貝葉斯定理中，有三個重要的概率。第一個叫做后驗概率。這個后驗的“后”是“先后的后”，“驗”是“實驗的驗”。英文叫做posterio probability。后驗概率中的“后”，就是拿到觀測以后的意思。后驗概率就是你拿到觀測以后，你對于某個原因給出的概率大小。這個概率就是最終我們要想的。我們最后選擇的原因，就是后驗概率最大的原因。貝葉斯定理給出的，就是后驗概率的表達(dá)式。后驗概率的大小，由兩個概率的乘積決定。第一個叫做先驗概率（Prior probability）。這個先驗概率，就是我們前面提到的“基礎(chǔ)概率”。先驗概率中的“先”，就是拿到觀測之前的意思。某個原因的先驗概率，是我們在拿到觀測之前對該原因本身發(fā)生的概率的評估，也就是該原因本身發(fā)生的概率高不高。比如飛機(jī)遭遇氣流的概率有多高，飛機(jī)失事的概率有多高。先驗概率依賴于之前對該原因的認(rèn)知，通常可以由歷史數(shù)據(jù)或者經(jīng)驗?zāi)玫健５诙€叫做似然概率（Likelihood probability）。這個概念我們之前介紹最大似然估計的時候講過。某個原因的似然概率是某個原因的情況下能夠觀察到該現(xiàn)象出現(xiàn)的概率，也就是這個原因?qū)@個現(xiàn)象解釋得好不好。貝葉斯定理的公式我在這里就不具體列出來了，感興趣的同學(xué)可以從書中找到，網(wǎng)上也很容易搜到。但是貝葉斯定理告訴我們，后驗概率由先驗概率和似然概率決定。后驗概率最大的原因通常是既對觀測的現(xiàn)象有一定解釋力，本身又常見的原因。有了貝葉斯定理這個工具，我們就可以計算在某個觀測的情況下，不同原因的后驗概率的大小。

第一個道理和先驗概率有關(guān)。先驗概率作為拿到證據(jù)之前對于該原因發(fā)生概率的判斷，在很多場合的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過似然概率，甚至在很多情況下，我們可以不用看似然概率。一個守門員如何撲點(diǎn)球的例子。守門員撲點(diǎn)球，是一個典型的信息推斷的過程：守門員通過觀察罰球隊員的動作，來判斷他罰球的真正方向，從而做出正確的撲救選擇。因此，當(dāng)前的觀測是“罰球隊員的動作”，我們想要推斷出來的，則是射門球員真正的射門方向。很多一般水平的守門員的思路是：“看他往哪里踢，我就往哪里撲。”這種方法思路，本質(zhì)上是找一個“能夠最好地解釋罰球隊員當(dāng)前動作的方向”。 例如，在觀察到某個“罰球動作”的時候，我發(fā)現(xiàn)“射門方向為右上角”這個原因，可以比其他的射門方向更好地解釋這個罰球隊員的動作，那我就認(rèn)為“右上角”的概率最大，我就往右上角撲球。

這就是我們前面提到的“最大似然估計”。然而，用最大似然估計來判斷罰球方向在實際中面臨兩大問題。第一，點(diǎn)球的球速太快，守門員反應(yīng)的時間來不及。很多情況下，如果守門員看清楚罰球隊員的出腳動作時，再做撲救早就來不及了。第二，罰球隊員的假動作很多，尤其高水平足球運(yùn)動員。你看著他像是往右下方踢，可是他在觸球的一瞬間改變了發(fā)力點(diǎn)，球沖著左上方去了。“假動作很多”，本質(zhì)上就是“不同的射門方向，都可以較好地解釋某個罰球動作”。從數(shù)學(xué)上來說，就是各種不同原因的似然概率很相似。當(dāng)不同原因的似然概率相等時，決定哪個原因后驗概率更大的因素，就是先驗概率。對于這個例子，某個方向的先驗概率，是守門員觀察到罰球動作之前，球員朝這個方向射門的概率。換句話說，罰球球員，平常最喜歡往哪個方向射門，那么這個方向的先驗概率就最大。

所以，貝葉斯定理告訴我們，作為守門員，其實沒太大必要看球員現(xiàn)場罰球的動作，而是直接朝著罰球隊員平時最喜歡的方向去撲。我們來看發(fā)生在2006年，德國與阿根廷的世界杯對決的例子。雙方在120分鐘的對決中均無建樹而進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)。在點(diǎn)球大戰(zhàn)之前，德國的助理教練給萊曼送來了一張神秘的小紙條。萊曼每次撲點(diǎn)球前，都要拿出紙條，默默地看上一眼。最終結(jié)果，萊曼對所有點(diǎn)球都判斷對了方向：除了兩個質(zhì)量太高的射門沒有撲出之外，其他全部撲出，直接讓阿根廷人黯然出局。

