導語

自然界中，為何螢火蟲會同步閃爍？為何不同材料的表面生長遵循相似規律？2025年玻爾茲曼獎授予Mehran Kardar和Yoshiki Kuramoto，表彰他們分別通過KPZ方程和Kuramoto模型解答了這些難題。這兩個看似簡單的模型揭示了非平衡系統從無序走向有序的普適規律，不僅統一解釋了從界面生長到集體同步的多種現象，還為跨學科研究提供了強大理論框架，成為連接微觀相互作用與宏觀集體行為的橋梁。值得深思的是，這兩個模型當中都存在著某種形式的scaling law。

研究領域：規模法則、標度律、統計物理學、非平衡相變、KPZ方程、Kuramoto模型、界面生長、同步現象、復雜系統、集體行為

邱仲普| 作者

https://statphys29.org/boltzmann-medal/| 來源

2025年玻爾茲曼獎：

表彰統計物理領域的杰出貢獻

玻爾茲曼獎（Boltzmann Medal）是由國際純粹與應用物理學聯合會 （International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP） 下屬的統計物理委員會 （C3） 評選并頒發的國際統計物理學界最高榮譽之一，與昂薩格獎齊名。該獎項以奧地利物理學家盧德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）命名，旨在表彰在統計物理和相應交叉領域作出卓越貢獻的科學家。根據官方公告，2025年的玻爾茲曼獎將于2025年7月13日至18日在意大利佛羅倫薩舉辦的StatPhys29大會上隆重頒發，Mehran Kardar （梅赫蘭·卡達爾） 和Yoshiki Kuramoto （藏本由紀） 將共同獲此殊榮，以表彰他們在統計物理與復雜系統研究方面的杰出貢獻。

值得一提的是，玻爾茲曼獎通常每三年頒發一次，頒獎儀式與國際統計物理大會 （StatPhys） 同期進行。按照傳統規定，曾獲得諾貝爾獎或曾獲頒玻爾茲曼獎的學者不會再次被授予此獎。獲獎者多在非平衡態統計力學、相變理論、量子統計理論等方面具有開創性研究，體現了該獎對推動統計物理核心理論與應用進展的不懈追求。

統計物理領域的眾多頂級科學家 ，如Rodney J. Baxter （Baxter-Wu模型、頂點模型和Yang-Baxter方程） ，Michael E. Fisher （Fisher標度律和Fisher指數） ，Leo Kadanoff （Kadanoff塊變換，重整化群理論的奠基人） ，Benjamin Widom （Widom標度律與液體的表面性質） ，E.G.D. Cohen (非平衡穩態問題) ，H. Eugene Stanley （O(n)模型） ， Kurt Binder （有限尺度標度） 都獲得過這一獎項。

玻爾茲曼獎的得主有不少后來也獲得了諾貝爾獎，被認為是諾獎的風向標之一：如1982年諾貝爾物理學獎獲得者Kenneth Geddes Wilson （因其在重整化群理論應用于相變理論的基礎性貢獻） 曾在1975年獲得首屆玻爾茲曼獎，2021年諾貝爾物理學獎獲得者Giorgio Parisi曾在1992年獲得玻爾茲曼獎，2024年諾貝爾物理學獎獲得者John Joseph Hopfield （Hopfield網絡的提出者） 也曾獲得2022年度的玻爾茲曼獎。

兩位獲獎者的杰出貢獻

下面，讓我們深入了解這兩位杰出科學家的學術背景以及他們的開創性研究成果如何推動了統計物理學的發展。

Mehran Kardar：界面生長動力學的理論先驅

Mehran Kardar，來源：http://www.mit.edu/~kardar/

Mehran Kardar教授生于伊朗，現為麻省理工學院 （Massachusetts Institute of Technology, MIT） 物理學教授，在統計物理學、凝聚態物理和復雜系統領域做出了卓越貢獻。他與和張翼成教授 （https://pattern.swarma.org/master/790） 于1986年共同提出的KPZ方程是其最具影響力的成果之一。這一方程描述了界面在生長過程中的動力學行為，通過隨機偏微分方程捕捉了界面粗糙化的普適性質，解釋了動力學標度性質（Dynamic Scaling Properties）的普適性起源。KPZ方程不僅適用于解釋晶體生長、燃燒鋒面傳播和湍流等物理現象，還與隨機矩陣理論、可積系統等數學物理領域建立了深刻聯系。近三十多年來，KPZ方程已發展成為研究非平衡統計物理的核心理論框架之一，其影響力已遠超物理學范疇，擴展至概率論、生物物理和材料科學等多個領域。Kardar教授的研究工作體現了物理學中簡單數學模型如何能夠解釋復雜自然現象的強大力量。

