǎn)角大小，這兩個(gè)摩爾結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生量子干涉并形成 t-hBN/G/hBN super-moiré 結(jié)構(gòu) （圖 3.a 的中間） ，這個(gè)新的摩爾結(jié)構(gòu)通常具有比兩個(gè)單摩爾結(jié)構(gòu)更大的周期尺度。這樣，在石墨烯中運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)感受到一個(gè)大尺度的 super- moiré 勢(shì)場(chǎng) （圖 3.b） 。

圖 3. Super-moiré 周期性勢(shì)場(chǎng)的產(chǎn)生。a. 兩個(gè)單摩爾結(jié)構(gòu)和 super-moiré 結(jié)構(gòu)的示意圖；b. t-hBN 和 G/hBN勢(shì)場(chǎng)疊加的示意圖，以此產(chǎn)生大周期的 t-hBN/G/hBN 勢(shì)場(chǎng)；c. 縱向電阻隨載流子濃度的變化關(guān)系（T =1.5K）。數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn) [1]。

基于這種 super-moiré 結(jié)構(gòu)，我們制備了器件并進(jìn)行輸運(yùn)測(cè)量。圖 3. c 是零磁場(chǎng)下測(cè)量得到的縱向電阻 隨載流子濃度 變化的曲線。除了來(lái)自于主狄拉克點(diǎn)的電阻峰，藍(lán)色箭頭標(biāo)記的兩個(gè)電阻峰來(lái)自于t-hBN 和 G/hBN 勢(shì)場(chǎng)的共同作用，其中 t-hBN 和 G/hBN 摩爾結(jié)構(gòu)的周期尺度分別為 14.4 納米和 13.0 納米。重要的是，在主狄拉克點(diǎn)附近出現(xiàn)了額外的小電阻峰 （如洋紅色箭頭標(biāo)記） ，這些峰顯示存在一個(gè)更大尺度的電勢(shì)場(chǎng)。實(shí)驗(yàn)上可測(cè)到載流子濃度為 ~ 9 . 07 × 1010 cm -2 ，這對(duì)應(yīng)一個(gè) ~61.8 納米 的 t-hBN/G/hBN super-moiré 結(jié)構(gòu)。正是這樣的 super-moiré 給了我們更大的原胞面積 S，如果 Fal’ko和 Geim 等人可以利用 G/hBN moiré 在 20 T 的磁場(chǎng)下看到/0 = 1 /（ = 1 , 2 , 3 , …）的分?jǐn)?shù)BZ 振蕩，那么現(xiàn)在我們的 super-moiré 原胞尺寸大了~ 5 倍，原胞面積大了~ 25 倍，那么在同樣的磁場(chǎng)條件下，我們應(yīng)該可以看到 / 0 = （ = 1 , 2 , 3 , …），即每個(gè)原胞內(nèi)有 （整數(shù)） 個(gè)磁通量子的 BZ 振蕩。在地球上的實(shí)驗(yàn)室條件中，我們的工作將會(huì)證明通過(guò)大尺度的 super-moiré 結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生整數(shù)磁通的磁布洛赫態(tài)。

實(shí)驗(yàn)的情況確實(shí)如我們所想！圖 4. a 是器件在 T = 142 K 下的輸運(yùn)數(shù)據(jù)，電阻 隨磁場(chǎng)和載流子濃度 的變化圖。在這個(gè)溫度下，我們能看到獨(dú)立于載流子濃度的電阻振蕩，如圖中的橫條紋所示，這就是 BZ 振蕩。因?yàn)?BZ 振蕩依賴于 super-moiré 勢(shì)場(chǎng)的周期性，這是一個(gè)結(jié)構(gòu)特征，所以它極其穩(wěn)定在高溫下依然存在[10]。進(jìn)一步，我們發(fā)現(xiàn)電阻 的極大值周期性出現(xiàn)在整數(shù)磁通位置（/ 0 =1?9 ），也就是說(shuō)振蕩隨磁場(chǎng)做周期性變化。這是整數(shù) BZ 振蕩，和分?jǐn)?shù) BZ 振蕩是不一樣的。在分?jǐn)?shù) BZ 振蕩中，電阻隨磁場(chǎng)的倒數(shù)（1/B）做周期性變化，對(duì)應(yīng)于每個(gè)原胞中有分?jǐn)?shù)個(gè)磁通量子。圖 4. b 是來(lái)自于圖 4. a 的一條線，即在固定載流子濃度時(shí)，測(cè)量電阻隨磁場(chǎng)的變化，如圖 4. a 中的藍(lán)色箭頭所示。很顯然，電阻極大值恰好出現(xiàn)在/ 0 = ，這對(duì)應(yīng)于每個(gè)原胞中有整數(shù)個(gè)磁通量子，即整數(shù)磁通的磁布洛赫態(tài)。從圖 4. a 和 4b 我們得到 BZ 振蕩的周期是 ~ 1 . 20 T，通過(guò)關(guān)系 = 0 和 = 得到 super-moiré 結(jié)構(gòu)的尺度是 ～ 63 . 2 納米，和圖 3. c 中縱向載流子濃度估計(jì)得到的 ~61.8 納米是符合的。