那么紙條里到底寫的什么呢？德國隊的相關(guān)人員，利用分析軟件，通過統(tǒng)計過去阿根廷射手的點(diǎn)球數(shù)據(jù)，總結(jié)出了他們的射門特點(diǎn)，然后寫在一張小紙條上交給萊曼。這張紙條從上到下的內(nèi)容依次是：

? 克魯茲：右上角

? 阿亞拉：左下角

? 羅德里格斯：大力抽射右邊

? 坎比亞索：短距離助跑抽射左上角

這些射門特點(diǎn)，就是在萊曼現(xiàn)場觀察到他們射門動作前，這些運(yùn)動員的先驗概率。萊曼在場上完全依靠事先總結(jié)的射門特點(diǎn)，也就是他們的先驗概率，幾乎不靠現(xiàn)場觀察到的球員的出腳動作就能準(zhǔn)確地?fù)涑隽舜蟛糠值狞c(diǎn)球。這是一個貝葉斯定理在應(yīng)用中將先驗概率用到極致的例子。

我們剛才介紹了先驗概率的重要性。我們來看貝葉斯定理告訴我們的第二個道理，這個道理和觀測的信息量有關(guān)。先驗概率本質(zhì)上是你拿到當(dāng)前觀測之前，對某個背后的原因的認(rèn)知。后驗概率是你拿到觀測后對該原因可能性的一個重新評估。如果先驗概率和后驗概率的差距很大，說明這個觀測讓你對某個原因的可能性有了不同的認(rèn)識，那么這個觀測的信息量就很大。而如果這兩個概率非常接近，那么這個觀測的信息量就很小。所以，從這個角度來講，觀測的信息量與人們對某個原因可能性看法的變化密切相關(guān)。經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)告訴我們，信息量大的觀測，都具有“排他性”：這個觀測，只有某一個原因能夠解釋，其他原因都不能解釋。這種具有排他性的觀測，就是信息量大的證據(jù)。而同樣，如果某個觀測，不同原因?qū)ζ浣忉屃Χ确浅＝咏敲催@個觀測沒有排他性，信息量很小。

所以給出了結(jié)論：某個觀測信息量，不取決于它對某個原因的絕對解釋力的大小，而取決于它對不同的原因相對解釋力的差別。這個道理非常重要。當(dāng)你理解了這個道理以后，你就能看穿騙子常用的一個伎倆。我們來舉個例子，這個例子是趙本山、范偉和高秀敏在2001年央視春晚的小品《賣拐》。小品講述了村里的一個大忽悠（趙本山）是如何一步一步通過“忽悠”把雙拐賣給了一個雙腿健康的大廚（范偉）的。其中有段情節(jié)是下面這樣的。趙本山對范偉說：在最近的一段時間內(nèi)，感覺沒感覺到你的渾身某個部位， 跟過去不一樣了？你想，你使勁想……你說實話。

范偉回答：我沒覺著哪兒不一樣，我就覺著我這臉越來越大呀！

趙本山說：對了，這不是主要病癥！你知道你的臉為什么大嗎？

范偉問：為啥？

趙本山回答：是你的末梢神經(jīng)壞死把上邊憋大了。

趙本山問了一個泛泛的問題：是否渾身的某個部位，和過去不一樣了。然后范偉在他的啟發(fā)下，找到了一個觀測“臉大了”。然后，趙本山給出了一個原因：“末梢神經(jīng)壞死”。

稍微仔細(xì)分析一下，“臉大了”這個觀測，其實是無法推斷出其背后的原因一定是“神經(jīng)末梢壞死”。因為即使這個原因可以很好地解釋“臉大了”這個觀測，但其他的原因，例如“長胖了”，也可以很好地解釋這個觀測。也就是說，“神經(jīng)末梢壞死”這個觀測并不具有排他性，它沒有任何信息量。只要我們用到了貝葉斯定理，就能看出來騙子的這個伎倆的模式：找到一個很多原因都可以解釋的觀測，然后強(qiáng)塞給人一個原因。這也是很多忽悠人伎倆所用的方法邏輯。我們剛才講了貝葉斯定理告訴我們的兩個道理，一個和先驗概率有關(guān)，一個和觀測的信息量有關(guān)。

在明白了這兩個道理之后，我們就可以來說說從貝葉斯定理推導(dǎo)出來的一套方法。這套方法能幫助一個人做出生活中的各種決策，尤其是預(yù)測自己做某件事情的成功率。具體的方法是這樣的：想要知道自己一件事情的成功率有多少，最好的方法是找到和自己面臨的情況相似的一個圈子，然后用圈子里的人做這件事情的成功率作為自己的“基礎(chǔ)概率”，然后在這個基礎(chǔ)概率上，根據(jù)自身的特點(diǎn)做一個調(diào)整。

