古老難題的由來

多項式方程是現代科學的基礎工具。這類方程由變量的冪次項組成，例如二次方程 x2 + 4x - 3 = 0。在天體運動、工程計算、計算機程序設計等多個領域，它們都發揮著不可或缺的作用。

早在四千多年前，巴比倫人就已經通過“配方法”掌握了求解二次方程的方法，這一方法后來演化成現代學生熟知的二次求根公式。到了16世紀，數學家們用類似方法，進一步找到了三次方程和四次方程的求解方式，只不過涉及其中的求根公式愈發復雜，包含平方根和立方根。

1832年，數學家伽羅瓦（évariste Galois）證明了對于五次及更高次的一般多項式方程，不存在像低次多項式方程那樣的根式通解。這一突破性工作，催生了伽羅瓦理論，也使得“求根公式”這一設想止步于四次方程。

自此之后，對高次多項式的求解主要轉向近似解，這類方法雖然在實際應用中被廣泛采用，但本質上脫離了“純代數”范疇。

而如今，在一項新的研究中，數學教授Norman Wildberger與計算機科學家Dean Rubine家提出了一種基于數列的新方法，來解決代數中最古老的挑戰——求解高次多項式。

無理數與根號帶來的困擾

Wildberger指出，傳統方法之所以在求解高次多項式方程時面臨困難，是因為這些方法依賴于根式的表達，這些根式往往對應的是無理數，也就是說：這些數的小數部分無限延伸、沒有重復，也不能用分數準確表示。例如√2、?7等都是無理數。這意味著，如果我們在公式中寫?7，實際上我們是假定這個無限的小數是某種“完整的對象”，這在邏輯上是值得懷疑的。

因此，Wildberger提出了“不要相信無理數”的口號。他認為，無理數依賴于一個不精確的“無限”概念，會導致諸多數學中的邏輯問題。這一數學哲學后來激發他發展出“有理三角學”、“通用雙曲幾何”等理論體系，這些理論依賴的是加法、平方等可計算函數，而非無理數、根號、三角函數等。

在這項研究中，他延續了這一思路：與其接受根式那種永無止境、無法精確表示的計算方式，不如另辟蹊徑，用一種更直接的“不斷求和”方法來應對高次多項式的求解。

為了繞開根號與無理數，Wildberger和Rubine采用了多項式的擴展——冪級數。冪級數是一個由無窮多個冪次項組成的表達式，常見于組合數學與幾何問題中。通過對冪級數進行適當“截斷”，他們可以獲得近似的數值解，從而驗證方法的有效性。

“晶洞”：來自卡塔蘭數的靈感

這項新研究的核心突破來自對卡塔蘭數這一組合學中的經典數列的重新審視。在數學中，卡塔蘭數描述的是將一個多邊形劃分為不重疊的三角形的方式數量。它們被廣泛應用于算法設計、RNA折疊計算等領域。

數學上已知，卡塔蘭數本質上與二次方程密切相關。受此啟發，數學家Wildberger和Rubine想了一個大膽的問題：如果我們不僅切成三角形，還允許切成四邊形、五邊形呢？能不能找到一種更通用的方法來數這些可能性？

他們的最新研究將卡塔蘭數從傳統的一維數列推廣為一個多維數組，用來描述將多邊形劃分為任意形狀組合的各種方式。更重要的是，他們發現這些組合所對應的“生成級數”竟然可以構造出一個解決任意一元多項式方程的新框架。這意味著，即便是代數學上被認為無法通過根式求解的五次方程，也可能在這種新方法中獲得解的表達。

在這個過程中，研究者還發現了一個出人意料的新結構，并稱之為“晶洞”（Geode）。它像是一張隱藏在卡塔蘭數背后的結構藍圖，揭示了卡塔蘭數及其高階擴展之間深層的數學聯系。

Wildberger 認為，他們只是揭開了“晶洞”這個結構的冰山一角。晶洞不僅可以在邏輯上為探索多項式方程的通解方法提供了新路徑，而且它們本身也成為組合數學領域中亟待探索的新對象。

#參考來源：

https://www.unsw.edu.au/newsroom/news/2025/05/mathematician-solves-algebras-oldest-problem-using-intriguing-new-number-sequences

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966

#圖片來源：

封面圖&首圖：WaveGenerics / Pixabay