此外，為了理解 super-moiré 勢(shì)場(chǎng)如何產(chǎn)生整數(shù)磁通的磁布洛赫態(tài)，我們建立了一個(gè)連續(xù)性模型來(lái)計(jì)算電導(dǎo) 。圖 4. c 是計(jì)算結(jié)果，可以看到 的極大值表現(xiàn)為均勻分布的橫條紋，出現(xiàn)在 /0 = 1?10。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是符合的，并定性甚至是半定量地解釋了實(shí)驗(yàn)上測(cè)量到的整數(shù) BZ 振蕩的確起源于整數(shù)磁通的磁布洛赫態(tài)。

圖 4. Super-moiré 勢(shì)場(chǎng)產(chǎn)生的整數(shù)磁通的磁布洛赫態(tài)。a. 縱向電阻的二階導(dǎo)數(shù) = 2 /2 隨磁場(chǎng)和載流子濃度的變化關(guān)系；b. 固定載流子濃度時(shí)， 隨磁場(chǎng)的變化關(guān)系；c. 計(jì)算電導(dǎo) 隨磁場(chǎng)和載流子濃度的變化關(guān)系。數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn) [1]。

微 super-moiré，吾誰(shuí)與歸

由是觀之，我們實(shí)現(xiàn)了整數(shù)磁通的布洛赫態(tài) （/0 = 1?9），并觀察到隨磁場(chǎng)做周期性變化的量子 振蕩，即整數(shù) BZ 振蕩，這項(xiàng)工作不僅為研究高磁通（/ > 1）下的侯世達(dá)蝴蝶能譜提供了機(jī)會(huì)，而且為創(chuàng)造均勻的大尺度超摩爾 （super-moiré） 周期性勢(shì)場(chǎng)提供了新的方法。從 1960 年代的 Brown-Zak，到 1970 年代的侯世達(dá)，到 graphene 和 moiré 時(shí)代的 Fal’ko 和 Geim，再到今天的 super-moiré，二維周期性勢(shì)場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)中電子的量子運(yùn)動(dòng)的故事，從理論到計(jì)算再到實(shí)驗(yàn)，終于在地球上實(shí)驗(yàn)室里面畫(huà)了一個(gè)完整的圈。所以說(shuō)如果 Brown-Zak，侯世達(dá)諸位前輩看到當(dāng)下的進(jìn)展，“其必曰：微斯人，吾誰(shuí)與歸？”

當(dāng)然，在我們之前，其他人也探索了類(lèi)似的現(xiàn)象。比如堆疊兩個(gè) hBN/G 界面形成 hBN/G/hBN 結(jié)構(gòu)[11]，或者堆疊兩個(gè) G/G 界面形成三層轉(zhuǎn)角石墨烯結(jié)構(gòu)[12]。這兩個(gè)結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是使用相同類(lèi)型的 moiré 堆疊，通過(guò)相鄰層之間的近鄰耦合 （proximity coupling） 形成 super-moiré。但這種設(shè)計(jì)有兩個(gè)缺點(diǎn)：首先，相鄰層之間距離固定導(dǎo)致勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)法調(diào)節(jié)；此外，由于近鄰耦合要求不同層材料在空間上不能離太遠(yuǎn)，因此想要疊加更多層結(jié)構(gòu)來(lái)制造更復(fù)雜的 super-moiré 幾乎不可能。

不同的是，我們所采用的 t-hBN/G/hBN super-moiré 結(jié)構(gòu)由不同類(lèi)型的moiré 組成，避開(kāi)了上面兩個(gè)缺點(diǎn)。這是因?yàn)?G/t-hBN 中 t-hBN 的勢(shì)場(chǎng)來(lái)自于界面處電極化產(chǎn)生的靜電勢(shì)，這種勢(shì)場(chǎng)允許不同層材料在空間上的分離，并且可以通過(guò)變化 hBN 厚度來(lái)調(diào)節(jié)勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)度。此外，hBN 作為一個(gè)絕緣體，不直接參與電子輸運(yùn)，相對(duì)于三層轉(zhuǎn)角石墨烯這種電子性質(zhì)被層間相互作用強(qiáng)烈改變的系統(tǒng)，G/t-hBN super-moiré 結(jié)構(gòu)是一個(gè)相對(duì)干凈的系統(tǒng)。這種通過(guò)量子力學(xué)干涉效應(yīng)制造的 super-moiré 器件，將有望實(shí)現(xiàn)清晰可控的高密度單光子源陣列、三維拓?fù)浣^緣體[13]等，將會(huì)在量子通信和量子計(jì)算等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用前景。