這個例子是我自己的親身例子。我父親大概在65歲時，被診斷為“房間隔缺損”，這是心臟病的一種。在當(dāng)?shù)蒯t(yī)院的醫(yī)生表示，如果采取保守治療，那么頭幾年應(yīng)該沒事，但是5到10年以后，情況可能會逐漸惡化，最后大概率會發(fā)展成無藥可治的心衰。如果要做手術(shù)就要開胸，老人家年紀(jì)已經(jīng)很大了，手術(shù)的風(fēng)險、術(shù)后的恢復(fù)和并發(fā)癥等情況都遠(yuǎn)不如年輕人樂觀。所以我們就面臨一個兩難選擇：不做手術(shù)，大概只能健康生活10年；而做開胸手術(shù)，風(fēng)險較高。這時候，我們該如何選擇呢？這個本質(zhì)問題，是要知道我父親的手術(shù)成功率。我知道北京的某家醫(yī)院的醫(yī)生手術(shù)水平很高，于是我把父親送到了這家醫(yī)院，并且很幸運(yùn)地掛了一位有經(jīng)驗的副主任醫(yī)師的號。我問了那位醫(yī)生三個問題。我：“通常而言，您這里對房間隔缺損患者做開胸手術(shù)的成功率有多少？”醫(yī)生說：“一般不會有大問題，我手里的病人99%都順利出院了。”我問這個問題是想知道一般人在這家醫(yī)院做該手術(shù)時的成功概率。這個圈子，就是在該醫(yī)院做類似手術(shù)的患者。我可以把這個概率作為我父親手術(shù)成功的基礎(chǔ)概率。雖然我拿到了第一個圈子里的基礎(chǔ)概率，但是因為我父親畢竟歲數(shù)大了，不完全符合“一般人”的情況，所以我還想拿到更符合我父親特點(diǎn)的圈子中的對應(yīng)概率，就是“在該醫(yī)院做類似手術(shù)，并且年齡和我父親相當(dāng)?shù)幕颊叱晒β省薄Ｓ谑俏覇柫讼乱粋€問題：

我：“像我父親這么大年齡的房間隔缺損患者，您之前治療得多嗎？” 醫(yī)生說：“說實話很少。”很可惜，我沒有拿到這個數(shù)據(jù)。我于是又回到第一個基礎(chǔ)概率。現(xiàn)在我需要知道，如果要在這個基礎(chǔ)概率上調(diào)整的話，是否需要有大的調(diào)整。于是我問了第三個問題：

我：“我父親年齡比較大，會不會有很大的風(fēng)險？”

醫(yī)生說：“問題應(yīng)該不大。”

這意味著調(diào)整很小。基于此，我可以判斷，我父親做開胸手術(shù)的話，成功率也會接近99%。這個成功率，值得我們毫不猶豫地做手術(shù)。后來手術(shù)很成功，我父親也順利地康復(fù)了。通過“找圈子”找到基礎(chǔ)概率，然后再調(diào)整的方法，可以用在很多決策中。我在書里也介紹了很多類似的例子，包括孩子能否考上好大學(xué)，一個大學(xué)生到底能否找到好工作，一個創(chuàng)業(yè)者的成功率，等等。感興趣的朋友，可以點(diǎn)擊文稿末尾的電子書，做拓展閱讀。最后，貝葉斯定理不僅是一個能夠幫助我們推理的工具，它更是一種世界觀，也就是看待世界的方式。

世界是復(fù)雜的，為了客觀而睿智地看待這個世界，我們需要首先對這個世界的很多現(xiàn)象有基本的常識。這個常識不一定完全正確，但是請不要完全憑借你自己的經(jīng)驗或者從網(wǎng)上看到的零星事例，而是最好能基于可靠的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)來得到。你需要用數(shù)字而不是感覺，用概率而不是非黑即白來思考問題。你建立起來的這個基本的世界觀、基本認(rèn)知或者常識，就是你的先驗概率，先驗概率對于判斷的重要性再如何強(qiáng)調(diào)也不為過。然后，貝葉斯定理告訴我們，我們要勇于接納新證據(jù)和新觀點(diǎn)，用科學(xué)的方法檢驗它們的真?zhèn)危⑶矣眠@些證據(jù)來改變你原有的認(rèn)知。這就是觀點(diǎn)隨著事實的改變而改變。在很多情況下，你對某個事物的初始認(rèn)知并不那么重要，只要我們能不斷地通過新的證據(jù)去調(diào)整自己的認(rèn)知，最終也能接近最后的真相。這就是批判性思維和成長型思維。如果你具有了這種思維，你就會不斷進(jìn)步，你的眼光就會比一般人更深刻，你的視野會比一般人更寬廣，你就會成為別人眼中那個睿智的人。