值得一提的是，2021諾貝爾物理學獎獲得者Giorgio Parisi與Kardar和著名華人科學家、歐洲科學院院士張翼成共同提出了Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation（即卡達爾–帕里西–張方程，它是一種描述界面生長的動力學標度的隨機偏微分方程，被推測為眾多模型的背后的統計場論形式）

藏本由紀 Yoshiki Kuramoto：同步現象研究的開拓者

Yoshiki Kuramoto（藏本由紀）教授是京都大學物理學家，在非線性動力學和復雜系統領域做出了開創性貢獻。他于1975年提出的藏本模型 （Kuramoto Model） 徹底改變了科學界對同步現象的理解。同步 （synchronization） 是自然界中極為普遍的現象，從螢火蟲集體閃光、鳥群協調飛行到人類心臟細胞的節律性跳動，都體現了獨立個體如何通過相互作用實現集體行為的協調一致。Kuramoto教授通過簡潔優雅的數學方程，成功描述了大量耦合振子如何從初始的雜亂無章狀態，隨著耦合強度的增加，逐漸實現相位同步，最終形成有序集體行為的過程。該模型之所以具有革命性意義，在于它不僅提供了理解同步現象的理論框架，還揭示了這一過程本質上是一種非平衡相變現象，存在著臨界現象中普遍的scaling law。2001年，他還參與發現了嵌合體狀態 （chimera state） ——一種在同一系統中同時存在同步和非同步區域的奇特現象，進一步豐富了我們對復雜系統動力學的認識。

下面，讓我們從一些簡單的模型和現象出發，分別簡述兩位獲獎者主要工作的背景知識、具體內容和科學意義。

探秘KPZ方程：

從離散模型到連續世界的奇妙之旅

界面生長模型：離散世界的生長奧秘

為了描述界面的生長，人們設計了一系列統計物理的離散模型。

1. 隨機落體模型

隨機落體模型和黏性落體模型的規則示意圖，來源：https://arxiv.org/abs/1606.06602

想象一排無限延伸的垂直柱子，每個柱子上方的方塊以完全獨立的方式下落 （即A,B子圖所示） 。方塊下落的時間間隔服從參數為1的指數分布，且下落過程瞬間完成。用hr(t, x) 表示時間t時第x列的高度，這一過程構成一組獨立的泊松過程。數學上可以計算，隨機落體模型的期望高度為E[hr(t, x)] = t，表明高度隨時間勻速增長；其漲落特性由方差E[(hr(t, x)-t)2] = t 刻畫，標準差為，與布朗運動的位移漲落相似。動態標度律進一步揭示其漲落滿足2:0:1標度：

其中空間標度指數為0，說明各列的漲落完全獨立，互不影響。

2. 黏性落體模型
如果隨機落體模型是孤立的雨滴，黏性落體模型就是流淌的蜂蜜。

兩者非常類似，核心區別只是在于引入了方塊的吸附規則：下落的方塊不再直達底部，而是黏附于接觸到的首個方塊旁。 （即C,D子圖所示） 這種黏性徹底改變了界面動力學行為。用hb(t, x)表示黏性落體模型的高度函數，其平均高度E[hb(t, x)] ∝ t 仍隨時間線性增長，但漲落特性顯著不同 (即下圖所示) 。動態標度律表明，高度漲落wb(t, x)滿足3:2:1標度：

時間標度指數?-3與空間標度指數?-2，反映了黏性導致的協作效應——某一點的漲落會通過吸附規則向鄰近區域擴散，形成空間關聯。

隨機落體模型和黏性落體模型的典型構型，來源：https://arxiv.org/abs/1606.06602

3. Eden模型：種子生長的隨機擴張

Eden模型則展現了更復雜的生長圖景。它最初定義在二維平面格點上，但其規則可推廣到任意維度。用hE(t, x)表示時間t時第x列的高度，其核心規則為：

1. 初始種子：固定底邊的一排格點（hE(0, x) = 0）。

2. 生長規則：每一步從所有與現有種子相鄰的空白格點中，隨機選擇一個加入種子集合。

3. 時間定義：設N為已加入的格點數，時間定義為t := N/x，使得平均高度隨時間線性增長，這一點和之前的模型是一致的。

二維隨機曲線上的Eden生長，色彩表示時間。來源：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1429491.html?mobile=1