后記

作者之一，卡洛，意猶未盡想再說(shuō)幾句。回到本文開(kāi)頭處的韓愈和《馬說(shuō)》，中學(xué)教材中的解讀是， 韓老夫子認(rèn)為世界上不是沒(méi)有千里馬，而是缺少知馬的伯樂(lè)，他控訴的是封建社會(huì)中統(tǒng)治階級(jí)不知人、埋沒(méi)人才，抒發(fā)了封建社會(huì)中知識(shí)分子懷才不遇的悲憤。其實(shí)韓老夫子還是一個(gè)老實(shí)人，所以才會(huì)悲憤，他難道不知道封建時(shí)代、科舉制度下的知識(shí)分子，其實(shí)大多是假道學(xué)，用“正其誼不謀其利，明其道不計(jì)其功”的種種招牌唱著高調(diào)，而實(shí)際沒(méi)有為學(xué)問(wèn)而學(xué)問(wèn)的態(tài)度，其常在口頭的道德仁義和常 在心頭的爵祿子女一樣地鮮明。所作的是做八股、吸鴉片、玩小腳、爭(zhēng)權(quán)奪利，卻是滿口的禮教氣節(jié)，如大花臉說(shuō)白，不再怕臉紅。然而中國(guó)士大夫階層的深入基因的言行不一，可以說(shuō)是振古如斯，于今為烈的。在當(dāng)下的科舉環(huán)境中，有太多如我們的假道學(xué)祖先們一樣，攀爬著秀才 （種種五湖四海優(yōu)秀青年） 、舉人 （種種杰出、百千萬(wàn)人、各路獎(jiǎng)項(xiàng)） 、進(jìn)士 （各路系主任、院長(zhǎng)，各路院士） 這樣的名利階梯的徒子徒孫和學(xué)者型官僚。甚至可以說(shuō)，從韓愈到今天的可悲的中國(guó)讀書(shū)人身上散發(fā)著的一股強(qiáng)烈的氣息，這氣息在唐宋姑且可以稱(chēng)為“干謁”氣，在明清就是“選”氣和“頭巾”氣，在我們這個(gè)時(shí)代更加不堪，退化成了“優(yōu)秀”氣、“杰出”氣、“千人”氣、“萬(wàn)人”氣甚至是 “X”氣等等，總之是沒(méi)有人氣和求知?dú)狻＝y(tǒng)治者和爬上去的士大夫們其實(shí)并不在乎埋沒(méi)人才，反正地大物博，反正韭菜多的是。

在這樣的情況下，再去希望如韓老夫子一樣被統(tǒng)治者重視而成為假道學(xué)中的一員，其實(shí)是徒勞的。反倒是文章開(kāi)頭提到的物理學(xué)家侯世達(dá)同學(xué)，為我輩真正關(guān)心學(xué)問(wèn)的人指出了另一條出路。侯氏在完成了 Butterfly 研究之后，研究興趣更是擴(kuò)展到了認(rèn)知科學(xué)和人類(lèi)創(chuàng)造性活動(dòng)的共同規(guī)律，他跨界到了計(jì)算機(jī)科學(xué)、科學(xué)哲學(xué)、比較文學(xué)和心理學(xué)，完成了比侯世達(dá)蝴蝶更加有影響的工作。他寫(xiě)有這樣一本 有趣的書(shū)《哥德?tīng)枴Ｉ釥枴秃眨杭愯抵蟪?/strong>》 （ G?del, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid ） ，講述了邏輯學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽(tīng)枺囆g(shù)家莫里茨·科內(nèi)利斯·埃舍爾，和作曲家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫的創(chuàng)造性的成就怎樣交織在一起。如他所說(shuō)：“我認(rèn)識(shí)到，哥德?tīng)枴Ｉ釥柡桶秃罩皇怯貌煌姆绞絹?lái)表達(dá)一樣相同的本質(zhì)。我嘗試重現(xiàn)這種本質(zhì)而寫(xiě)出這本書(shū)。”相比于韓老夫子，侯世達(dá)同學(xué)的例子反倒更像是一個(gè)正常的社會(huì)中，具有理性思維方式和創(chuàng)造精神，敢于質(zhì)疑權(quán)威和發(fā)揚(yáng)真理的科學(xué)家所應(yīng)該采取的態(tài)度。

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