我們可以通過高度漲落的均方根定義界面粗糙度：

實驗發現，當系統規模x和時間t極大時，w(t, x)滿足普適標度律：

其中標度指數（粗糙度指數），z≈1.7（動態指數）。人們在黏性落體模型中發現存在著類似的標度形式（即scaling law）——這似乎暗示著雖然微觀規則細節不同，但是Eden模型和黏性落體模型的長期和大尺度行為，存在著某種普適性

從離散到連續：KPZ方程的誕生
1.Edwards-Wilkinson方程：近平衡態的生長

我們不禁要問：表面生長模型的空間連續形式是什么？是否存在一個統一的非平衡統計場論形式可以普適地描述諸多離散模型？

在KPZ方程提出之前，Edwards和Wilkinson提出了一個線性方程：

其中ν是擴散系數，η(t, x) 是時空白噪聲。該方程描述近平衡態下的界面生長，其漲落滿足Edwards-Wilkinson普適性，具有4:2:1動態標度律

Edwards-Wilkinson方程及其變體（如淬火EW方程）被認為是一類空間離散系統的場論形式：自組織臨界理論中的Oslo模型、自旋系統中的XY模型 （在低溫自旋波近似下） 、同步系統中的Kuramoto模型 （在強耦合自旋波近似下，我們后文還會提到這個模型） 等。

但Edwards-Wilkinson方程只能描述近平衡的線性擴散行為，如何統一地解釋遠離平衡的表面生長問題呢？

2.KPZ方程：遠離平衡表面生長的本質

1986年發表在《物理評論快報》上的文章引入了KPZ方程，它通過建立連續化場論模型揭示了生長過程的本質。Kardar等人提出的KPZ方程為：

其中：

? 擴散項νΔh：對應線性擴散行為

? 非線性項：描述局部高度梯度對生長速度

的反饋，對應Eden模型中界面擴張或者黏性落體模型中的黏性效應

? 噪聲項：η(t, x)

KPZ方程中的非線性項，來源：Zhao D. and Liping L., A brief introduction to KPZ equation and KPZ universality, Sci. Sin.-Math. 49, 339 (2019).

很容易發現，當KPZ方程中的非線性項系數λ = 0時，退化為Edwards-Wilkinson方程。

KPZ方程在一維情形下的解滿足3:2:1動態標度律，與黏性落體模型和Eden模型的實驗結果一致。這一方程成功統一了離散模型的標度行為，成為非平衡界面生長理論的基石。

從隨機落體的獨立漲落、黏性落體的協作效應，到Eden模型的界面粗糙化，這些離散模型揭示了生長過程中隨機性與非線性競爭的普適規律。KPZ方程通過連續化框架，將離散世界的奧秘轉化為數學語言，為理解晶體生長、細菌群落擴張等自然現象提供了核心工具。

Kuramoto Model：同步現象的本質刻畫

我們在集智百科上創建了Kuramoto Model的百科詞條，也歡迎大家點擊學習更詳細的關于該概念的介紹： https://wiki.swarma.org/index.php/Kuromoto%E6%A8%A1%E5%9E%8B

復雜系統由眾多相互作用的單元組成。在動態演化進程里，這些單元彼此協調，進而涌現出集體行為模式。

同步，即兩個或更多事件同時發生，是自然界極為常見的現象之一。從無意識的實體到人類，同步現象廣泛存在，甚至以花樣游泳、跳水等形式成為奧林匹克運動項目。同步對于生命而言至關重要，比如，起搏細胞必須同步放電，才能確保人類心臟正常跳動。

同步屬于非平衡涌現形式中最為簡單的一種，其本質是通過微觀層面的耦合，達成系統宏觀狀態的一致性。對于物理學家而言，無生命系統中的同步現象極具吸引力。若將兩個完全相同的節拍器放置在架于兩個碳酸飲料罐上的木條上，便會觀察到，這些原本用于音樂節拍校準的機械裝置，其節奏能在短短幾分鐘甚至幾秒鐘內實現同步。然而，節拍器是如何“抉擇”達到共同節奏的？更為關鍵的是，它們為何會出現這種同步行為？

同步概念的早期歷史

為解答這些問題，我們需回溯至17世紀，走進克里斯蒂安·惠更斯的科學世界。惠更斯堪稱荷蘭歷史上最為杰出的科學家之一，他不僅對天文學、光學研究滿懷熱忱，在數學領域也造詣頗深。1673年，惠更斯出版了《擺鐘論》，這部著作在當時的科學界具有舉足輕重的地位，艾薩克·牛頓更是贊譽惠更斯為“現代最優雅的作家”。實際上，擺鐘正是惠更斯的發明成果。關于同步現象的科學研究，最早可追溯至1673年惠更斯對兩個耦合鐘擺同步現象的發現。據傳，這一發現源于他在某段臥病在床、閑暇無聊的時期，利用兩把椅子、兩個鐘擺和一個木條所開展的實驗：

惠更斯的實驗示意圖，Courtesy: Frederique Swist/IOP Publishing

在科學研究領域，現象觀察與實驗研究往往先行一步。惠更斯雖然觀察到了鐘擺通過木條的耦合而趨于頻率一致，但關于同步的理論研究卻滯后。直到20世紀初，這一領域才迎來重大突破。這是由于動力系統理論的建立，人們開始考察微分方程的漸進和長時行為，從意識到了極限環的概念。

極限環作為非線性耗散動力系統中一類典型的時間振蕩解，本質上和吸引子一樣，是動力系統不變集的一種。令人驚奇的是，眾多看似毫無關聯的系統，其時間振蕩竟都能用極限環加以描述。由此，人們逐漸意識到，在形形色色的同步行為背后，極有可能潛藏著共通的物理機理。諸如螢火蟲同步閃光、蟋蟀齊聲鳴叫，乃至腦電波的節律變化，這些現象背后或許都受同一物理規律的支配 。

可解模型的曙光
1.Winfree模型：星螢錯落同明滅

下一個重大突破在1967年。這一年，美國生物數學家Winfree，根據螢火蟲的同步閃爍現象，提出了Winfree模型——這一模型的核心洞見在于：在同步問題中，極限環相互作用的關鍵自由度是相位，因此通過研究耦合的相位振子模型，就能揭示同步現象的動力學本質。

該模型的動力學方程為：

其中，θi 表示第 i 個振子的相位，ω 是振子的自然頻率，服從某個單峰對稱分布，概率密度函數為g(ω）。X(θj) 被稱為相互作用函數，用于描述振子間相互作用的機制；Z(θi） 則是相位響應函數（Phase Response Curve，PRC） 體現振子相位對外界作用的響應特性。當振子自然頻率的分布較窄時，振子之間會出現相互同步現象。

螢火蟲的同步閃爍現象 來源：https://swarma.org/?p=37648

這一模型的價值在于：上述不同物理背景、不同體系中的現象，都能借助耦合相振子系統的同步動力學得到解釋。但這個模型實際上是不可解的，這是其科學意義上的局限性。那么，到底該如何從理論層面上徹底刻畫和解析同步現象的涌現的過程呢？

2.Kuramoto的突破性貢獻

1975年，日本物理學家藏本由紀 （Yoshiki Kuramoto） 在非線性動力學領域已積累深厚研究基礎。他1970年于京都大學取得理學博士學位，師從Kazuhisa Tomita與Hajime Mori，早期鉆研相變統計力學，后因對Ilya Prigogine等學者的耗散結構研究產生思考，轉而深入非線性動力學領域。

正是在這樣的學術探索歷程中，他以化學振蕩現象為切入點，構建了意義重大的藏本模型 （Kuramoto model） 。該模型突破傳統，采用最簡形式的相位差正弦函數描述振子耦合，既精準捕捉物理核心，又為后續數學分析搭建了有效框架。

和Winfree模型類似，Φj和Φi分別是個體j和個體i的相位，表示個體i相位隨時間的變化率，ωi表示個體i的自然頻率，K是耦合強度。

這個方程可以進一步寫成平均場形式：

其中

。 這里R是序參量，表征系統的同步程度。

Kuramoto模型的三種狀態的示意圖（a，b，c）和序參量與耦合強度的關系，來源：Acta Physica Sinica, 69, 080502 (2020)

在Kuramoto模型中，耦合強度是驅動振子群體演化的核心控制參量。（i）當耦合強度為K=0時，大量振子因自然頻率不同，相位均勻散布于區間[0,2π]，通過序參量R表征，呈現R=0完全無序狀態。

(ii)隨著耦合強度K逐步增加，系統內的同步機制開始顯現：更多振子開始實現同步，其平均頻率趨向統一，相位相互靠近并維持固定 (稱為鎖相群體)，分布均勻性被打破，序參量R脫離零值。這一過程的關鍵閾值是臨界耦合強度Kc：當K≤Kc，系統維持無序，R始終幾乎為0；當K≥Kc，同步被觸發，R非零，振子間形成有序的同步集團，進入部分同步態。

(iii)在強耦合條件下，振子相位高度聚集，形成整體同步態，這本質上屬于非平衡相變現象——大量耦合振子通過相互作用，克服自然頻率差異引發的無序，最終涌現出完全同步的有序態。

Kuramoto 借助統計物理學方法與自洽方程，通過在臨界點處進行泰勒展開，成功求解臨界耦合強度Kc，并揭示Kc附近序參量R的臨界行為（即在臨界區域 稱為同步相變的臨界指數——這其實是大自然中普遍存在的scaling law的又一體現)，首次從理論層面系統闡釋了集體同步現象的復雜物理機制。

模型的拓展與應用

以Kuramoto模型為代表的耦合隨機自然頻率振子系統，也已成為同步研究領域的范式性模型。在這一框架下，振子通過相互作用克服自然頻率異質性，實現從無序到有序的同步相變，其物理本質與非平衡統計力學中的相變機制高度契合。隨著研究的深入，模型的應用邊界不斷拓展，已滲透至物理學、生物學、工程學等多個領域。

后續的研究者通過調整模型參數與結構，成功刻畫了現實世界中紛繁復雜的同步現象。例如，通過引入不同的耦合函數（如類正弦函數、余弦函數、脈沖耦合等） ，模型能夠描述神經脈沖同步、螢火蟲發光節律等生物現象；改變耦合網絡的拓撲結構（如小世界網絡、無標度網絡、多層網絡和高階網絡） ，則可揭示電力系統振蕩、社交網絡意見傳播等集體行為的動力學規律。值得關注的是，模型在強非線性條件下呈現的玻璃態同步、時滯效應引發的行波/駐波態，以及慣性、阻挫、相移和外場等物理效應的引入，均為理解凝聚態物理、激光陣列、集群運動等實際系統提供了理論工具。

Kuramoto模型的科學價值不僅在于其廣泛的適用性，更在于其及以后的變體模型引發的方法論層面的創新。自洽性方程的提出首次實現了同步相變的理論解析，主穩定函數（MSF）為復雜網絡同步能力評估提供了普適框架，而OA擬設（Ott-Antonsen Ansatz）、WS變換（Watanabe-Strogatz Transformation）與重整化群方法的引入，則為處理高維非線性系統開辟了新路徑。這些理論工具的發展，使Kuramoto模型成為連接微觀個體行為與宏觀集體秩序的橋梁，為理解自然界從細胞代謝節律到星系旋轉等跨尺度同步現象提供了統一的動力學視角。

近年來，這一領域與多個學科交叉，產生了一些系列新模型、新概念和新方法，如從統計物理視角，對同步相變的臨界性質的進一步探索，即考察臨界維數、除序參量外其他臨界指數與普適類 （Daido,1988PRL; Hong等, 2007PRL; Qiu等, Unpublished） ；引入新的內稟自由度——D維 Kuramoto模型 (Chandra等，2019PRX；Dai等，2021PRL；Zou等，2023PRL) ，發現了其行為發現了其行為對D的奇偶性的新穎依賴性；同步與集群的交叉領域——集群振子模型(O’Keeffe等，2017NC) 等。它們與諸多領域深度融合，進一步加深了我們對于同步現象和理論的理解。

這部分關于集群振子和Kuramoto模型的擴展的一些內容，會在集智俱樂部正在組織的上做一些專題解讀和介紹，歡迎大家加入讀書會一起來交流。

結語

KPZ方程描述的界面生長與Kuramoto模型刻畫的振子同步，前者揭示了開放系統在噪聲驅動下自發形成復雜結構的普適性，后者則證明無序個體通過簡單規則實現同步相變的涌現機制。這兩個看似迥異的物理圖景，卻都存在著某種形式的標度律（scaling law）。事實上，從納米尺度的量子漲落到星系尺度的結構形成，從神經網絡訓練中的參數涌現到多智能體系統的集體決策，人們都發現若干簡單的標度指數可以概括描述不同規模的系統行為。這展示了統計物理學理論在解釋復雜系統行為方面的強大能力，我們或許因此觸碰到了自然界最深邃的奧秘——復雜系統的動力學多樣性背后，存在著超越具體物質載體的普適性法則。這種抽象法則不僅是涌現現象背后深刻的數學結構的曲折呈現，更是作為從數學實在到真實物理世界的映射方案的物理規律，在跨越不同層次時編碼的基本語法。

作為人類的一分子，科學家們居然能夠認知到世界如此底層的規律。于是，我們不得不感嘆：

人，是宇宙的意義分泌器官。

本文為科普中國-創作培育計劃扶持作品 作者 | 邱仲普 審核 | 樊京芳（北京師范大學系統科學學院教授） 出品 | 中國科協科普部 監制 | 中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

本文轉載自《集智俱樂部》微信公眾號

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